概率论独家课件第二章

课程：概率论与数理统计教师：沈其骅邮箱：办公室：2号楼306室办公室电话：67705091百度云网盘：密码：math0310你们感到自己在动了么？你们听到什么声音了么？请问：你们闻到什么气味了么？你们看到什么颜色了么？你确定？语录：我们是有限的；听不见不代表没有声音，闻不到不代表没有气味，感受到未必是客观事实，看不到也不一定不存在。一、分布函数的概念二、分布函数的性质三、例题讲解四、小结第三节

随机变量的分布函数1.概念的引入对于随机变量X,我们不仅要知道X

取哪些值,要知道X取这些值的概率;而且更重要的是想知道X

在任意有限区间(a,b)内取值的概率.F

(x1

)分布函数F

(

x2

)P{

x1

<

X

£

x2

}

=

F

(

x2

)

-

F

(

x1

).P{

x1

<

X

£

x2

}=

P{

X

£

x2

}-P{

X

£

x1

}?一、分布函数的概念例如求随机变量X

落在区间(x1

,x2

]内的概率.2.分布函数的定义定义 设

X

是一个随机变量,

x是任意实数,函数F

(

x)

=

P{

X

£

x}称为X的分布函数.说明

分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.分布函数F

(x)是x

的一个普通实函数.实例

抛掷均匀硬币,

令出正面,0,

出反面.X

=

1,求随机变量X

的分布函数.解2p{

X

=

1}

=

p{

X

=

0}=

1

,•0•1x当x

<0

时,F

(

x)

=

P{

X

£

x

<

0}

=

0;••0

1x当0

£

x

<1

时,2F

(

x)

=

P{

X

£

x}=

P{

X

=

0}

=

1;当x

‡1

时,F

(

x)

=

P{

X

£

x}=

P{X

=

0}+

P{X

=1}1

12

2+==

1.0

£

x

<

1,1,

x

‡

1.0,

x

<

0,1得F

(x)=2

,0

£

F

(

x)

£

1,

x

˛

(-¥

,¥

);F

(

x1

)

£

F

(

x2

),

(

x1

<

x2

);证明F

(

x2

)

-

F

(

x1

)

=

P{

X

£

x2

}-

F{

X

£

x1

}=

P{

x1

<

X

£

x2

}

‡

0故F(x1

)£

F(x2

).二、分布函数的性质(3)

F

(-¥

)

=

lim

F

(

x)

=

0,xfi

-¥证明

1

=

P{-¥

<

X

<

¥

}F

(¥

)

=

lim

F

(

x)

=

1;xfi

¥¥¥nfi

¥

m

fi

-¥=

P{n

<

X

£

n

+

1}-¥=

[F

(n

+

1)

-

F

(n)]-¥=

lim

F

(n)

-

lim

F

(m

)极限存在且x

fi

¥

nfi

¥既然F

(x)是单调函数，当x分别趋于–¥

时，lim

F

(

x)

=

lim

F

(n)lim

F

(

x)

=

lim

F

(m

)x

fi

-¥

m

fi

-¥(4)

lim

F

(

x)

=

F

(

x0

), (-¥

<

x0

<

¥

).xfi

x0+即任一分布函数处处右连续.1,x1

£

x

<

x2

,0,

x

<

0,

p

, 0

£

x

<

x

,1

1F

(

x)

=

p

,2x

‡

x

.2因为

0

£

F

(

x)

£

1，故

lim

F

(

x)

=

0，lim

F

(

x)

=

1.x

fi

-¥

x

fi

¥xoF

(

x)•1x•2x1p2p1重要公式P{a

<

X

£

b}

=

F

(b)

-

F

(a),P{

X

>

a}

=

1

-

F

(a).设X

是离散型随机变量，其分布律为10203040x

£xkkP{X

=xk

}=pk

,k

=1,2,

则F

(

x)

=

P{

X

£

x}=

pP{a

£

X

£

b}

=

F

(b)

-

F

(a)

+

P{

X

=

a}P{a

£

X

<

b}

=

F

(b)

-

F

(a)

+

P{

X

=

a}

-

P{

X

=

b}P{a

<

X

<

b}

=

F

(b)

