【研究院】北京(7)2018一模(理)分类汇编-数列及推理与证明压轴题(教师版)

2018一模分类汇编——数列及推理证明压轴题1.（2018朝阳一模·理）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A．甲B．乙C．丙D．丁1.A2.（2018东城一模·理）设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“为递增数列”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件2.D（2018延庆一模·理）若是函数的两个不同的零点，且这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则的值等于（A）4 （B）5 （C）6 （D）73.B4.（2018朝阳一模·理）等比数列满足如下条件：①；②数列的前项和．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式．4.（答案不唯一）5.（2018延庆一模·理）有4个不同国籍的人，他们的名字分别是A、B、C、D，他们分别来自英国、美国、德国、法国（名字顺序与国籍顺序不一定一致）.现已知每人只从事一个职业，且：（1）A和来自美国的人他们俩是医生；（2）B和来自德国的人他们俩是教师；（3）C会游泳而来自德国的人不会游泳；（4）A和来自法国的人他们俩一起去打球.根据以上条件可推测出A是来自国的人，D是来自国的人.5.英,德（第一空3分第二空2分）6.（2018房山一模·理）某班植树小组今年春天计划植树不少于棵，若第一天植树棵，以后每天植树的棵数是前一天的倍，则需要的最少天数等于.6.67.（2018丰台一模·理）已知数列的前项和，则____．7.148.（2018西城一模·理）设等差数列的前项和为．若，，则____；____．8.，9.（2018石景山一模·理）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．9.10.（2018西城一模·理）（本小题满分13分）数列：满足：．记的前项和为，并规定．定义集合，，．（Ⅰ）对数列：，，，，，求集合；（Ⅱ）若集合，，证明：；（Ⅲ）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．10.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，，，，，，[2分]所以．[3分]（Ⅱ）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，所以. [5分]又因为，所以[6分]所以．[8分]（Ⅲ）因为，所以非空． 设集合，不妨设，则由（Ⅱ）可知，同理，且．所以． 因为，所以的元素个数． [11分] 取常数数列：，并令，则，适合题意，且，其元素个数恰为．综上，的元素个数的最小值为． [13分]11.（2018海淀一模·理）（本小题13分）设是由，，，…，组成一个行列的数表（每个数恰好出现一次），且.若存在，，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表为一个“数表”，为数表的一个“值”. 对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作.（Ⅰ）判断下列数表是否是“数表”.若是，写出它的一个“值” ，； （Ⅱ）求证：若数表是“数表”，则的“值”是唯一的； （Ⅲ）在中随机选取一个数表，记的“值”为，求的数学期望.11.（本题满分13分）（Ⅰ）是“数表”，其“值”为3，不是“数表”. 3分（Ⅱ）假设和均是数表的“值”， ①若，则； ②若，则；③若，，则一方面， 另一方面；矛盾.即若数表是“数表”，则其“值”是唯一的. 8分（Ⅲ）方法1：对任意的由，，，…，组成的行列的数表.定义数表如下，将数表的第行，第列的元素写在数表的第行，第列，即（其中，）显然有：①数表是由，，，…，组成的行列的数表②数表的第行的元素，即为数表的第列的元素③数表的第列的元素，即为数表的第行的元素④若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值则数表中，是第列中的最大值，也是第行中的最小值.定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为362，即（其中，）显然有①数表是由，，，…，组成的行列的数表②若数表中，是第列中的最大值，也是第列中的最小值 则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值特别地，对由，，，…，组成的行列的数表①数表是由，，，…，组成的行列的数表②若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值 则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值即对任意的，其“值”为（其中，），则，且其“值”为.记，则，即数表与数表的“值”之和为，故可按照上述方式对中的数表两两配对，使得每对数表的“值”之和为，故的数学期望. 13分方法2：所有可能的取值为.记中使得的数表的个数记作，，则. 则，则，故，. 13分12.（2018石景山一模·理）（本小题共13分）对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.（Ⅰ）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；（Ⅱ）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；（Ⅲ）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.12.