有限元法基础等参元与数值积分

有限元法基础等参元与数值积分1第1页，课件共88页，创作于2023年2月5.等参元与数值积分

本章重点等参变化的概念和实现单元特性矩阵方法实现等参变换的条件和满足收敛准则的条件数值积分的基本思想和Gauss积分的特点单元刚度矩阵数值积分阶次的选择有限元法基础2第2页，课件共88页，创作于2023年2月5.等参元与数值积分关键概念等(超、次)参变换雅克比矩阵和行列式等参变换的条件等参元的收敛性数值积分高斯积分精确积分减缩积分矩阵的秩零能模式有限元法基础3第3页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念将局部（自然）坐标中的简单几何形状的单元，转换成总体（物理）坐标中的几何扭曲的单元，必须建立一个坐标变换，即有限元法基础4第4页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础5第5页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础6第6页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础规则化单元：母单元在自然坐标系内(局部)实际单元：子单元在总体坐标系内(整体)利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系7第7页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础等参变换

坐标变换和场函数插值采用相同的节点，m=n,并且采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为等参元。超参变换

坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即m>n。这样建立的单元，称为超参元。次参变换坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即m<n。这样建立的单元，称为次参元。8第8页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础例：一维2节点单元

9第9页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础例：二维3节点单元

10第10页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础例：平面4节点单元

11第11页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础单元矩阵的变换

等参变换单元矩阵的变化：

等参变换单元矩阵的变化：B、K、dΩ、……12第12页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。

13第13页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础1）导数之间的变换

由复合函数求导规则有写成矩阵形式J称为Jacobi矩阵

14第14页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础J的伴随矩阵15第15页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素

16第16页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础2）体积微元的变换

17第17页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础单元刚度矩阵等效体积力

18第18页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础3）面积微元的变换以为例，

19第19页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础边界面力的变换以为例，

20第20页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础4）对二维问题面元

线元21第21页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础5）面积坐标

直边三角形时：22第22页，课件共88页，创作于2023年2月5.1等参变换的概念有限元法基础6）体积坐标

23第23页，课件共88页，创作于2023年2月5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础等参变换的条件等参变换中，需计算Jacobi矩阵的逆是否存在？存在的条件是

这是两个坐标系间一对一变换的条件24第24页，课件共88页，创作于2023年2月5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础以二维情况为例说明1）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反，，顺序相同2）

若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处

25第25页，课件共88页，创作于2023年2月5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础畸变单元举例节点1节点2节点3由于是连续函数，故在1-2边至到2-3边时必有一点

，不具备等参变换条件。26第26页，课件共88页，创作于2023年2月5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础畸变单元举例边1-2退化为一个节点

在该点处

，也不具备

等参变换条件。实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，

并不会出现奇异性，应用中仍可使用；四边形退化为三角形单元的积分精度较差。

27第27页，课件共88页，创作于2023年2月5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础

等参单元的收敛性

弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性：完备性：场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移和常应变。协调性：单元内部位移连续且满足几何方程，单元间的位移场是连续的。

28第28页，课件共88页，创作于2023年2月5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础完备性设单元内任一点i的位移场为代入位移插值函数

29第29页，课件共88页，创作于2023年2月5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础注意到等参变换

30第30页，课件共88页，创作于2023年2月5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础只要

Ni满足形函数性质，完备性就得到满足，插值函数能够反映刚体位移和常应变。31第31页，课件共88页，创作于2023年2月5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础协调性单元间边界上的位移场：具有相同的节点和相同的节点数插值函数相同，有连续的位移场插值函数满足

32第32页，课件共88页，创作于2023年2月5.等参元与数值积分有限元法基础练习题：什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？同样条件可否适用于次参和超参单元？证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单元的Jacobi矩阵是常数矩阵。证明面积坐标的幂函数的积分公式。

（提示：利用面积坐标之和等于1的关系消去被积函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。）

33第33页，课件共88页，创作于2023年2月5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础

有限元方程为单元刚度矩阵为

34第34页，课件共88页，创作于2023年2月5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础1）母单元为自然坐标系列坐标变换

位移插值Jacobi矩阵应变的计算

求B时需建立

35第35页，课件共88页，创作于2023年2月5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础单元矩阵计算时

36第36页，课件共88页，创作于2023年2月5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础2）母单元为体积坐标系列取L1、L2和L3为独立变量，L4=1-L1-L2-L3单元矩阵计算

37第37页，课件共88页，创作于2023年2月5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础2）母单元为体积坐标系列取L1、L2和L3为独立变量，L4=1-L1-L2-L3单元矩阵计算

38第38页，课件共88页，创作于2023年2月5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础例：无限元1）一维问题：2节点单元通常u2是已知的。

39第39页，课件共88页，创作于2023年2月5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础例：无限元2）二维问题：4节点单元

