数学的一般认识及现代数学观

数学的一般认识及现代数学观第1页，课件共26页，创作于2023年2月教学目标：1.了解数学的一般意义；2.了解数学的三个特点；3.了解数学的主要的三次危机..第2页，课件共26页，创作于2023年2月第三章数学的一般认识及现代数学观一、数学的一般认识1.数学的概念：研究客观世界空间形式和数量关系的科学是数学。

2、数学的归类数学与其他许多学科不一样，它不是以某一类实物或某一种物质运动形态作为研究对象，而是从各种事物中抽取出量的方面来加以研究。

M．凯德洛夫曾作《论科学分类》的报告，他把数学列在哲学与自然科学之间的位置上。这样的分类，曾使我国的数学家和哲学家受到启发。但是在我国的科学部门、教育部门，至今还是按照传统的看法，把数学算作自然科学的一个门类，与自然科学的其他学科如物理学、化学、生物学等并列在一起。第3页，课件共26页，创作于2023年2月

归于自然科学的数学从历史发展看，数学首先是和天文学、力学，以后又和物理学等一起成长起来的，所以人们习以为常地把数学归在自然科学一类。随着科学的发展和数学自身的发展，人们愈来愈清楚地看到数学不能够只被看作一门自然科学了，它对各门科学(包括自然科学和社会科学)都能起到方法论的作用。。第4页，课件共26页，创作于2023年2月二、数学的特征

作为一种科学理论的数学理论，当然也具有科学理论的各种特点，但由于数学理论的特殊性，与其他科学理论相比较而言，它又具有以下三个主要的特征：

1.抽象性（两个方面）数学理论作为一种认识形式，与其他学科相比，其最基本的特点就是高度的抽象性。

当然，许多其他科学也具有抽象性。

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数学的抽象性更多地表现在以下两方面：（1）舍弃事物的具体内容而抽取出量的关系。正如恩格斯所形容：“为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边，这样，我们就得到没有长宽高的点、没有厚度和宽度的线、a和b与x和y，即常数数；……”

数学的这种点、线以及其他形式和关系，不同于客观实在的点、线或现实的形式和关系，已是一种“思想事物”了，或者就象现代数学家所说的是一种抽象结构。第6页，课件共26页，创作于2023年2月（2）数学运用特制的抽象符号语言。在数学定理中，从前提到结论，每一推理步骤都是用符号进行的，所得到的结论也是用数学公式来表达的。数学的抽象程度确实是高于其他自然科学，有人说数学具有高度抽象性或极端抽象性是不过分的。第7页，课件共26页，创作于2023年2月2.精确性（两个方面）

精确性指的是数学具有逻辑的严密性和结论的确定性数学的精确性主要表现在两个方面：（1）逻辑上的可靠性

在数学中，每一个公式、定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立，获得承认。数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑诸法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤都是在逻辑上准确无误的。所以，运用数学方法从已知的关系推求未知关系时，所得到的结论就具有逻辑上的可靠性。

第8页，课件共26页，创作于2023年2月数学的这一特征自古就有。

正如爱因斯坦所说：“为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中；……数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”第9页，课件共26页，创作于2023年2月（2）数学运用公理化方法

数学的逻辑严密性还表现在它的公理方法。每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量的时候，需要进行综合、整理，使之条理化，形成概念和论理的系统。以实现认识从感性阶段到理性认识的阶段，从理性认识的初级水平发展到更高级的水平，表现在一个理论系统发展到逻辑严密程度更高的公理化体系。第10页，课件共26页，创作于2023年2月辩证地理解数学的精确性在数学中不能处处都要求逻辑的严密性微积分刚建立时，逻辑上是很不严密的，有明显的漏洞，然而其结论是正确的，并获得了惊人的有效应用。当然，在数学中，逻辑上的漏洞、矛盾是不允许的，因此数学家总要千方百计地解决或消除这些矛盾，经过很长时间和许多数学家的努力，终于给微积分建立了比较严密的理论基础。像微积分这样的事例在数学中还有很多，不过，逻辑上的不严密只能是暂时的(虽然可能上百年、上千年)，所以数学和其他的学科相比较，它还是以逻辑上的严格性而著称。小学数学中，对某些数学概念并不给出非常严格的定义，只是结合实例给出解释。第11页，课件共26页，创作于2023年2月

