概率论与数据分析第六章

概率论与数据分析第六章第1页，课件共33页，创作于2023年2月数理统计研究的问题:

数理统计的基本研究方法统计推断统计分析参数估计假设检验

方差分析

回归分析第2页，课件共33页，创作于2023年2月

本章主要内容是统计推断，其中参数估计是统计推断的主要内容之一.参数估计，就是根据样本观测值来估计总体分布中的未知参数或数字特征的统计推断方法.

对总体的某个未知参数的估计方式有两种，一种是参数的值估计，另一种是参数的范围估计，也即点估计和区间估计，统称为参数估计.

本章介绍总体、随机样本及统计量的基本概念，讨论参数估计的点估计和区间估计方法以及估计的优良性.

第一节数理统计的基本概念第二节点估计(pointestimate)第三节区间估计(intervalestimate)第3页，课件共33页，创作于2023年2月§1数理统计的基本概念一、总体和样本二、统计量及其分布三、正态总体的抽样分布第4页，课件共33页，创作于2023年2月

一个统计问题总有它明确的研究对象.1.总体…研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为总体(母体)，总体中每个成员称为个体.总体一、总体和样本第5页，课件共33页，创作于2023年2月

然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体国产轿车每公里的耗油量所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体第6页，课件共33页，创作于2023年2月

由于每个个体的出现是随机的，即相应的数量指标的出现带有随机性.从而可把这种数量指标看作一个随机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号表示总体.

通常，我们用随机变量X,Y,Z等表示总体。当我们呢说到总体，就是一个具有确定概率分布的随机变量.第7页，课件共33页，创作于2023年2月

如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.总体寿命X可用一概率分布来刻划F(x)第8页，课件共33页，创作于2023年2月

实例研究某灯泡厂1000只同一型号灯泡的寿命，这1000只灯泡的寿命就是总体，且为有限总体，而每一只灯泡的寿命就是个体.如果研究该工厂所有灯泡的寿命，那么所有灯泡的寿命组成的总体为无限总体。

当有限总体包含的个体的总数很大时，可近似地将它看成是无限总体。有限总体和无限总体第9页，课件共33页，创作于2023年2月3.样本:设从总体X中随机抽取或观察n个个体X1,X2…Xn,所得的这一组个体(X1,X2…Xn)称为总体X的一个样本.其中个体的数目n称为样本容量.注意：在抽取或观察每个个体之前，X1,X2…Xn都是未知的，因而它们都是随机变量，(X1,X2…Xn)为n维随机变量．当n次抽取或观察一经完成，我们就得到一组实数（x1,x2,…,xn),称其为样本观察值或样本值．2.抽样:为了推断总体的性态而从总体中抽取部分个体的过程称为抽样.第10页，课件共33页，创作于2023年2月

设(X1,X2…Xn)是X的样本,则由X1,X2…Xn构造出来的、不包含任何未知参数的函数:g(X1,X2…Xn)称为统计量.＊注意:统计量是独立同分布随机变量X1,X2…Xn的函数,因而它也是一个随机变量.

例设(X1,X2)是从总体N(,2)中抽取的一个容量为2的样本,其中为未知参数,则X1/,1、统计量定义:二、统计量(statistic)第11页，课件共33页，创作于2023年2月2.几种重要的统计量设（X1，X2，Xn）为总体X的样本，则样本方差；样本标准差样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩样本均值；第12页，课件共33页，创作于2023年2月当(X1,X2,…,Xn)的观察值为(x1,x2,…,xn)时,上述统计量的观察值分别为:样本均值；样本方差；样本标准差样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩第13页，课件共33页，创作于2023年2月解设25瓶洗净剂灌装量为，它们是来自均值为方差为1的总体的样本，现在需要计算的是事件的概率，根据性质(2)有对于装25瓶的一箱而言，平均每瓶灌装量与标定值之差不超过0.3毫升的概率近似为0.8664.例1某公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂，规定每瓶装毫升，但实际灌装量有一定的波动，假定灌装量服从正态分布,方差瓶洗净剂的平均每瓶灌装量与标定值的概率是多少？=1，如果每箱装25瓶这样的洗净剂，试问这相差不超过0.3毫升第14页，课件共33页，创作于2023年2月设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为取自该总体X的样本.几种常用统计量及统计四大分布①标准正态分布及其上侧α分位数若P(Z>zα)=α,则称zα为标准正态分布的上侧α分位数.zααXφ(x)其中定义设X~N(μ,σ2),则~N(0,1),对任意0<α<1,三、正态总体下的常用统计量及其分布第15页，课件共33页，创作于2023年2月设X～N(,2),(X1,X2…Xn)是它的一个样本,那么有统计量的分布(随机变量函数的分布)又称抽样分布证:由概率论的知识知,服从正态分布.样本均值的分布第16页，课件共33页，创作于2023年2月②2分布（第二大分布）:设,X1,X2,…,Xn是来自总体的一个样本,则称统计量:服从自由度为n的分布,记为2～2(n)

