抽样与抽样分布

抽样与抽样分布第1页，课件共43页，创作于2023年2月主要内容5.1抽样的概念5.2随机抽样的方法5.3抽样分布5.4几种来自正态分布的概率分布5.5几种重要统计量的抽样分布第2页，课件共43页，创作于2023年2月5.1抽样的概念统计总体（总体/全及总体/母体）指统计研究所确定的客观对象，它是由具有共同性质的许多单位组成的整体。总体（用X表示）中每一个个体是对总体进行随机试验的一个观察值（用表示），对总体的研究就是对随机变量X的研究，X的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和特征，以后不再区分总体与其对应的随机变量，笼统称为总体X。总体单位（单位）样本（Sample）样本是指从统计总体中抽取出来作为代表这一总体的、由部分个体组成的集合体。组成样本的单位称为样本单位。所谓从总体中抽取一个个体，就是对总体X进行一次观察并记录结果，在相同条件下对总体X进行n次重复、独立的观测，将观测结果记为。有理由认为是相互独立的，且都是与X具有相同分布的随机变量。这样得到的，就是来自总体X的一个简单随机样本。样本值：第3页，课件共43页，创作于2023年2月4.全及指标和抽样指标根据全及总体各个单位的变量值计算的，反映总体某种属性的综合指标，称为全及指标。全及指标也称为总体参数，往往是未知的。总体平均数μ、总体比率p、总体方差，总体标准差。抽样指标即样本指标、样本统计量，它是根据样本单位标志值计算的综合指标。样本平均数，样本比率，样本方差，样本标准差S等等。第4页，课件共43页，创作于2023年2月5.随机抽样与非随机抽样随机抽样，也叫概率抽样，是按照随机原则即总体中每个单位被抽中的概率相等的抽样方法。据此可以估计推断的精度及抽样的误差。随机抽样分为：简单随机抽样、分层随机抽样、整群抽样、系统抽样。非随机抽样，也叫非概率抽样、判别性抽样、鉴别抽样。它是抽样人根据自己对事物了解的经验,从总体中有目的地选择一些单位作为样本。如重点调查、典型调查等都属于此。此法不可避免产生倾向性误差（系统偏差）。第5页，课件共43页，创作于2023年2月5.2随机抽样方法5.2.1简单随机抽样（纯随机抽样）有限总体的简单随机抽样

假设总体容量N（有限），样本容量n（n<N），满足:(1)在抽取样本时,必须保证每一个可能样本被抽到的概率相等;(2)总体中每一个单位被包括在样本中的可能性相等。例：设总体N=4(A,B,C,D)中抽取n=2组成样本,其可能样本(按不考虑顺序不重复抽样方式):总体单位:ABCD由n=2组成的可能样本:ABACADBCBDCD因为由2个人构成的样本只有6种可能,所以,抽到每一个样本的概率一定等于:某个单位被抽到样本中的概率必定是:第6页，课件共43页，创作于2023年2月

无限总体的简单随机抽样若把总体视为一个随机变量，其概率密度函数为，为取自X的样本。当这n个随机变量满足：1.与总体有相同的概率分布；2.它们是相互独立的。则称为无限总体的简单随机样本，简称样本。在统计推断问题中遇到的样本都认为是简单随机样本，以后不再一一声明。说明：样本{}，样本值{}即总体X的n个独立的观察值。第7页，课件共43页，创作于2023年2月简单随机抽样的具体做法有如下三种：1.抽签法2.随机数字表法3.计算机软件中的随机函数产生随机数的功能举例：从35个同学中，按照随机原则抽取5名。第8页，课件共43页，创作于2023年2月5.2.1重复抽样与不重复抽样<补充>

重复抽样，也叫放回抽样。是指从总体中抽取第1个单位后,把这个单位再放回总体,再抽取第2个单位,以此类推,直到抽足样本所要求的单位数目。不重复抽样，也叫不放回抽样，是指每次抽取之后,不再将这个单位放回总体。抽样方法不同,抽取样本的数量也不同。应当注意的是：重复抽样能够保证每次抽取时总体成分不变,即每次抽取时,各单位被抽到的概率保持不变。但是,在重复抽样条件下,同一个总体单位有可能被多次抽到一个样本中去。不重复抽样能够保证每个总体单位在一个样本中最多只能出现一次。很明显,对于较小的有限总体来说,采用不重复抽样,很快就会把总体抽完。

