2023届新高考卷数学概率与统计热门考题汇编

2023届新高考卷概率与统计热门考题汇编

第一部分:基本原理和重要概念

一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理分步乘法计数原理

相同点用来计算完成一件事的方法种类

分类完成，类类相加分步完成，步步相乘

每步依次完成才算完成这件事(每

不同点每类方案中的每一种方法都能独立

步中的一种方法不能独立完成这件

完成这件事

事)

注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整

二、常见的一些排列问题及其解决方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

优先法优先安排特殊元素或特殊位置

把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排

捆绑法

列

对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面

插空法

元素排列的空当中

定序问题

对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法处理

间接法正难则反，等价转化的方法

三、分蛆分配问题

(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种：

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复，有八组均匀，最后必须除以九！；

③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.

(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.

四、二项式定理

(1)一般地，对于任意正整数,都有：

(a+b)”=C^an+Ckan-'b+---+C^an~rbr+…+C»"(n€N*),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式.

式中的做二项展开式的通项，用Tr+l表示，即通项为展开式的第r+1项：£+产Ca"-'，,其

中的系数C：(r=o,1,2,…，71)叫做二项式系数,

2.(2)两个常用的二项展开式：

①(a—by=&屋+。：屋-办+L+(-l)rWV+L+(-l)nOn(n€AT),

②(1+c)"=1+C\x+&+L+CH+L+

(3)二项式系数的性质(杨辉三角形)

①每一行两端都是1,即c=&；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即a”cr'+c'n.

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即cr=crm.

③二项式系数和令a=6=i,则二项式系数的和为+…+a+…+&：=2",变形式a+a

+…+a+…+(X=2"T.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a=1,6=—1,

则&Y+或Y+…+(-I)n(x=(1-I)n=o,

从而得到：&+叱+CM+G/+-••=&+C：+…+叱"工•••=y-2n=2"-'.

⑤最大值:如果二项式的事指数n是偶数，则中间一项今一的二项式系数C?最大；

n-1n+1

如果二项式的事指数九是奇数，则中间两项碑，琢+】的二项式系数。r7,cl相等且最大.

⑥求(a+W)”展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为41，…，

4+1，设第7+1项系数最大，应有之十，从而解出r来.

4+2

(4)二项式系数和的计算与赋值

五、二项分布

1.九重伯努利试验的概念

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行九次所组成的随机

试验称为71重伯努利试验.

2.71重伯努利试验具有如下共同特征

(1)同一个伯努利试验重复做九次；

(2)各次试验的结果相互独立.

3,二项分布

一般地,在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(()Vp<1),用X表示事件4发生

的次数，则X的分布列为：F(X=fc)=屐/(1-p)n-k,k=0,1,2,…n,如果随机变量X的分布列具有上

式的形式,则称随机变量X服从二项分布，记作

X~B(n,p)

4.一般地，可以证明：如果X~B(n,p)，那么EX=np,DX=np(l-p).

六、超几何分布

1.超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件,其中有M件次品，从N件产品

中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的几件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=%)=

-z,k=m,m,+l,m+2,■■■,r.

5

其中7i,N,“eN*,MWN,九WN,m=max{O,?i-N+A/},r=min{n,Al}.如果随机变量X

的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

2.超几何分布的期望

E(X)==np(p为N件产品的次品率).

七、二项分布与超几何分布的区别

1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布,此时往往会出现重要的题眼“将频

率视为概率”.

2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.

3.看一次抽取的结果是否只有两个结果,若只有两个对立的结果力或n,一般考查二项分布.

4.看抽样方法,如果是有放回抽样，一定是二项分布;若是无放回抽样,需要考虑总体数再确定.

5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变,一定考查二项

分布，这也是判断二项分布的最根本依据.

6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再

抽”的题干信息.

7.二项分布

一般地，在九重伯努利试验中，设每次试验中事件＞1发生的概率为p(0VPV1),用X表示事件A发生

的次数，则X的分布列为：P(X=k)=C,y(l-p)"T；k=(),1,2,…打,如果随机变量X的分布列具有上

式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作

X~B(n,p)

8.一般地，可以证明：如果X~B(n,p),那么EX=np,DX=np[\—p).

