苏教版高中数学必修1第4课《函数的单调性》基础讲义

《函数的单调性》基础讲义知识讲解一、函数单调性的定义1.定义如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．2.等价形式设，那么在是增函数；在是减函数；在是减函数．3.应用即若在区间上递增（递减）且（）；若在区间上递递减且．（）．1.比较函数值的大小．2.可用来解不等式．3.求函数的值域或最值等二、单调性判别1.判断前注意讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2.用于判断的方法定义法：用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．子区间法：如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；图象法：复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减”；运算性质法：在公共定义域内增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数．特殊函数：函数在上单调递增；在上是单调递减．经典例题一．选择题（共10小题）1．函数f（x）的图象如图所示，则最大、最小值分别为（）A．f（32），f（﹣32） B．f（0），f（32） C．f（0），f（﹣32） D．f（0），【解答】解：根据图象的最高点与最低点，可得函数的最大、最小值分别为f（0），f（﹣32故选：C．2．函数f（x）=1x在[1，+∞A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值【解答】解：f（x）=1x在[1，+∞当x=1时，f（x）有最大值，最大值为1，无最小值．故选：A．3．函数f（x）=x2A．（﹣∞，﹣3） B．[2，+∞） C．[0，2） D．[﹣3，2]【解答】解：函数有意义，则：x2+x﹣6≥0，解得：x≥2或x≤﹣3，二次函数在区间（﹣∞，﹣3）上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，幂函数y=x结合复合函数的单调性可得函数f(x)=x2+x-6的单调增区间是[2故选：B．4．已知函数f（x）=-xA．（﹣∞，1] B．[﹣1，1） C．（1，3] D．[1，+∞）【解答】解：由3+2x﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤3，令t=3+2x﹣x2，则y=t，由函数y在t∈[0，+∞）为增函数，而二次函数t=3+2x﹣x2在[﹣1，1）为增函数，在[1，3]为减函数，由复合函数的性质：同增异减，可得：函数y=3+2x-x2的递增区间是[﹣1，故选：B．5．若定义域为（0，3）的函数f（x）是增函数，且f（2a﹣1）＜f（a），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（12，1） D．（1，3【解答】解：由题意得，&0＜2a-1＜则a的取值范围是：（12，1故选：C．6．若函数f（x）是R上的减函数，则下列各式成立的是（）A．f（a）＞f（2a） B．f（a2）＜f（a） C．f（a2+2）＜f（2a） D．f（a2+1）＞f（a）【解答】解：因为a和2a，a2和a无法确定大小关系，所以不能确定相应函数值的大小关系，故A、B错误；因为a2+2﹣2a=（a﹣1）2+1＞0，所以a2+2＞2a，又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+2）＜f（2a），故C正确；因为a2+1﹣a=(a-12)2+34＞0，所以a2又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+1）＜f（a），故D错误．故选：C．7．f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）＞f[8（x﹣2）]的解集是（）A．（0，+∞） B．（0，2） C．（2，+∞） D．（2，167【解答】解：由f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数得，&x＞0&8(x-2)＞0&x＞故选：D．8．函数f（x）=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（）A．[3，+∞） B．（﹣∞，2），（4，+∞） C．（2，3），（4，+∞） D．（﹣∞，2]，[3，4]【解答】解：函数f（x）=|x2﹣6x+8|，当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2，可得f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，即有f（x）在（4，+∞）递增；当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4，可得f（x）=﹣x2+6x﹣8=﹣（x﹣3）2+1，即有f（x）在（2，3）递增；则f（x）的增区间为（4，+∞），（2，3）．故选：C．9．设函数f（x）=&|x-1|，0≤x≤2&-x2A．（﹣∞，0），（1，2） B．（0，1），（1，2） C．（﹣∞，0]，[0，1] D．