的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=10随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓第17页，课件共33页，创作于2023年2月2分布的性质:①设Y~2(n),则E(Y)=n,D(Y)=2n②设Y1~2(n1),Y2~2(n2),且Y1,

Y2相互独立,则

Y1+Y2~2(n1+

n2),(可加性)证于是①根据定义其中E(X4)用定义求,求积分,用分部积分的方法求得第18页，课件共33页，创作于2023年2月2分布的上分位数:的点为2(n)分布的上侧分位数.,对于给定的正数(0<<1),称满足条件第19页，课件共33页，创作于2023年2月n﹥45时，用近似公式：有表可查(附表5)12.5922.733第20页，课件共33页，创作于2023年2月③t分布（第三大分布）:服从自由度为n的t分布，记为Tt(n).又称为学生氏(Student)分布.其概率密度函数为第21页，课件共33页，创作于2023年2月n=∞

n=1图形1)图形关于t=0对称;2)t分布的的极限是标准正态分布,即事实上,当n>30时,两者就非常接近了.3)t分布的上侧分位数t

(n):对于给定的(0<<1),称满足条件的点t

(n)为t分布的上分位点第22页，课件共33页，创作于2023年2月t(n)上侧分位数t（n），由图形不难看出还有性质：当n45时,查表附表4当n>45时,可利用N(0,1)近似,即

t

(n)≈Z,

t1-(n)=-t(n)例

第23页，课件共33页，创作于2023年2月④F分布（第四大分布）设U~2(n1),V~2(n2),且U与V相互独立,则称随机变量服从自由度为(n1,n2)的F分布.其概率密度函数为.根据F分布的定义有第24页，课件共33页，创作于2023年2月

n1=10,n2=25n1=10,n2=5F分布的上侧分位数:可查附表6,如F0.01(10,15)=(0<<1)的点F(n1,n2)为F分布的上侧分位数.3.8.第25页，课件共33页，创作于2023年2月F分布的上分位点有下列性质:证若FF(n1,n2),按定义有于是再由，得从而例统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记哦！！第26页，课件共33页，创作于2023年2月1、若X~N（，2），(X1,X2…Xn)为其样本，①与S2相互独立，②

四、几个重要结论分别为样本均值与样本方差，则有①的证明从略。②的证明如下：第27页，课件共33页，创作于2023年2月证明②：从而由t分布的定义得第28页，课件共33页，创作于2023年2月例2

在研究设计导弹发射装置时，弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布，这里=100米2，现在进行了25次发射试验，表示这25次试验中弹着点偏离目标中心距离的样本方差，试求超过50米2的概率.解

根据上述重要结论也即本定理6.1知：于是超过50米2的概率为0.975第29页，课件共33页，创作于2023年2月２、设总体XN（1，2），YN（2，2）而

(X1,X2…Xn1)和(Y1,Y2…Yn2)分别是取自总体X和Y的

样本，X与Y相互独立,则有

第30页，课件共33页，创作于2023年2月３、设总体XN（1，21），YN（2，22）而

(X1,X2…Xn1)和(Y1,Y2…Yn2)分别是取自总体X和Y的

样本，S12,S22分别表示它们的样本方差,且X与Y相互

独立,则第31页，课件共33页，创作于2023年2月例3设是来自正态总体的样本，问统计量服从什么分布？解因为