八、二项分布的两类，值

⑴当p给定时，可得到函数/(fc)=cy(l-Py-\k=0,1,2,…n,这个是数列的最值问题.

pG：p”(l-p)nk_(九-k+l)pfc(l—p)+(n+l)pk(ri+l)p—k

.k=......■-'■",*，“，，•，•-・■-—，“一，….........■，■，"，，

Pk-1p)"T+lfc(l-p)...........fc(l-p)fc(l-p)

分析：当(rz+l)p时，网>"-1,随A:值的增加而增加；当k>(九+l)p时，

p*VpkT,以随A:值的增加而减少.如果(zi+l)p为正整数，当％=(n+l)p时，PA=PA-I,此时这两项概

率均为最大值.如果(n+l)p为非整数，而k取(n+l)p的整数部分，则”是唯一的最大值.

注:在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时,概率最大.

(2)当k给定时，可得到函数/(p)=Cpk(l—p)nT；pW(0,1),这个是函数的最值问题，

这可以用导数求函数最值与最值点.

kk

分析:f'(p)=C^kp-\\-py--p\n-fc)(l-0尸F

=脸尸(1-p)n-fc-1[fc(l-p)-(n-fc)p]=C旷P-p)n-k-\k-np\

当拈=1,2,…,打一1时，由于当pV曳时，/(p)>0J(p)单调递增，当p>圾时，r(p)V0,f(p)单调

nn

递减，故当P=&时，/(P)取得最大值J(P)max=/(").又当PTO，/(P)-1,当P-0时，/(P)T。，从

而/(p)无最小值.

九、复杂概率计算

(1)善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：A表示“第i

局比赛胜利”，则可表示“第i局比赛失败”.

(2)理解事件中常见词语的含义：

中至少有一个发生的事件为AUB；43都发生的事件为AB；力,8都不发生的事件为；48恰

有一个发生的事件为AUB；4B至多一个发生的事件为AUBU.

(3)善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用P(A)=1-

P(Z)解出所求事件概率.

十、条件概率

1.条件概率定义

一艇地，设4B为两个随机事件，且P(4)>0,我们称尸(回⑷=为在事件4发生的条件下，

产(力J

事件B发生的条件概率，简称条件概率.

可以看到，P(B|A)的计算，亦可理解为在样本空间4中，计算AB的概率.于是就得到计算条件概率

n{AB)

n(AB)n⑼P(AB)

的第二种途，即P{B\A)=

n(A)过®P⑷

n(£2)

特别地,当P(B\A)=P(B)时，即AB相互独立，则P(AB)=P⑷P(B).

2.条件概率的性质

设P(⑷>0,全样本空间定义为Q,则

⑴P(。⑷=1；

(2)如果5与。是两个互斥事件，则P((BU⑦⑷=P(B⑷+P(C|A)；

(3)设事件4和B互为对立事件,则P(BIA)=1-P(BIA).

十一、全概率公式与贝叶斯公式

1.在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时.，我们可以用“化整为零”的思

想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑

一般地，设4,4,…，4是一组两两互斥的事件，4U4U…U4=。，且P(A)>o,i=i,2,…，

心则对任意的事件Bq。,有p⑻=E>(4)P(BIA,).

£=1

我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一.

2.贝叶斯公式

设4,4,…，4是一组两两互斥的事件，&U力2U…U4”=R,且P(A)>0,i=l,2,…，孙则对任

意事件BGQ,P(B)>0,

有0(415)=0(43314)=f(4)P(BI4),i=i,2,…,n.在贝叶斯公式中，P(4)和

')£p(4)P(B14)

k=\

P(A|B)分别称为先验概率和后验概率.

十二、一罐通机游走与马尔科夫彼

1.转移概率:对于有限状态集合S,定义：R产P(X.+E|X"=,)为从状态，到状态,，的转移概率.

2.马尔可夫链：若P(X.+g|Xe,X-，…，居f)=P(X,i+1=/|X„=t.)=坞，即未来状态Xn+i只受当前状

态X,的影响，与之前的X—,Xn_2,…，X。无关.

3.一维随机游走模型.

