黑龙江省哈尔滨市第一六五中学2021年高三数学文测试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第一六五中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A． B． C．或 D．或参考答案：D【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D【点评】本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点2.已知向量为非零向量，，则夹角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件即可得到，这样即可得到，且，从而可以求出，这样便可得出，的夹角．【解答】解：；∴，；∴；∴；∴；∴=；∴夹角为．故选：B．3.将的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象，则=

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略4.直线被圆所截得的弦长为

(

)

A．

B．1

C．

D．参考答案：D圆心到直线的距离为，则弦长为，选D.5.已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于

（

）

A．

B．3

C．

D．参考答案：B6.已知集合，集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：不能推出故是的充分不必要条件.考点：1、充分条件与必要条件；2、指数不等式解法．7.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；等差数列的性质．【分析】由，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易判断△ABC为等腰三角形，又由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，我们易求出B=60°，综合两个结论，即可得到答案．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴2B=A+C又∵A+B+C=180°∴B=60°设D为BC边上的中点则=2又∵∴=0∴即△ABC为等腰三角形，故△ABC为等边三角形，故选：B【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算和等差数列的性质，其中根据平面向量的数量积运算，判断△ABC为等腰三角形是解答本题的关键．8.已知且,则存在,使得的概率为A.

B.

C.

D.

参考答案：D略9.实数等比数列中，，则“”是“”的A.充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】等比数列性质充分必要条件A2D3A解析：设等比数列的公比为，由得，因为，所以，即，由得，因为，所以即，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选择A.【思路点拨】结合等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．已知函数10.，则a的取值等于（

）A．-1

B．1

C．2

D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为第三象限角，，则=

_．参考答案：12.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点

.参考答案：【答案】(-1,2)【解析】由函数的图象过点(1,2)得:即函数过点

则其反函数过点所以函数的图象一定过点13.若不等式的解集为，则不等式的解集为

参考答案：14.已知直线与圆相交于两点，且*

*

*

*.参考答案：15.在的二项展开式中，的系数等于_______.参考答案：180【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得x6的系数．【详解】在的二项展开式的通项公式公式为C10k（﹣2）kx10﹣2k，令10﹣2k＝6，解得k＝2，故x6的系数等于C102（﹣2）2＝180，故答案为：180．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.已知函数，若，则=

；参考答案：或17.已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），an=（n∈N*），bn=（n∈N*），考查下列结论：①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．以上命题正确的是．参考答案：②③④【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．【解答】解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误，（2）令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数．故②正确，（3）若，则an﹣an﹣1=﹣===为常数，故数列{an}为等差数列，故③正确，④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），∴当x=y时，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），则f（22）=4f（2）=8=2×22，f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23，…则f（2n）=n×2n，若，则====2为常数，则数列{bn}为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数

（I）求的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）若上恒成立，求实数的取值范围。参考答案：解：（I）

………………2分

………………3分的单调递减区间为

………………6分

（II）即有

………………10分

………………12分

19.设的三个内角所对的边分别为，且满足(2a+c)

·+c·=0.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，试求·的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以即，则

……4分所以，即，所以………………8分（Ⅱ）因为，所以，即当且仅当时取等号，此时最大值为4…………12分所以=，即的最小值为…………14分20.某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件．【分析】（1）利用条件概率公式，即可求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）确定X的可能取值，利用概率公式即可得到总分X的分布列，代入期望公式即可．【解答】解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B，则P（A）=，P（AB）=．…∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P（B|A）=．…（2）X的可能取值为：0，10，20，30，则P（X=0）==，P（X=10）=+=，P（X=20）==，P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X的分布列为X0102030p…∴X的数学期望为EX=0×+10×+20×+30×=．…21.已知函数f（x）=ax2﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；分类讨论；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx，，由此利用导数的几何意义能求出函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）f（x）=ax2﹣lnx，a∈R的定义域为（0，+∞），=，根据a≤0，a＞，0＜a≤分类讨论，能求出存在a=，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx，f（1）=1，，f′（1）=1，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣y=0．（Ⅱ）∵f（x）=ax2﹣lnx，a∈R，∴此函数的定义域为（0，+∞），=，当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是减函数，∴当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=ae2﹣1=，解得a=＞0与a≤0矛盾；当a＞0时，令f′（x）=0，得，，在（0，）上，f′（x）＜0，在（，+∞）上，f′（x）＞0，∴当＜e，即a＞时，函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，e）上是增函数，∴当x=时，f（x）取得最小值，令=，得a=，符合题意．当≥e，即0＜a≤时，函数f（x）在（0，e]是减函