高三数学文科一轮学案第16课时数列概念

数列的前nsnnnsn与an3数列3,7,11,15则 是数列的 3n 已知数{n中，a12, n

an

,则已知数列{a}对任意的p,qN*满足 aa，且a6，那么a .1

,

(2)2457 810.nn(3)数列的前n项的和S2n2n (4)数列.nn

1

(r≠0,1例2已知函数f(x)axax2 axn,nN*，且f(1)n2 1 ,an的通 1f()3n3已知an0.8n(nNn判断数列{an}的单调性K,使得数列{anK?4设数列{an}前n项和sn,已知a11,2snn1)an写出从an1到an的递 求数列{an}的通 例5根据下面各个数列an的首项和递推关系，求其通 （1）

nn

2n(nN*)；（2）

a(nN*)（3）

12

1(nN*)

3

53，归纳出a 2数列{a}

81

,

1,则a a a

2,则b

11 0an 1数列{an}满足an1

1,2

,若a17,则a2010 数列{ana11an2an1=an2.否则用递 an13an.则a6 数{a}满足an2n(R,nN),对于任意nN都有a a nn

a10b10,求p

取数列

{bn}的第,L项构成一个新数列{cn},求cn的通项已知数列{anSnN*S3n26n，数列{b满足 b(1)n1，数列{c}满足c1ab.(1）求数列{a}的通 （2） 6n 项和Tn（一）an1an

f(n1.{an}中，已知

2n1n n,n

2,，求通项（二）an1f(n

a 例２.已知{an1的正项数列，且(n1)a2n1na2nanan10(nN则an （三）an1candc03.在数列{ana11n2时，有an3an12an4：已知数列

1，

an

a

n2ann

3

2,令

1an1a

解:

3

2,令

，则1an1a

2继续变形得

1

1,数列

1

12,公比是3数列,所以

123n1,

23n11nn

(kmn0的递推数列，变形为

n

m

man

k （四）an1pan

f(n(1p1时，就是类型(2p1f(n10f(n)c（常数（三0f(n)knban1ABnp[anA(n1B]（AB是确定的常数0则新数列{anA(n1B0f(n)kqn

kqnan1p

k，设

an

pbk，新数列{b}转化为类型（三 例5.设数列

}

12

2n1(n

，求通项

an例6数列

}

2n1(nN，求

}的通项n（五）n例7数列

1，

11

an1例81

}

9a3n1(n2.求数列

}的通项如果一个数列{an}的连续两项（或几项）

an1

f(an（

f(a, )(kN)）来表示，就称 为数列的递 ；由数列的 递推是给出数列的一种重要方法。如果说由通项给出的数列是直接的、具体的，那么相对而言递推给出的数列则是间接的、抽象的。如何实现这种由“抽象”到“具体”的转化乃是我们要研究的内容，即求递推数列的通项。（一）an1an

f(na2a1

fa3a2a

f

n1

a

f(i)nn

f(n

所以有ana1 f(i)即为所求1.{an}中，已知

2n1 n,

2,，求通 nn

a 分析：表面上递推式不满足该类型，但若“取倒数”就出现了

1

1

1

1,132 32

1,143 43

1,…,n n

n nn1个式子相加，得：1

1

1

1(11

n n

12

12nan

11 1n（二）an1f(na2f(1

f(2),,

f(n1)

n1an

f(i

f(i。（注表示相乘aann

1例２.已知{an}为首项为1的正项数列，且则an

n1)a(2n1na2na

nNan1an的二次齐次式，分解因

a)[(n

na0

a0，故an1

na21a32,

n

11n以上n1个式子累乘，得an ，得a 11n 评注：其实本题变形，可得(n1)an1nan,显然数列{nannan1a11，1ann1（三）an1candc03.在数列{ana11n2时，有an3an12an分析：思路1：递推式两边加1an13(an11，于是数列{an1}为等比数列，问题

an1an3(anan1，新数列{an1an}解法1an13(an11，于是数列{an1}a11 a123n1a23n1 解法2：由an3an1 an13an a3(a )，其中n2, 因此，数列{an1an}a2a14为首项，以3 a43n1，又 3a2，2a na23n1n

公比为3新数列将转化。除此之外，还可以用“特殊一般”的思路去“归纳”出结论，该法我4：已知数列

}

1，

an

a

n2ann 3

2,令b1，则

nannana na解:变形 3

2,令b1，则

2

n继续变形得

1

1),数列

1是首项是

1

12,公比是3数列,所以

123n1,

23n11n评注：数学解题中往往要打破思维定势,在可能发生的事情中预想不可能,在不可能中寻求可n

(kmn0的递推数列，变形为

n

m

man

k （四）an1pan

f(n(1p1时，就是类型(2p1f(n10f(n)c（常数（三0f(n)knban1ABnp[anA(n1B]（AB是确定的常数0则新数列{anA(n1B0f(n)kqn

kqnan1p

k，设

an

pbk，新数列{b}转化为类型（三 例5.设数列

}

12

n1n

n

，求通项

an分析：可考虑与类型（三）1anAnB2[an1A(n11 an2an12n2(ABA1 111

(AB)

A解得B

所以新数列

4n6}

4631331( ,a4n63( ,

() 思维，观察到本题与例3有“类似”的结构特征，将其方法“嫁接”过来，不失为一种别致的想法。能否用与例3法2例6数列

}

2n1(nN，求

}的通项nn

3

1，引入新数列

，则问题转化

3

1，即是

2

2

3

1，设

，则

3

1

2

2 23

2，所以数列

2是等比数列，其中首项是

2a125 3公比为

所以有

(253n1，即b53)n12．(2an5

3

2 2an5

11例7.数列

1，

11

an11

处理，可构建新数列{bn，令1b111则b15b21

，即

b2 n 1

b2

14 bn n化简得 2b

3，即 31

数列

221b32

即b22n 2 n b2 22n132n n a

3例8设正项数列

}