设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻力=0时,位于点名=可，eN+),下一个时刻，它将

以概率a或者6(ae(0,l),a+6=l)向左或者向右平移一个单位.若记状态X-表示：在时刻£该点

位于位置X=i(iCN+),那么由全概率公式可得：

P(X,+g)=P(Xt=j)•P(Xt+i=|XgT)+P(X-+1)•P(X,+I$XE+I)

另一方面，由于P(Xt+i」X=I)=£,P(X“U|XE+J)=a，代入上式可得：

Pi=a•R+i+S-Pi-i

进一步，我们假设在z=0与c=m(m>0,7九GN+)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不

再游走.于是，笈=0,£“=1随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a,原地不动，其概率为b,向右

平移一个单位，其概率为c,那么根据全概率公式可得：

Pi-a-Pi+i+b-Pt+c•

有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.

十三、统计

1.线性回归方程与最小二乘法

⑴回归直线方程过样本点的中心（淳沙，是回归直线方程最常用的一个特征

（2）我们将。=的+&称为y关于z的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为

经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的&叫做b,a的最小二乘估计

汇3一动(仇一))^Xiyi-nx-y

5=-^-^----------------------------=鼻-------

(leastsquaresestimate)，其中力处-5)2f姆-脸2

»=1»-1

a=y—bx.

（3）残差的概念

对于响应变量y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的。称为预测值,观测值

减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，

以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.

（4）刻画回归效果的方式

⑴残差图法:作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作

出的图形称为残差图.若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果

越好.

（访）残差平方和法：残差平方和残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模

i=l

型拟合效果越差.

（南）利用R2刻画回归效果:决定系数&是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释

力仇-2

变量客立预报变量的能力.店=1V------------，后越大，即拟合效果越好，&越小，模型拟合效果越

1=1

差.

第二部分.试题汇编

一、单选题

2.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班及量检测(二检))若二项式卜M+1『展开式中存在常

数项，则正整数九可以是()

A.3B.5C.6D.7

nr2nir

【详解】二项式,2+与厂展开式的通项为工+尸c;(3/yr(」7y=3-C；lx-,

«2zX

令2n—4r=0,解得：？■,=£■,又因为九且r为整数，所以n为2的倍数，所以n=6,

故选：C.

3.(福建看福州市普通方中2023届高三毕业班质量检测(二检))为培养学生“爱读书读好书普读书”的

良好习惯，某校创建了人文社科类文学类自然科学类三个读书社团.甲乙两位同学各自参加其中

一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为()

A11「23

A'TBR•万C-JDn.i

【详解】记人文社科类文学类自然科学类三个读书社团分别为a,b,c,则甲乙两位同学各自参加其中

一个社团的基本事件有(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)共9种，而这两位同学

恰好参加同一个社团包含的基本事件有(a,a),(b,b),(c,c)共3种，

故这两位同学恰好参加同一个社团的概率P=曰=[.故选

yo

4.(福建省厦门市2023居高三下学期第二次质量检测)(3+g)’的展开式中小d项的系数等于80,则实

数a=()

A.2B.±2C.2V2D.±2V2

2

【详解】展开式的通项公式是1+尸6(az)5f.矿，当「=3时，xy项的系数为点♦a=80,解得：a=

±272.故选：D

5.(福建省厦门市2023居高三下学期第二次质量检测)厦门山海健康步道云海线全长约23公里,起于东

渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水

库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”.市民甲计划从''八山三水”这11个景点中随机选取相邻的

3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为()

±Ac互D.

A。3B,9C.9D-165

【详解】H个景点随机选取相邻的3个游览，共有9种情况，选取景点中有“水”的对立事件是在狐尾

山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的，共有4种情况，则其概率P=1•，则11个景

点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率P=1-故选：C

6.(广东省2023届高考一模)如图,在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片,每格只

放一张卡片，则''只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有()

A.96种B.64种C.32种D.16种

【详解】根据题意，分3步进行，

第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5"，则中间的数字只能为两组数1,4或2,3中的一组，共

有24=4种排法；

第二步，排第一步中剩余的一组数，共有用⑷=8种排法；

第三步，排数字5和6,共有A；=2种排法；

由分步计数原理知，共有不同的排法种数为4x8x2=64.故选：B.