（﹣∞，0）∪（1，2）【解答】解：函数f（x）=&|x-1|，当0≤x≤2时，f（x）=|x﹣1|的增区间为（1，2）；当x＜0或x＞2时，f（x）=﹣x2+2x+1的对称轴为x=1，增区间为（﹣∞，0），即有函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，2）．故选：A．10．已知函数f(x)=&x2-2x，x≥0&1A．[﹣1，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：函数f(x)=&则不等式f（x）≤x，可得&x≥0&x2解得0≤x≤3或﹣1≤x＜0，即为﹣1≤x≤3．则不等式f（x）≤x的解集为[﹣1，3]，故选：A．二．填空题（共11小题）11．根据图象写出函数y=f（x）的单调区间：增区间（﹣∞，﹣3），（﹣1，3）；减区间：（﹣3，﹣1），（3，+∞）．【解答】解：函数的增区间体现在：在该区间函数图象上是从左往右看，图象成上升趋势，反之是单调递减区间；故增区间为（﹣∞，﹣3），（﹣1，3），减区间为（﹣3，﹣1），（3，+∞）故答案为（﹣∞，﹣3），（﹣1，3）；（﹣3，﹣1），（3，+∞）．12．函数f(x)=2x-4的单调递增区间是[2，+∞）【解答】解：f'(x)=1∴f（x）在定义域[2，+∞）上单调递增；即f（x）的单调递增区间是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．13．函数f(x)=1x+2的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞【解答】解：函数f(x)=1可由函数y=1x的图象向左平移2且函数y=1x的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞则f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）．14．函数f（x）=x+12x+1的单调递减区间为(-∞，【解答】解：函数f（x）的定义域为(-∞，-1所以，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，-1故答案为：(-∞，-115．函数y=﹣|x﹣1|（x﹣5）的单调递增区间为（1，3）．【解答】解：由题意知，y=﹣|x﹣1|（x﹣5）=&-x由二次函数的单调性得，所求的单调递增区间是：（1，3），故答案为：（1，3）．16．写出函数f（x）=﹣x2+2|x|的单调递增区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．【解答】解：由题意，函数f(x)=-x作出函数f（x）的图象如图所示：由图象知，函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）和（0，1）．17．二次函数y=x2+bx+c在区间[2，+∞）上是增函数，则实数b的取值集合是{b|b≥﹣4}．【解答】解：二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=﹣b2由函数在区间[2，+∞）上是增函数，可得﹣b2≤2，解得b≥﹣4故答案为：{b|b≥﹣4}．18．已知f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，则使f（x﹣2）＞0成立的x的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，要使f（x﹣2）＞0，则有x﹣2＞2，即x＞4，成立的x的取值范围是（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．19．已知函数y=f（x）是R上的增函数，且f（m+3）≤f（5），则实数m的取值范围是（﹣∞，2]．【解答】解：函数y=f（x）是R上的增函数，且f（m+3）≤f（5），故m+3≤5，解得：m≤2，故答案为：（﹣∞，2]．20．f（x）是定义在[﹣1，1]上的函数，且在[﹣1，1]上单调递减，若f（m﹣1）＞f（2m﹣1），则实数m的取值范围是（0，1]．【解答】解：f（x）是定义在[﹣1，1]上的函数，且在[﹣1，1]上单调递减，若f（m﹣1）＞f（2m﹣1），则有&-1≤m-1≤1&-1≤2m-1≤1求得0＜m≤1，故答案为：（0，1]．21．函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，1]和（1，+∞）．【解答】解：由已知中函数y=f（x）的图象可得：函数f（x）的单调递增区间是：（﹣∞，1]和（1，+∞），故答案为：（﹣∞，1]和（1，+∞）三．解答题（共3小题）22．证明函数f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上是增函数．【解答】解：法一：定义法任取（﹣∞，+∞）两个实数x1，x2，且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x12+x1x2+x22＞0∴f（x1）﹣f（x2）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上是增函数．法二：导数法∵f（x）=x3，∴f′（x）=3x2，∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≥0恒成立∴函数f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上是增函数．23．用定义法证明函数f(x)=x