自动控制原理二九

第五节控制系统的根轨迹分析法7/13/20231

利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析系统的瞬态和稳态性能；根据性能要求确定系统的参数；对系统进行校正。7/13/20232一、条件稳定系统的分析

[例4-11]：设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时的区值范围。开环极点：0，-4，-6，，零点：实轴上根轨迹区间：渐进线：与实轴的交点：倾角：[解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：7/13/20233分离角（点）：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50s的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。由：可以求得分离点。近似求法：分离点在[-4，0]之间。7/13/20234入射角：与虚轴的交点（略）。这时的增益值：由图可知：当和时，系统是稳定的（为什么？）；当时，系统是不稳定的。左图赵是用Ma器tl景ab工非具抚绘辉制测的盖。7泊/庭9列/偿2谅0疤2镇35条洗件拒稳狼定邀系走统矩：参许数尺在钢一姿定颤的夹范峰围诞内慢取单值茫才灾能柄使楼系沙统故稳木定因，缺这辩样悦的藏系透统明叫访做条件巡寿稳定挡系统。具有洽正反醋馈的立环节银。下爆面油的筒系富统换就殿是凳条聪件曲稳粪定伐系恨统谋的江例箩子展：开绸环受非摸最武小帮相哪位坐系冈统店，唐其屿闭旁环建系差统号的靠根踪蝶轨扛迹责必来然灾有菊一撕部蚊分幅在s的右呼半平豪面；7洋/渴9弱/阔2服0姿2乎36[例]非最小相位系统：，试确定使系统稳定时的增益值。[菠解焦]出：醒根讽轨县迹欠如馅右话：有闭环极点在右半平面，系统是不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的增益临界值为。闭环特征方程为：，当s=0时，，所以，系统稳定的条件是：7/而9/电20很237二、锻瞬态负性能搁分析伐和开武环系仔统参攀数的钻确定利用洁根轨适迹可董以清谜楚的厌看到卖开环箩根轨而迹增墨益或雀其他选开环城系统示参数红变化诊时，痰闭环航系统泉极点妻位置挥及其例瞬态渠性能既的改润变情暴况。以二阶系统为例：开环传递函数为闭环传递函数为共轭极点为：在s平面局上的管分布肯如右瞎图：闭环极点的张角为：所以称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。7霞/井9冷/断2忆0裕2胃38我们局知道呢闭环森二阶现系统玩的主遮要的男性能另指标愚是超纪调量甩和调役整时突间。盏这些窃性能浓指标仔和闭亭环极征点的研关系乒如下壁：的关系如下图若闭环极点落在下图中红线包围的区域中，有：7对/象9担/畏2限0馅2扬39上述撑结论惨也可械应用撞于具礼有主尼导极膛点的坊高阶决系统嫁中。咳如下敲例：[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量，试确定开环放大系数。[解]：首先画出根轨迹如右。由图可以看出：根轨迹与虚轴的交点为+j5,-j5，这时的临界增益当时，闭环系统不稳定。7/后9/后20烘2310下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：当时解得：这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。在根轨迹图上画两条与实轴夹角为的直线，与根轨迹交与A、B两点。则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益，进而求得开环放大系数k。设A点坐标为：，则：（1）相角条件为：（2）7静/确9防/魂2岭0煌2梳311由(1)，(2)式解得：共轭主导极点为：。计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：解得：开环传递函数以的形式表示时，k称为开环放大系数。显然的关系为：，式中不计0极点。所以，开环放大系数：由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为：7帆/巴9骗/权2割0嚼2筋31餐2[特园别提练示]讨：开环您零、圾极点幸对根移轨迹愈形状枪的影忆响是贼值得露注意测的。一般恒说，触开环勇传递到函数钓在s左半牧平面牧增加迷一个店极点坦将使载原根咱轨迹蜂右移即。从嫩而降体低系椅统的庄相对付稳定厚性，疲增加映系统泊的调急整时表间。7/梅9/着20含23137符/呜9扒/亦2絮0围2弟314若在参开环遥传递嚷函数抄中增旗加一金个零罪点，摔则原欺根轨幅迹向荡左移严动。随从而波增加也系统价的稳桶定性骨，减厕小系缎统响末应的抚调整剧时间夺。7槐/花9赖/贤2餐0谱2洗31滑5M羡a睬t斤l献a速b参考业书推守荐：现勒代统控递制室工画程昂，高[悉美洲]Ka迈ts渴uh们ik删oOg蜘at领s,卢伯砖英译渠，电子养工业轻出版训社MA英TL崭AB控制怕系统无设计肺，欧泊阳黎妻明著粮，国防奔工业仓出版沿社三即、杨用Ma草tl菠ab绘潜制可根蹄轨邀迹7/赢9/堡20汇2316nu忆m=亦[0筒0国0荡1炸];%开胸环脆传围递合函已数奴分录子飘系挑数讽，醒降软幂博排鼠列d沙e蚀n萄=厘[产1棕3范2鲜0腰]吴;%开偶环雨传午递樱函吸数咱分吃母暂系猪数郑，亿降阵幂斯排浴列r=r图l爪o冶c弊u鸽s(n划um蝴,d帜en丘);[例子]系统的开环传递函数为：，试利用Matlab画出系统的根轨迹。[骆解与]原打刊开Ma锣tl现ab,创塑建茅一阴个m文争件载，静输补入嗓下饶列侨程清序盘片袍段源：执行之，可得到根轨迹。7登/讽9目/抱2晋0阿2万31章7例4-13．已知系统开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算使系统稳定的k值范围；（3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。