第9页，课件共43页，创作于2023年2月不同抽样方法下样本的可能数目

ABACBCADBDCD不考虑顺序ABBACADAACBCCBDBADBDCDDC考虑顺序不重复抽样AAABBBACBCCCADBDCDDD不考虑顺序AABACADAABBBCBDBACBCCCDCADBDCDDD考虑顺序重复抽样可能样本样本的可能数目设总体N=4(A,B,C,D)中抽取n=2组成样本计算公式抽样方法４2＝１６一投资者想从一张最灵敏的25中股票表中选择5种股票的一组。则他必须研究（）个不同的组。第10页，课件共43页，创作于2023年2月5.2.2其他近似随机抽样方法系统抽样分层抽样整群抽样第11页，课件共43页，创作于2023年2月系统抽样系统抽样又叫等距抽样或机械抽样。它是先把总体所有单位按某一标志排队，并根据总体单位数（N）与样本单位数(n)的比例（N/n）计算出抽样距离和间隔，随机确定一个起始点作为第一个样本单位，以后每隔相等的距离和间隔抽取样本单位。根据进行排队时是否与调查项目无关的，分为有关标志排队法和无关标志排队法。例如，对某校学生学习情况进行调查，如按学号排序就是无关标志排队；如按考试分数排序就是有关标志排队。在实际进行抽样时，要避免抽样间隔和现象本身的周期性节奏相重合引起系统性的影响，如工业产品质量抽查，产品抽查时间间隔不宜和上下班时间一致，防止发生系统性偏差。第12页，课件共43页，创作于2023年2月分层抽样分层抽样又叫类型抽样或分类抽样，它是先将总体各单位按某一有关标志分成若干个类型组，然后按照一定比例再从各类型组中随机抽取样本单位。例如，调查美国选民的政治意愿，可先将全部选民划分为不同阶层：低收入阶层、中产阶层、高收入阶层，然后再从这些阶层中按一定比例抽选选民。分层抽样可以提高样本的代表性，减少抽样误差。分层抽样适用于那些总体情况复杂、各单位之间差异较大、单位数量较多的抽样调查问题。从各类型中抽样的方法：等比例抽样不等比例抽样第13页，课件共43页，创作于2023年2月等比例抽样若需从总体（N）中抽取n个样本，即抽样比例则各类型中应抽取的样本数为：换句话说，在样本中各类型的单位数比例与总体中相应各类型单位数比例一致，即样本是总体“结构相同的缩小版”。举例：全美选民5000万，要抽选5000人，则抽样比例为f=1/10000，各阶层选民数及抽样数见下表。类型选民数（万）抽样数（个）比例（%）低收入阶层2800280056中产阶层2000200040高收入阶层2002004总计50005000100第14页，课件共43页，创作于2023年2月将总体所有单位划分为若干个群（组），然后以群（组）为单位从中随机抽取部分群（组），对抽中的群（组）内所有单位进行全面调查的抽样组织形式。如调查某县小学教育情况，从该县中随机抽取若干个小学，然后对抽中的小学进行全面调查。类型抽样和整群抽样的适用条件：

当每组内部的差别较小,而各组之间差别较大时,采用类型抽样效果比较好;

当每组内部差别相当大,而各组之间却非常类似时,适宜采用整群抽样。整群抽样第15页，课件共43页，创作于2023年2月5.3抽样分布5.3.1抽样分布的概念统计量若从无限总体X中抽取容量为n的样本，则函数称为样本统计量，简称为统计量。常用统计量有：样本均值样本方差样本标准差样本成数第16页，课件共43页，创作于2023年2月抽样分布

无论有限总体还是无限总体,只要所要求的样本容量小于总体容量,即n＜N,那么,可能抽取的样本就不只1个。一般情况下,从同一总体中抽取不同的样本,其统计量的值是不同的，每个统计量的值都有一定的概率。样本统计量的概率分布,叫抽样分布。（或说：统计量的分布即抽样分布）

