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一 试解下列各设y xy xy yxyexy(1x计算limx

2x

y

exyyxexx x f(sin2xcos2xf(x解：令sin2xucos2x1u，则当0u1f(u)1uf(u)(1u)duuu2 0u2f(x)xx2 0x2二 计算下列积x1 x21 x2xtant 1sectdtcost

cos2

1costdcostlncost

111sin6xcos6x

ln1 cos4xsin4xcos2xsin2

cos2xsin2

sin2xcos2

2

dtan2xarctantan2xtan22x e1sinlnxdx

cos2x sin 4e原式Ixsinlnxe coslnxdxesin1xcoslnx|e esin1ecos11故esin1cos1 10xxadx（ax无关的参数a0I

当a1时，I 当0a1时，I0xxadxaxxadx 三 证明：ln1

1(n20 0 2 0ln1 2 0四 求抛物线(y1)22x与直线yx3所围图形面积5 S1y3 dx 五 通过三平面2xyz20，x3yz10和xyz30的交点，作平行于平xy2z02xyz2

x解：解方程组x3yz10可得y1xyz3 z(x1)(y1)2(z1)0，即xy2z10。 利用变换ttanx，求微分方程

cos4

2cos2x1sinxcosx yetan ttan dydy dt

y(tsec2 y(xy(tsec2xsec2xy(t2secxsecxtanxy(t2y(ty(t)et

Ct

ety*t1t2et

2y(t)(Ct

1t2 2故y(x)(CtanxC1tanx2)etan 七 曲线y1x6(x0)上哪一点的法线在y轴上的距离最小3解：设曲线上的点为 6，则法线方程X,3X y1X6 (xX 2X它在y轴上的截距为b1X6 （X0 2X d 1dX2XX5

dx210X 6X XX1X1为bX的最小值点，所求点为1,1 3 八 1(x x2

（n1x2 x21t2 11

1 tn2t2dt21 tn2 1

(n n1 2 (n 2n n1 n2九 在a,b上f(x)连续，g(x)有连续导数，且g(x)0，试证明存在（ab af(x)g(x)dxg(a)af(x)dxg(b)fxF(xaf(x)dxdF(x)f(x)dxF(a)0xbF(x)gbf(x)g(x)dxbg(x)dF(x)g(x)F(x)|b g(b)F(b)F()g(b)g(a)g(b)af(x)dxaf(x)dxg(b)bg(a)af(x)dxg(b)fb 0十 判定积分0

x24x解：原式

2

I20(x

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