（本小题共13分）解：（Ⅰ）所有可能的数列为；；；…………3分（Ⅱ）由题意知数列中.又，所以…………4分所以，即（）…………8分（Ⅲ）当时，由得，又所以，不满足题意；当时，由题意知数列中，又当时此时，而，所以等式成立；当时此时，而，所以等式成立；当，得，此时数列为.当时，，而，所以不存在满足题意的数列.综上数列依次为.…………13分13.（2018丰台一模·理）（本小题共13分）已知无穷数列的前项和为，记，，…，中奇数的个数为．（Ⅰ）若，请写出数列的前5项；（Ⅱ）求证：“为奇数，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若，，求数列的通项公式．13.（本小题共13分）（Ⅰ）解：，，，，．……3分（Ⅱ）证明：（充分性）因为为奇数，为偶数，所以，对于任意，都为奇数．……4分所以．……5分所以数列是单调递增数列．……6分（不必要性）当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，均为奇数，所以，数列是单调递增数列．……7分所以“为奇数，为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件；……8分综上所述，“为奇数，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）解：（1）当为奇数时，如果为偶数，若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与矛盾．所以当为奇数时，不能为偶数．……9分（2）当为偶数时，如果为奇数，若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾．所以当为偶数时，不能为奇数．……10分综上可得与同奇偶．所以为偶数．因为为偶数，所以为偶数．……11分因为为偶数，且，所以．因为，且，所以．……12分以此类推，可得．……13分14.（2018房山一模·理）（本小题分）已知有穷数列数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．对于数列，定义如下操作过程:中任取两项，将的值添在的最后，然后删除这样得到一个项的新数列(约定：一个数也视作数列)．若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，…，如此经过次操作后得到的新数列记作.（Ⅰ）设请写出的所有可能的结果；（Ⅱ）求证：对于一个项的数列操作总可以进行次；（Ⅲ）设，求的可能结果，并说明理由.14.解：（Ⅰ）有如下的三种可能结果：……3分（Ⅱ），有且所以，即每次操作后新数列仍是数列.又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列每操作一次，项数就减少一项，所以对项的数列可进行次操作（最后只剩下一项）……6分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知中仅有一项.对于满足的实数定义运算：，下面证明这种运算满足交换律和结合律。因为，且，所以，即该运算满足交换律；因为且所以，即该运算满足结合律.所以中的项与实施的具体操作过程无关………………..….11分选择如下操作过程求：由（Ⅰ）可知；易知；；；；所以；易知经过4次操作后剩下一项为.综上可知：.....................13分15.（2018东城一模·理）（本小题13分）在个实数组成的行列的数表中，表示第行第列的数，记，.若.且两两不等，则称此表为“阶表”.记.（=1\*ROMANI）请写出一个“2阶表”；（=2\*ROMANII）对任意一个“阶表”，若整数，且，求证：为偶数；（=3\*ROMANIII）求证：不存在“5阶表”.15.（共13分）110（答案不唯一）解：（=1\*ROMANI）（答案不唯一）……3分（=2\*ROMANII）对任意一个“阶表”，表示第行所有数的和，表示第列所有数的和（）.与均表示数表中所有数的和，所以.因为，所以只能取内的整数.又因为互不相等，且，所以，所以.所以为偶数.………8分（=3\*ROMANIII）假设存在一个“阶表”，则由（=2\*ROMANII）知，且和至少有一个成立，不妨设.设，则，于是，因而可设，，.=1\*GB3①若3是某列的和，由于，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即.现考虑，只能是或，不妨设，即，由两两不等知两两不等，不妨设，若则；若则；若则，均与已知矛盾.=2\*GB3②若3是某行的和，不妨设，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，不妨设，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设，则矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设，所以，第五行只能是2个0，3个或1个1，4个.则至少有两个数相同，不妨设，则与已知矛盾.综上，不存在“5阶表”.………13分16.（2018朝阳一模·理）(本小题满分13分)已知集合是集合的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当时，设，（=1\*romani）写出方程的解；（=2\*romanii）若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个，存在正整数，使得方程至少有三组不同的解．16.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：．……2分（=2\*romanii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数