第17页，课件共43页，创作于2023年2月5.4三个来自正态分布的概率分布正态分布分布t

分布F分布要求：统计学的4大分布，要求掌握定义、密度函数图形的轮廓，会使用分位点表写出分位点。注意：无论是总体X，还是样本统计量都是随机变量，都有一定的分布形式，即服从何种分布。对于前者，我们说总体服从何种分布，对于后者可以说统计量服从何种分布，抑或统计量的抽样分布是何种分布。第18页，课件共43页，创作于2023年2月正态分布（1）设连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数、的正态分布，记作X~N（，），其中和分别是X的均值和方差。（2）正态分布的分布函数为：（3）正态分布的期望值和方差为：

第19页，课件共43页，创作于2023年2月1正态分布：随变化的情态2正态分布：随变化的情态结论：1.正态分布以X=为对称轴；2.其陡缓程度取决于，越大越平缓，反之，越小越陡峭。3.曲线拐点为X=4.正态曲线以x轴为渐近线。第20页，课件共43页，创作于2023年2月标准正态分布当正态分布时，称X服从标准正态分布，记作X~N(0,1)。常用表示其概率密度和分布函数，即：标准正态分布的性质：数学期望和方差分别为0，1以X=0为对称轴对称分布，且分布曲线同横轴所包围面积为常数1

第21页，课件共43页，创作于2023年2月正态分布转化为标准正态分布对于一般的正态分布，只需设即通过线性化转换为新的随机变量Z，其服从标准正态分布，即。因而求一般正态分布在某区间上概率，就转化为求标准正态分布在相应区间上的概率。若，则分布函数第22页，课件共43页，创作于2023年2月例：设，求X落在（0，1.6）的概率第23页，课件共43页，创作于2023年2月

被称为标准正态分布的上分位点（数），或称为上侧100百分位点（数）（2）若有：被称为双侧分位点（数），或双侧100百分位点（数）（3）标准正态分布的上分位点表0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282标准正态分布的分位点（1）若Z~N（0，1），对于给定的，0<<1，若有：*注意：是满足上述条件*的变量值，是给定的概率水平。第24页，课件共43页，创作于2023年2月5.5几种重要统计量的抽样分布样本均值（平均数/）的抽样分布定律1：设总体X（无论服从何种分布）其均值为，方差为，为来自X的样本，样本均值和方差记作：，其中：则（抽样分布的）均值和方差为：说明：由于样本统计量是随机变量，因此说统计量的均值和方差，等同于说其抽样分布的均值和方差，说统计量服从正态分布，等同于说其抽样分布服从正态分布。以后简单说为统计量的均值和方差，统计量服从正态分布。第25页，课件共43页，创作于2023年2月例以A、B、C、D四个单位为总体,在其中抽取2个单位作为样本。其中A雇员的产量为20件,B雇员的产量为22件,C雇员的产量为24件,D雇员的产量为26件。总体均值μ=23件,总体标准差σ≈2.236件。考虑顺序的重复抽样条件下样本的可能数目M==16,我们将这16个样本及有关计算数据列示于下表。特殊地，当样本容量n>30时，——中心极限定律第26页，课件共43页，创作于2023年2月

4个雇员中抽取2个的可能样本及相关计算值序号可能样本样本变量样本均值（）1AA20,2020-392AB20,2221-243AC20,2422-114AD20,2623005BA22,2021-246BB22,2222-117BC22,2423008BD22,2624119CA24,2022-1110CB24,22230011CC24,24241112CD24,26252413DA26,20230014DB26,22241115DC26,24252416DD26,262639合计——368040第27页，课件共43页，创作于2023年2月样本平均数的均值(件),即与μ=23件相等。样本平均数的标准差（抽样平均误差）

(件)可验证:(件)，即：上述公式，适用于总体无限，或总体虽有限但有放回的情况。而若总体有限，考虑顺序不放回抽样情况有如下结论：特殊地，当n/N≤5%时，可不加修正。第28页，课件共43页，创作于2023年2月