7,(广东省佛山市2023届高三载学质量检测(一))己知事件C的概率均不为(),则P(A)=P(B)

的充要条件是()

A.P(AU口)=P(⑷+P(B)B.P(4UC)=P(BUC)

C.P(AB)=P(AB)D.P(AC)=P(BC)

【详解】解：对于/:因为P(AUB)=P⑷+P(B)-P(An3),由P(AUB)=P⑷4-P(B),

只能得到P(4AB)=0,并不能得到P⑷=P(B)，故4错误;

对于B:因为P(4UC)=P(4)+P(。)-P(AnC),P(BUC)=P(B)+P(C)-P(BAC),

由P{AUC)=F(BUC),只能得到P(A)-P(AnC)=P(B)-P(BAC),

由于不能确定4,。是否相互独立，故无法确定P(A)=P(B),故B错误；

对于C：因为P(AB)=P{A)-P(AB),P(AB)=P(b)-P(AB),

又P(4⑸=P(%B),所以P(A)=P但)，故。正确；对于O:由于不能确定是否相互独立，

若A,B,C相互独立，则P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

则由P(4C)=P(BC)可得P(4)=P(B),故由P(AC)=P(BC)无法确定P(A)=P(B)，故。错

误；故选：C

8.(广东省广州市2023届高三舔合测试(一))“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人

人为我”等,数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”、“回文数”是指从左到右与从右到左读都一

样的正整数，如121,241142等,在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有0

A.100个B.125个C.225个D.250个

【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：方位与个位数字相同，且不能为0;千位与十位数字相

同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：

最多1个0,取奇数字有⑷种，取能重复的偶数字有4种，它们排入数位有4种，取偶数字占百位有

⑷种，不同"回文数"的个数是⑷⑷属4=200个，

最少2个0,取奇数字有4种，占万位和个位，两个o占位有1种，取偶数字占百位有4种，

不同“回文数”的个数是25个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数

字是奇数的"回文数”共有200+25=225个.故选：C

9.（广东省深圳市2023居高三第一次调研）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业,

每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）

【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；

当分为3,1,1人时，有绫⑷=60种实习方案，当分为2,2,1人时，有£^・闻=90种实习方案，即共有

60+90=150种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有C；⑷+或闻=36种，故大学生甲、乙

到同一家企业实习的概率为7^7=-^7,

15025

故选：D.

10.（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试）一组数据按照从小到大的顺序排列为1,

2,3,5,6,8,记这组数据的上四分位数为n,则二项式（2工一圭）”展开式的常数项为（）

A.-16（）B.60C.120D.240

【详解】因为6x75%=4.5,所以九=6,所以（2®—展开式的通项为：

工+产砥2306f（一%了=玛.26f（T）%/告，令6-*=0得:r=4,

所以展开式的常数项为盘x2?x（—1）4=60,故选：B.

11.（江苏省八市（南通、泰州、扬州、徐州、津安、连云港、制运、拉城）2023居高三二模）已知（Y+亳）的展

开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为（）

A.60B.80C.100D.120

【详解】当7=1时，3"=243,解得n=5,则（/+§）”的展开式第『+1项工+产（^（二广〃（勺）'=禺

/5Tr2，a；-2r=，令15-5T=0,解得r=3,所以点2：'=10x8=80,故选：B

12.（江苏看南京市、拉城市2023届高三下学期一模）某种品牌手机的电池使用寿命X（单位:年）服从正态

分布N（4,/）9>0）,且使用寿命不少于2年的概率为0.9,则该品牌手机电池至少使用6年的概率为

0

A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1

«-L9

【详解】由题得：尸3>2）=0.9,故PQV2）=0.1,因为9/=4,所以根据对称性得：P（x>6）=

PQV2）=O.L故选：D

13.（江苏省苏修常铁四市2023届高三下学期3月栽学情况调研（一））“绿水青山，就是金山银山”，随着我

国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖童

头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景

点游玩.记事件力为“两位游客中至少有一人选择太湖童头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不

同”，则P（目力）=（）

A工B&C—D

A.99。11口11

【详解】由题可得PG4）=6X：蓝X5=11，p（谢=急=焉，

5

所以P（耳4）=，絮.=需=器.故选:D.

14.（2023年湖北省八市南三（3月）联考）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现

有48。三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲

不在4小区的概率为（）

A293BWOc?DA

'243'243'3,9

【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有35=243种情况，再计算5个人去3个地方，且每

个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为。权⑷=60;当5

人被分为2,2,1时，情况数为Clx&x&=90;所以共有60+90=150.由于所求甲不去情况数较

Ai

多，反向思考，求甲去4的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去人，甲若为1,则

C：义题=8,甲若为3,则C：义&=12，共计8+12=20种，

当5人被分为2,2,1时，且甲去4甲若为1,则乌x4=6,甲若为2,则C；x或x&=24,共计6+24

=30种，所以甲不在A小区的概率为二g""=骋，故选：B.

