第11全章考点整合应用

第十一章 三角形全章热门考点整合应用习题课本章学习的主要知识有三角形和多边形，其中三角形中主要学习了与三角形有关的线段和三角形内角、外角相关的知识，多边形中主要学习了多边形的内角和与外角和，一般考查的题型包括三角形的计数，三角形的三边关系，三角形的中线、高、角平分线，三角形内角和及外角性质，多边形的内角和与外角和等．1考点两个概念；∠1是△

BCE

和△

CDE

的内角；在△ACE中，∠CAE的对边是

CE

．概念1与三角形有关的概念1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD边上一点．(1)以AC为边的三角形共有

3

个，它们是△ACE，△ACD，△ACB2．下列说法正确的是(

C

)

A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线概念2与多边形有关的概念2考点三种线段3．如图，D为△ABC中AC边上一点，AD＝1，DC＝2，AB＝4，E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC面积的一半，求EB的长．线段1三角形的高解：如图，过点E作EF⊥AC于点F，则过点C作CG⊥AB于点G，则∴DC

2AC

3

2

=

.2S

VDEC

SV

AEC=

=1

DC

gEF1

AC

gEF

2

1

AEgCG.21

ABgCGS V

AEC

SV

ABCAE

AEAB

4===2

AE3

4?

,SSVDEC

SV

AECV

AEC

SV

ABC=g,6SVDECV

ABCAE即S=又∵SVDECSV

ABC∴AE＝3，∴BE＝AB－AE＝1，即BE的长为1.=

1

,

\

AE

=

1

，2

6

2同(等)高的两个三角形的面积比等于底边长的比.4．如图，在△ABC中，E是边BC上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．连接AE，BD交于点F.已知S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝(

B

)A．1C．3B．2D．4线段2三角形的中线连接CF.设S△BEF＝x，因为EC＝2BE，点D是AC的中点，所以S△ADF＝S△CDF，S△ABD＝△BCDS

＝S△ABC＝6，S△CEF＝2S△BEF＝2x，所以S△ABF＝S△BCF＝3x.S△ADF＝S△CDF＝6－3x.由图形，得S△AEC＝2S△ABE，即2x＋(6－3x)＋(6－3x)＝2(x＋3x)，解得x＝1，所以6－3x＝6－3×1＝3，所以S△ADF－S△BEF＝2.故选B.12线段3三角形的角平分线5．如图，在△ABC中，AF是中线，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝90°，FC＝6，则根据图形填空：(1)BF＝

6

，BC＝

12

；(2)∠BAE＝

45

°，∠CAE＝

45

°；(3)∠ADB＝

90

°，∠ADC＝

90

°3考点三个关系6．已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，＋BC＋CD＋DA)．关系1三角形的三边关系AC与BD交于点O.试说明：AC＋BD＞

1

(AB2解：在△OAB中有OA＋OB＞AB，在△OAD中有

OA＋OD＞AD

，在△ODC中有

OD＋OC＞CD

，在△

OBC

中有

OB＋OC＞BC

，∴OA＋OB＋OA＋OD＋OD＋OC＋OC＋OB＞AB＋BC＋CD＋DA，即

．2(AC＋BD)＞AB＋BC＋CD＋DA∴AC＋BD＞

1

(AB＋BC＋CD＋DA)．27．已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；

(2)∠DAE与∠C－∠B有何关系？关系2三角形内角、外角的关系∠C＝50°，∴∠BAC＝180°－30°－50°＝100°.又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝

1

∠BAC＝50°.2∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADE＝90°.∴∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°.解：(1)

∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝30°，(2)由(1)知，∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－(∠C－∠B)．（∠B＋

1

∠BAC）.2又∵∠BAC＝180°－∠B－∠C.1∴∠DAE＝90°－∠B－

2

(180°－∠B－1∠C

)＝

28．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝

300°

．关系3多边形内角、外角的关系4两种计算考点9．【2015•资阳)等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．计算1三角形中的边角计算解：∵|a－4|＋(b－9)2＝0，∴|a－4|＝0，(b－9)2＝0.∴a＝4，b＝9.若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形．若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形，∴这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.10．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63.求(n－m)t的值．解：由题意知n＝4＋3＝7，m＝6＋2＝8，

t＝63÷7＝9，所以(n－m)t＝(7－8)9＝(－1)9＝－1.计算2多边形中的边角计算5两个技巧考点11．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，且AB＝3，BC＝6，则CE与AD有怎样的数量关系？技巧1巧用面积法解决问题1

1解：

根据△ABC的面积＝

2

AB•CE＝

2

BC•AD，1

1得

×3•CE＝

×6•AD，2

2所以CE＝2AD.12.

如图，∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K＝

540°．技巧2巧用整体法解决问题连接AG，GD.在△MAG与△MHK中，∵∠MAG＋∠MGA＋∠AMG＝180°，∠H＋∠K＋∠HMK＝180°，∠AMG＝∠HMK，∴∠MAG＋∠MGA＝∠H＋∠K.同理，∠NGD＋∠NDG＝∠E＋∠F.∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠MGN＋∠E＋∠F＋∠H＋∠K＝∠BAK＋∠MAG＋∠MGA＋∠MGN＋∠NGD＋∠NDG＋∠CDE＋∠C＋∠B＝∠BAG＋∠AGD＋∠GDC＋∠C＋∠B＝540°.6四种思想考点13．如图所示的模板按规定AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在板上，不便测量，但工人师傅测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°，此时，AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？思想1思想1：转化思想解：不符合规定，理由如下：延长AB，CD相交于G，∵多边形AEFCG为五边形，∴∠G＝540°－90°－90°－122°－155°＝83°≠80°，∴不符合规定．14．阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？李明说应这样解：设腰长为x

cm，则2x＋8＝28，解得x＝10，所以这个三角形的另外两边的长均为10

cm.张钢说应这样解：设底边长为

x

cm，则2×8＋x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8

cm，12

cm.思想2分类讨论思想试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．解：李明、张钢两人的解法均不全面.正确的解答过程如下：当该等腰三角形的底边长为8

cm时，腰长为(28－8)×

1

＝10(cm)．2当该等腰三角形的腰长为8

cm时，底边长为28－2×8＝12(cm)．本题中没有明确8cm是等腰三角形的底边长还是腰长，需对其进行分情况讨论，并用三角形的三边关系进行验证．根据三角形三边关系可验证这两种情况均成立．所以这个三角形的另外两边的长是10

cm，10

cm或8

cm，12

cm.15.

在△ABC中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数．解：∠C＝∠B－10°＝20°＋∠A－10°＝10°＋∠A，所以∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋20°＋∠A＋10°＋∠A＝3∠A＋30°＝180°，所以∠A