3.应用的广泛性（两个方面）数学应用的广泛性，体现在数学不但能应用于各门自然科学，而且可以应用于社会科学；不但应用于工程技术，农业生产，而且可以应用于国民经济和社会管理的各个领域。（1）在数学中，各种的关系、变化以及量之间，这种(些)变化与那种(些)量的变化之间的关系，都是用数学所特有的符号语言(包括图形、数字和各种符号)来表示的。

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在科学研究中，需要对这—类巨大的或微小的数字进行计算，如果只靠日常用语是难以进行和表达的；

★自然界的或社会生活中的许多发展规律却可用微分方程来描述。在工程技术中、经济工作中，有些问题需要用若干个数量从整体上反映其数量关系，像电子网络系统，经济规划，商品产销关系等等都可用代数学中的矩阵来表示。

★随着数学语言愈来愈多地运用，许多科学家干脆就把数学称为“科学的语言”。而用数学语言描述出所要研究的问题，就构成一个数学问题，称为研究对象的数学模型。第12页，课件共26页，创作于2023年2月（2）数学提供有效的计算方法。一门科学从定性的描述进入到定量的分析和计算，是这门科学达到比较成熟阶段的重要标志。

在科学史上，力学，天文学、物理学都是由于将观测、实验与数学方法相结合以后才迅速成长为“精密科学”的。近代、现代的许多学科都是通过大量运用数学方法而走向定量化、精确科学理论的一个重要特征就是具有预见性，而这种预见性一般是通过数学方法来表现的一些准确的科学预言，就是依据科学理论进行数学的推导和计算而获得的理论结果。因此，当科学理论通过自己的预见性指导实践，同时又通过预言之能否实现和是否准确地实现来接受实践检验的时候，都是离不开数学计算的。第13页，课件共26页，创作于2023年2月（2）数学提供有效的计算方法。一门科学从定性的描述进入到定量的分析和计算，是这门科学达到比较成熟阶段的重要标志。

在科学史上，力学，天文学、物理学都是由于将观测、实验与数学方法相结合以后才迅速成长为“精密科学”的。近代、现代的许多学科都是通过大量运用数学方法而走向定量化、精确科学理论的一个重要特征就是具有预见性，而这种预见性一般是通过数学方法来表现的一些准确的科学预言，就是依据科学理论进行数学的推导和计算而获得的理论结果。因此，当科学理论通过自己的预见性指导实践，同时又通过预言之能否实现和是否准确地实现来接受实践检验的时候，都是离不开数学计算的。第14页，课件共26页，创作于2023年2月三、数学的三次危机

什么是数学危机？

数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

第15页，课件共26页，创作于2023年2月数学的这一特征自古就有。

正如爱因斯坦所说：“为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中；……数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”第16页，课件共26页，创作于2023年2月1.第一次数学危机

无理数的发现导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。或者说数的不可通约性的发现引起第一次数学危机。

第一次数学危机发生在公元前5百年左右的古希腊。毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。毕达哥拉斯学派的数都是整数。他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。

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有人说，这种性质是希帕索斯（Hipparchus，公元前180－125）约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。第18页，课件共26页，创作于2023年2月毕达哥拉斯悖论

大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。第19页，课件共26页，创作于2023年2月第一次数学危机的产物—欧氏几何学。欧几里得的《原本》对数学发展的作用是毋容置疑的欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。

※到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第20页，课件共26页，创作于2023年2月

第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！第21页，课件共26页，创作于2023年2月2.第二次数学危机无穷小量究竟是不是零的讨论引发了第二次数学危机。以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零第二次数学危机发生在公元前十七世纪至十九世纪的欧洲。第二次数学危机的产物——微积分学和集合论的产生第22页，课件共26页，创作于2023年2月

在十七世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。

▼牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1.把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2.有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。

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柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；

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阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；

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狄里克雷给出了函数的现代定义。▼维尔斯特拉斯给出现在通用的ε-δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。第23页，