15.（山东省济南市2023届高三下学期3月一模）从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得

三角形是直角三角形的概率为（）

A3Bc，—

10-i5

【详解】以点力为例，以点4为其中一个顶点的三角形有AABC,△ABDAASE,△ABF,△力CD

A4CE,Z\ACR,△/£)£；,△ADR,ZVIEF,共10个,

其中直角三角形为△工共6个,

故所得三角形是直角三角形的概率为磊=,•

16.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次迨应性检测)某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道

题有思路，1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对的概率为().8,没有思路的题目，只好任意猜

一个答案,猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为()

A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43

【详解】设事件A表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则B=鼻x0.82=0.32,

若两个题目中一个有思路一个没有思路，则P2=x0.8x0.25=0.1,故PG4)=P}+P>=0.32+

0.1=0.42,故选:C

17.(淅江霍温州市普通高中2023居南三下学期3月第二次迨应性考试)已知随机变量X服从正态分布

N(2,k),且P(X>3)=，则P(XV1)=()

A.1B.-y-C.3D.」

3366

【详解】随机变量X服从正态分布N(2,c?),显然对称轴X=2,所以由对称性知P(x<1)=P(x>3)

=占，故选：C.

18.(浙江省温州市普通高中2023居高三下学期3月第二次连应性考试)(1+0”展开式中二项式系数最

大的是CS则"不可能是()

A.8B.9C.10D.11

【详解】当n=9时，然是最大的二项式系数，符合要求，当n=10时，。小是故大的二项式系数，符合要

求，

当71=11时，曲=仍是最大的二项式系数，符合要求，当n=8时，显然C?VCt不满足，

故选：A.

19.(淅江省温州市普通方中2023届南三下学期3月第二次迨应性考试)一枚质地均匀的骰子，其六个面

的点数分别为1,2,3,4,5,6.现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为X1,X2.设匕=

1m.'设其=依‘鲁X'记事件4="匕=5"，8="匕=3”,则P(B14)=()

A.看B.4C.JD.去

【详解】将此骰子任意抛掷2次，则基本事件的方法总数为36种，显然匕是取大函数，所以A="匕=

5"，则Xi，X2中有一个数字是5,另一个数字小于等于5,有5X2—1=9种；

显然X是取小函数，所以A="K=5"，5=«H=3”同时发生，则有(3,5)和(5,3);

所以P(4)=4=；,P(A4)=系，所以P(BI4)=q^=系故选

Ou4ol)V

二、多选题

20.(福建省厦门市2023居商三下学期第二次质量检测)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交

车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到:坐公交车平

均用时30分钟,样本方差为36；自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自

行车用时V都服从正态分布，则0

A.P(X>32)>P(y>32)B.P(X&36)=P(y436)

C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车

【详解】4由条件可知X〜N(30,6?),V〜77(34,22),根据对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32),

故A错误；

B.RX436)=尸(X&A+O),P(y&36)=P(y&〃+(7),所以尸(X&36)=P(Y<36),故B正确；

C.P(XW34)>0.5=P(Y&34),所以P(XW34)>P(VW34),故。正确；

D.P(X<40)<P(X<42)=P(XV〃+2c),P(YW40)=P(丫&〃+3。)，所以P(X440)<

p(y440)，故。正确.

故选：BCD

21.(广东店佛山市2023届高三载学质量检测(一))中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组

