第01讲 实数的概念及数的开方（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（原卷版）

第01讲实数的概念及数的开方（核心考点讲与练）一、实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数；2)圆周率π是一个无理数．2、无理数也有正、负之分．如、、等这样的数叫做正无理数；、、这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数．3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类（2）按性质符号分类 二、数的开方开平方：定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．这个数叫做被开方数．如，，的平方根是．说明：只有非负数才有平方根，负数没有平方根；平方和开平方互为逆运算．算术平方根：正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”．★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．开立方：1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数．★注意：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；零的立方根是0；一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．开次方：1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数．如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根．当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根．★注意：实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数；正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）；负数的偶次方根不存在；零的次方根等于零，表示为．三、数的方根的非负性数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；应用：与整式、分式的综合应用．考点一：实数的概念【例题1】．（2019·上海市香山中学七年级期中）下列说法中，正确的是()A．无理数包括正无理数、零和负无理数B．无限小数都是无理数C．正实数包括正有理数和正无理数D．实数可以分为正实数和负实数两类【变式训练1】．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列各数、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、0.451452453454，其中无理数的个数是_____________________。考点二：数的开方【例题2】（2019·上海市光明中学七年级期中）下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．【变式训练1】（2019·上海浦东新区·七年级月考）下列结论正确的是（）A．； B．没有平方根 C．的平方根是 D．的平方是.【变式训练2】（2019·上海市市西初级中学七年级期中）下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．【变式训练3】（2019·上海市中国中学七年级期中）下列计算正确的是()A．16=±4 B．−C．a2=a 【例题3】（2021·上海九年级专题练习）下列说法正确的是（）A．的立方根不存在 B．平方根等于本身的数有0，1C．是36的算术平方根 D．立方根等于本身的数有－1，0，1【变式训练1】（2021·上海九年级专题练习）下列说法错误的是（）A．的平方根是± B．﹣9是81的一个平方根C．的算术平方根是4 D．＝﹣3【变式训练2】（2021·上海九年级专题练习）7的平方根是______，______．【例题4】（2020·上海杨浦区·期末）方程的解是__________．【变式训练1】（2020·上海金山区·月考）方程的根是_______________【例题5】（2018·上海虹口区·期末）计算：__________．【变式训练1】（2019·上海杨浦区·七年级期末）1的四次方根是___________．考点三：方根的非负性【例题6】当x取何值时，下列各式有意义：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【变式训练1】若有意义，则=__________．【变式训练2】互为相反数，求2x-5y的值．【变式训练3】已知，求的值．【变式训练5】已知y=，求xy的平方根．1.为什么是无理数?请说明理由．2.已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1）_______； （2）____________；（3）_________； （4）______________；（5）___________； （6）_____________．3.填写下表，并回答问题：a…0.0000010.001110001000000…….……数a与它的立方根的小数点的移动有何规律?根据这个规律，若已知，求a的值．4.阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系:______（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．5.（2020·山西吕梁市·七年级期中）（阅读材料）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：第一步：∵，，，∴．∴能确定59319的立方根是个两位数．第二步：∵59319的个位数是9，∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．（解答问题）根据上面材料，解答下面的问题（1）求110592的立方根，写出步骤．（2）填空：__________．6．（2019·厦门市湖滨中学七年级期中）观察下列计算过程，猜想立方根．13=123=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为，验证得19683的立方根是（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想;.请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。7.已知，求的值．8.当时，求的值．9.设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不相等的实数，求的值．10.已知，求x的个位数字．分层提分分层提分题组A基础过关练1．（2020·上海浦东新区·七年级期末）下列各数：，0，，，0.3030030003，中，无理数个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列说法正确的是（）A．任意一个数算术平方根是正数 B．只有正数才有算术平方根C．因为3的平方是9，所以9的平方根是3 D．-1是1的平方根3．（2020·上海市中国中学七年级月考）下列说法中正确的是（）A．的平方根是2 B．负数没有立方根C．零没有平方根 D．任意一个实数都有立方根4．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列各数、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、0.451452453454，其中无理数的个数是_____________________。5．（2020·上海市民办立达中学七年级月考），，，则_______________；6．（2019·上海崇明区·）计算：__________．题组B能力提升练一、单选题1．（2018·上海金山区·七年级期中）下列运算中正确的是（）A． B．C． D．2．（2019·上海市江宁学校）下列说法正确的是（）A．是0.5的平方根B．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C．的平方根是7D．负数有一个平方根3．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）下列说法中，错误的是A．一个正数的两个平方根的和为零 B．任意一个实数都有奇次方根C．平方根和立方根相等的数只有零 D．mm＞0的4次方根是4．（2019·上海浦东新区·七年级期中）如果x取任意实数，那么以下式子中一定表示正实数的是()A．x B． C． D．|3x＋2|5．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）下列说法正确的是()A．平方根是本身的数只有0; B．立方根是本身的数只有0和1;C．绝对值是本身的数只有0和1; D．相反数是本身的数只有0和1.6．（2019·上海全国·七年级单元测试）–27的立方根与的平方根之和是A．0 B．–6C．0或–6 D．67．（2019·上海七年级课时练习）下列说法中正确的有（）个.①负数没有平方根，但负数有立方根．②49的平方根是±23，8③如果x2A．1 B．2 C．3 D．48．（2018·上海七年级零模）下列说法正确的是（）A．﹣81平方根是﹣9B．的平方根是±9C．平方根等于它本身的数是1和0D．一定是正数9．（2019·上海全国·七年级单元测试）下列各数：0，32，(－5)2，－4，－|－16|，π，其中有平方根的个数是()A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题10．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）的立方根是___________．11．（2019·上海市西南位育中学七年级期末）的值是_________；的立方根是_________．12．（2019·上海市三门中学七年级期中）下列各式中：①；②；③；④期中正确的有____________.（填写序号）13．（2016·上海奉贤区·七年级期中）若的立方根等于，则=______.14．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）25的立方根是__________________15．（2020·上海同济大学实验学校七年级期中）如果的平方根是，则_________16．（2018·上海松江区·七年级期末）若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．17．（2019·上海虹口区·七年级月考）一个棱长为1dm的正方体，要使它保持正方体形状但体积增加1倍，则这个新正方体的棱长是______dm.18．（2019·上海虹口区·七年级月考）学校要围一个占地面积144平方米的正方形花圃，需要准备竹篱笆的长度为_______.19．（2019·上海虹口区·七年级月考）已知｜a+2｜=0，那么=______.题组C培优拔尖练1．（2019·上海全国·七年级单元测试）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．2．（2019·上海市江宁学校）已知，求的平方根。3．（2019·上海七年级课时练习）已知实数，满足求｜－1|＋｜＋1｜的值．4．（2019·上海控江中学附属民办学校七年级单元测试）若实数使得与互为相反数,求的四次方根.5．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）已知：,求的值。6．（2019·上海浦东新区·七年级期中）已知，，求的平方根．7．（2019·上海浦东新区·七年级