[解]：（1）画根轨迹：7/凤9/燥20殖2318

求出射角：，得。该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点-1处；另两条从原点以的出射角起始，分别终止于-3和无穷零点处。会合分离点：由方程得解得在根轨迹上，因此是会合点。不在根轨迹上，舍去。7/晴9/气20犁2319求与虚轴交点系统特征方程为劳斯表为当时，由辅助方程，可求出根轨迹与虚轴的交点为。（2）由劳斯表可知当时，系统稳定。（3）系统含有三个积分环节，属Ⅲ型系统，Ⅲ型系统对于斜坡输入的稳态误差为零。7竹/抢9坐/魄2恼0桶2呜320画根轨迹

分离（会合）点分别为-2.93和-17.07，分离（会合）角为90度。根轨迹为圆，如右图所示。例4-14．已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比是，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。7盏/惨9城/帅2牢0园2封32烂1当时，阻尼角，表示角的直线为OB,其方程为，代入特征方程整理后得：令实部和虚部分别为零，有解得 由图可知当时直线OB与圆相切，系统的阻尼比，特征根为。

7兵/号9间/佣2膊0壳2广32静2对于分离点，由幅值条件可知对于会合点，有由根轨迹图可知，当时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。7确/楼9愁/惜2拒0旱2魂32版3由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此时系统的闭环极点为。7迁/贤9劈燕/透2颤0寸2责324[例灰4-评15裕]：锋设系强统A和B有相佩同的病被控竿对象评，且漫有相裂同的厚根轨瓜迹，臭如下带图所馅示。朝已知岛系统A有一佳个闭轰环零增点，泊系统B没耗有防闭余环使零净点排。贴试为求叨系杨统A和B的开弊环传鸟递函盟数和迁它们拘所对饥应的犁闭环摊方块馒图。7汽/棉9欧/室2坦0莫2掉32懒5②系统A和B的闭环传递函数分别为：[解]：①由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B的开环传递函数为：特征方程为：7练/布9哥/津2咳0胃2词326由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数为：。系统B的前向通路传递函数为：，反馈通路传递函数为：。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，系统的A的前向通路传递函数可写为：，闭环方块图如下图（a）所示，系统B的闭环方块图如下图（b）所示。图(a)A系统图(b)B系统根余轨组迹臂相得同考的名系铁统系，赖开棕环饲传胶递批函仰数坑和谢闭土环歉极亩点换都乌相上同饭，适但换闭花环浅零筐点档却编不冻一拨定势相蓄同澡。7/蛇9/北20绍232秘7[例4-16]:已知单位反馈系统的根轨迹如下图所示。（1）写出该系统的闭环传递函数；（2）试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态。7暴/盼9栏/掩2扯0点2责32这8[茶解学]亮：①由等根草轨析迹骗图宝知焰系能统决的努开系环睡传享递仙函沉数袄为梢：单位反馈系统的闭环传递函数为：提示述：①加入在比例土微分捏控制脊后，州系统产增加羽了开像环零碍点。②在饶系捡统恨中佣加服入旗零壮点闲后秋，糕将娇使伐根依轨舱迹弯左制移梅，基有仆利尽于镇系体统腹的积稳耽定宾性窝。

②当在系统中加入比例微分控制时，开环传递函数增加了一个零点，此时：这时渐近线与实轴的夹角为：，只要渐近线与负实轴相交,系统的根轨迹就在左半S平面。因此有： ，所以 。 7/认9/漠20宁232械9从下老图可缺以看妖出：a越修小断，型根围轨熊迹老越叔左极，并稳衡定娱性碗越孔好引。a衔<俊6时躲，蓝根尸轨品迹捧全夕部融在s左半暴平面析。a随=辨6时，赢根轨熔迹有妈一部政分在或虚轴盟上。a>垄6时，扛根轨拿迹有烤一部五分在s右遣半橡平闭面越。c崇l严e瓣a尘r声a摸l槽l借;nu尊m1并=[店0尤0薪1海3]崇;de脾n1依=[鸟1述6兔0语0]劈燕;n城u猛m爽2勉=戏[茅0蜂0茄1猎5拒]甘;d勾e俘n小2悔=贿[萌1见6揭0裂0优]公;nu柳m3总=[泄0也