数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场

新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%,

这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特恩格尔提出的，计算

公式是“恩格尔系数=食物支与金’ex100%”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低

总支出金额

的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，

50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村

与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知（）

一▲…农村居民恩格尔系数（％）—•一城镇居民恩格尔系数（％）

36r―

3s、、

ZA

A-

Q1______JS"a

JU---4

/、

/

—r

4/

26---------

2012201320142015201620172018201920202021

A.城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平

B.农村居民恩格尔系数的平均数低于32%

C.城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%

D.全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数

【详解】对于4从折线统计图可知2015年开始城镇居民的恩格尔系数均低于30%,即从2015年开始

进入"最富裕"水平，故4正确；

对于R:农村居民恩格尔系数只有2017、2018、2019这三年在30%〜32%之间，

其余年份均大于32%,且2012、2013这两年大于（等于）34%,

故农村居民恩格尔系数的平均数高于32%,故B错误；

对于。:城镇居民恩格尔系数从小到大排列（所对应的年份）前5位分别为2019、2018、2017、2021、

2020,

因为10x45%=4.5,所以第45百分位数为第5位，即2020年的恩格尔系数，由图可知2020年的恩格

尔系数高于29%,故C正确；

对于。：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，显然农村居民占比要大于50%,

故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故。错误；

故选：AC

22.（广东盾广州市2023居高三绿合测试（一））某校随机抽取了10（）名学生测量体重,经统计，这些学生的

体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）

A.频率分布直方图中a的值为0.07

B.这100名学生中体重低于60kg的人数为60

C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62

D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5

【详解】对于工项，因为5x(0.01+a+0.06+0.04+0.02)=1,解得：a=0.07,故4项正确；

对于B项，(0.01+0.07+0.06)x5x100=70人，故B项错误;

对于C项,因为0.01X5+0.07X5+0.06x5=0.7,().01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9,

0.7V0.78V0.9,所以第78百分位数位于［60,65)之间，

设第78百分位数为x,则0.01X5+0.07x5+0.06x5+(x-60)x0.04=0.78,解得：a;=62,故。项

正确；对于。项，因为0.01x5x47.5+0.07x5x52.5+0.06x5x57.54-0.04x5x62.5+0.02x5

x67.5=57.25,即：估计该校学生体重的平均数约为57.25,故。项错误.故选：AC.

23.(湖北省七市(州)2023届甫三下学期3月联合统一调研测试)下列命题中正确的是()

A.若样本数据为，g，…，物)的样本方差为3,则数据2©+l,2a；2+l，…，2如)+1的方差为7

B.经验回归方程为。=0.3—0.7工时，变量劣和“负相关

C.对于随机事件4与F(A)>0,P(B)>0,若P(4|6)=F(A),则事件A与B相互独立

D.若X〜B(7、),则P(X=k)取最大值时k=4

【详解】对于4数据2电+1,2g+l,…，2飒+1的方差为22x3=12,所以力错误;

对于B,回归方程的直线斜率为负数，所以变量力与“呈负的线性相关关系，所以B正确；

对于C,由P(A\B)=.及)=P(A),得P(AB)=P(A)•P(B),所以事件A与事件3独立，所以C

正确；

小尸小二卜)>。(X=k+1)1比‘田',”©)7

解得k=3或k=4,所以。错误.故选：BC.

24.（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）在一次全市视力达标测试后,该市甲乙两所学校统计本

校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：

甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生

达标率60%70%65%75%

定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有（）

A.乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校

B.两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率

C.若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%

D.甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率

【详解】由表中数据可得甲校理科生达标率为60%,文科生达标率为70%,

乙校理科生达标率为65%,文科生达标率为75%,故选项AB正确；

设甲校理科生有工人，文科生有y人，若0.6c=0.7y,即6x=7y,则甲校总达标率为=

x+y

祟，选项C错误；

65

由总达标率的计算公式可知当学校理科生文科生的人数相差较大时，所占的权重不同，总达标率会接

近理科生达标率或文科生达标率，

当甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生时，甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率，选

项。正确；

故选：ABD

25.（湖北看丈汉市2023居赤三下学期二月调研）已知离散型随机变量X服从二项分布B（n,p），其中九C

M,0VpVI,记X为奇数的概率为a,X为偶数的概率为3则下列说法中正确的有（）

A.a+b—1B.p=■时,a=b

C.0<pV《时，a随着n,的增大而增大D.-y<p<l时，a随着八的增大而减小

【详解】对于入选项，由概率的基本性质可知，a+匕=1,故4正确，

对于口选项，由p=J时，离散型随机变量X服从二项分布

则p=（x=k）=。吗『（1-=0,1,2,3,…㈤,

所以a=（4）"©+&+&+……）=（y）"x2"-1=X,

一（/a+a+a+……）=怎心2-=/

所以a=b，故B正确,

升a「格-Ki—P）+P/—［（1—P）—_i-（1-2p）7?

又寸于。选项，a—--------------------------------------------------------,

I1—（1—2n）n

当0VpV］时，a=-------------为正项且单调递增的数列，

故Q随着灯的增