40第40页，课件共88页，创作于2023年2月5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础坐标变换反映了1-2边的变化率。位移插值函数依然与传统单元一样。通常节点2和节点3的量是已知的。

41第41页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础数值积分的基本思想关键在求积系数和求积点的确定！

求积系数求积点误差42第42页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础1）Newton－Cotes积分方案

将积分区域[a,b]n等分构造近似被积函数在取样点上

43第43页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础使用n阶多项式构造近似函数

为Lagrange插值函数。积分系数

44第44页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础积分系数与选取的积分点个数有关与积分点位置有关与积分域[a,b]有关被积函数形式无关

45第45页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础采用规范化的区域（0，1），n+1个等距坐标为

称为Cotes系数。

这种积分具有n次的代数精度，即对n次多项式能精确积分。

46第46页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础例：一维问题n=1(梯形公式)

47第47页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础n=2(Simpson公式)

48第48页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础Newton－Cotes积分特点积分取样点等距分布有n+1个积分点，若被积函数是n次多项式，代数积分是精确的

49第49页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础2）Gauss积分方案特点

积分取样点非等间距分布，通过优化积分点的位置，提高了积分精度，n个积分点可达2n-1次精度。

50第50页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础在积分域内构造多项式由条件确定积分点的位置。

51第51页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础

的性质：（1）在积分点上（2）在积分域（a,b）内与正交。被积函数可由2n-1次多项式近似

52第52页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础

上式在形式上与Newton－Cotes积分是一样的，但是近似函数是2n-1次，积分点是非均匀的分布。为了方便积分，一般积分限（a，b）＝（-1，1）。53第53页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础例：两点Gauss积分积分点位置：i=0i=1

54第54页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础得到

求解高阶积分点坐标和权系数，一般利用Legendre多项式来进行。55第55页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础

56第56页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础n=2Newton-CotesGauss57第57页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础二维和三维Gauss积分

对二维积分首先令为常数，对积分再对积分，得到

58第58页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础类似地三维积分为注：每个方向可以选取不同的积分点数。

59第59页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础3）Irons积分方案对三维六面体积分每个方向使用n点Newton-Cotes积分，需n3个点，在

每个方向的精度为n-1次。每个方向使用m点Gauss积分，需m3个点，在每个方

向的精度为2m-1次。Irons积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积分精度。

60第60页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础61第61页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础

62第62页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础4）Hammer积分方案

讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分

63第63页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础64第64页，课件共88页，创作于2023年2月5.4数值积分方法有限元法基础

65第65页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础积分点个数的选取是对数值积分阶次的选择计算精度计算工作量计算成本66第66页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础选取积分点个数的原则1）保证积分精度2）保证总体刚度矩阵满秩3）有较好的计算效率67第67页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础1）保证积分精度以一维单元刚度矩阵积分为例

积分限标准化，并设Jacobi行列式为常数68第68页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础对多数弹性力学问题Ni插值函数：p阶多项式D微分算子：最高导数

阶次m原被积函数为2（p－m）阶多项式69第69页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础为保证积分精度，Gauss积分点数为n，应有按此规则选取积分点个数，才能使被积函数达到精度。70第70页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础对二维和三维单元

按一维的方法选nxn或nxnxn个积分点，可能被积函数达不到精确积分的要求！原因1：Jacobi行列式可能不是常数,这样提高了被积函数的阶次。

当物理坐标中的单元平行四变形（2D）

平行六面体（3D）71第71页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础解决办法1）适当提高积分点数，以适应精度2）剖分网格时，尽量避免过分扭曲单元72第72页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础例：不同形状网格剖分的悬臂梁73第73页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础74第74页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础原因2：B矩阵中包含有高阶非完全项

原插值函数：p阶完备多项式p’阶非完全项采用精确积分方案，应以p’为准，即

75第75页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础例：二维4节点单元优化积分方案：p=1,n=p-m+1=1,一点积分非完全项含有,

精确积分方案：积分点2x2

76第76页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础例：二维8节点单元优化积分方案：p=2,n=p-m+1=2,2x2积分精确积分方案：非完全项含有，

积分点3x3

77第77页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础

在实际计算单元刚度矩阵时，还有其他方面的考虑。实际的Gauss积分点数<精确积分要求的积分点数

78第78页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础精确积分是非完全项所要求，决定有限元的精度是完全多项式，选取较低的Gauss积分已保证完备项的要求，可提高计算效率位移元得到的解是下限解，往往偏刚，降阶积分可减少单元的刚度对于畸形单元，积分中含有本身也不可能精确积分79第79页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础2）保证总体刚度矩阵满秩系统总自由度数N＝系统节点数X每节点自由度－约束数约束数>刚体位移数施加边界条件后，总刚度矩阵非奇异

存在，方程有解。80第80页，课件共88页，创作于2023年2月5.5数值积分阶次的选择有限元法基础矩阵的秩1）矩阵相乘2）矩阵相加