-

F

(a)

-

P{

X

=

b}.S

=

{HHH

,

HHT

,

HTH

,THH

,

HTT

,THT

,TTH

,TTT},因此分布律为8

8

8

8pX

0

1

2

31

3

3

1解

则三、例题讲解例1

将一枚硬币连掷三次,X

表示“三次中正面出现的次数”,求X

的分布律及分布函数,并求下列概率值P{1

<X

<3},P{X

‡5.5},P{1

<X

£

3}.设H

-正面,T

-反面,8

8

2当x

<0时,求分布函数x•o•1•2•3F

(

x)

=

P{

X

£

x}

=

0;当0

£

x

<1时,8xi

£0iF(x)

=

P{X

£

x}=

P{X

=

0}

=

p

=

1;当1

£

x

<2时,F

(

x

)

=

P{

X

£

x

}

=

P{X

=

0}+

P{

X

=

1}xi

£1i=

p

=

1

+

3

=

1;当2

£

x

<3时,1

3

3

78

8

8

8+

+ =

;=当x

‡3时,F

(

x)

=

P{

X

£

x}=

P{X

=

0}+

P{

X

=

1}xi

£2F

(

x)

=

P{

X

£

x}=

P{

X

=

0}

+

P{

X

=

1}+

P{

X

=

2}=

pix•

•

•

•o

1

2

3=

pi

=

1.xi

£3+

P{

X

=

2}+

P{

X

=

3}1,7 8

,1 8

,0,

x

<

0,0

£

x

<

1,1

£

x

<

2,2

£

x

<

3,x

‡

3.所以

F

(

x

)

=

4 8

,P{1<

X

<

3}

=

P{X

£

3}-

P{X

£1}-

P{X

=

3}=

F(3)

-

F(1)

-

P{

X

=

3}=

1

-

4

-

1

=

3

.8

8

8P{

X

‡

5.5}=

1

-

P{

X

<

5.5}=

1

-

P{

X

£

5.5}

+

P{

X

=

5.5}=

1

-

1

+

0

=

0.P{1

<

X

£

3}

=

P{X

£

3}-

P{X

£1}=

F(3)

-

F(1)=

1

-

4

=

1

.8

2例2

设随机变量

X

的分布律为Xkp-

1

2

3141214解由于X

仅在x

=-1,2,

3

处概率不为0,

且F

(

x)

=

P{

X

£

x},求

X

的分布函数,并求

P{

X

£

1},

P{3

<

X

£

5},2

2

2P{2

£

X

£

3}.P{

X

=

-1},

-

1

£

x

<

2,F

(

x)

=

P{

X

=

-1}

+

P{

X

=

2},

2

£

x

<

3,0,x

‡

3.x

<

-1,得1,431, 2

£

x

<

3,x

‡

3.,

-

1

£

x

<

2,1,0,

x

<

1,即

F

(

x)

=

4由

F

(

x)

=

P{

X

£

x},45

-

3P{3

<

X

£

5}

=

F

(

)2

2

2F

( )

=2=3

1

14

-

4 2

,P{2

£

X

£

3}

=

F

(3)

-

F

(2)

+

P{

X

=

2}=

1

-3

1

34

+

2

=

4

.1得

P{

X

£

1}

=

F

(

)

=

1

,2

2请同学们思考不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?不一定.1,x

<

-1;-

1

<

x

<

1;x

‡

1.0,F

(

x)

=

2,1X1

与

X

2

在样本空间上的对应法则不同,

是两个不同的随机变量,但它们却有相同的分布函数-

1,21X

=-1,

出正面;出反面.X

=1,

出正面;出反面.

1,答

例如抛均匀硬币,

令F

(

x)

=

P{

X

£

x}

=

pkxk

£

x分布函数分布律pk

=

P{

X

=

xk

}离散型随机变量分布律与分布函数的关系例3

一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量

X

的分布函数.解当x

<0时,P{X

£

x}是不可能事件,于是F

(

x)

=

P{

X

£

x}

=

0;当

0£

x

£

2时,

P{0

£

X

£

x}

=

kx

2

,

k是常数.4由

P{0

£

X

£

2}

=

1,

得