（的抽样分布的）均值和方差为：样本平均数的标准差（抽样平均误差）第29页，课件共43页，创作于2023年2月有限总体的修正系数抽样方法均值方差标准差（抽样平均误差）（1）从无限总体抽样和有限总体放回抽样（2）从有限总体不放回抽样对于第2种情况：中心极限定律变为：当n<<N时（n/N5%），可不加修正。≤第30页，课件共43页，创作于2023年2月例题1某种切削工具的平均使用寿命为41.5小时,标准差为2.5小时。对于取自这一总体的容量为50的随机样本,其平均值为40.5小时和42小时之间的概率有多大?分析：该例并没有告诉我们总体的分布形态。但是,由于样本容量n=50为大样本,我们可以利用中心极限定理,其抽样分布近似服从正态分布。解:所求概率为:第31页，课件共43页，创作于2023年2月2.正态总体之样本均值的抽样分布已知，已知定律2：设总体X~N(,)，则有，结论1：或注意：因为总体服从正态分布，按照随机原则，抽样得到的样本均值必定服从正态分布，而无论样本容量n是否能达到30个。第32页，课件共43页，创作于2023年2月例题2某品牌某型号汽车的损伤压强(以公斤/平方寸计量)是一个近似服从正态分布的随机变量。平均值为2800公斤/平方寸,标准差为96公斤/平方寸。假定从这一总体抽选了一个容量为10的简单随机样本，并对每一辆汽车作撞击试验，直到它们破坏程度能够伤害人员为止。试问：使样本中的汽车平均损伤压强不超过2750公斤/平方寸的概率有多大？[解]总体近似服从正态分布，且已知总体方差。凡从正态总体中抽样，不论是大样本（n≥30），还是小样本，只要已知总体方差，其样本平均值的抽样分布均服从正态分布，即有：第33页，课件共43页，创作于2023年2月令：所求概率为：=1-0.9505=0.0495。第34页，课件共43页，创作于2023年2月已知，未知定律3：为来自X的样本，样本均值和方差分别为：，则有：证明见P103，4-20说明：如果n很大，那么用就是的一个很好的估计量，仍然是一个近似的标准正态分布。如果n比较小（<30，或者n<<N），两者差异就比较大，就不再是个标准正态分布，而是所谓的t分布。参考书目《统计学》、徐国祥，世纪出版集团第35页，课件共43页，创作于2023年2月t分布与正态分布一样,也是对称的。一般地说,t分布比正态分布更平坦一些,对于不同的样本容量都有一个不同的相应的t分布。随着样本容量的增加,t分布的形状由平坦逐渐变得接近正态分布。当n＞30时,t分布就非常接近于正态分布,故此时可以利用正态分布作为t分布的近似分布。第36页，课件共43页，创作于2023年2月例题3设乒乓球出口定货单的定货量的分布是正态的,现在随机抽取6张定货单作为样本,代表第2季度定货单。定货单的订购打数分别为450,520,415,400,430,485打,即=450打。如果全季度定货单的平均订购量μ为510打,标准差不知道,问:(1)样本平均数等于或低于450打的概率是多少?(2)如果μ为410打,样本平均数等于或大于450打的概率是多少?第37页，课件共43页，创作于2023年2月自由度自由度是可以自由选择数值的变量的个数。样本值如果有n个,自由度个

解:=450=6-1=5

所求概率为:

查附表4，由于，故知其概率在0.01至0.025之间。(2)所求概率为:

查附表,由于，因此,其概率在0.025至0.05之间。≈45.28(打)第38页，课件共43页，创作于2023年2月3.样本比率的抽样分布总体比率;样本比率定律4：对于一总体容量为N的总体，采用重复抽样（样本容量n），可以证明有：对于大样本，当满足时，样本比率的抽样分布近似服从正态分布：当采用不重复抽样，且抽样比重较大时（n/N>5%），需对样本比率的方差进行修正：第39页，课件共43页，创作于2023年2月小测验一、判断题统计学家把所要研究的对象的全部单位,叫做“总体单位”；从总体中抽出的一部分单位,叫做“样本单位”。抽样方法区分为随机抽样和非随机抽样。从正态总体中抽样,抽样分布是正态分布,从非正态总体中抽样(抽取大样本),抽样分布也是正态分布。4.样本容量与抽样平均误差的成正比关系。样本平均数的标准差(抽样平均误差)参考答案：1T2T3T4F第40页，课件共43页，创作于2023年2月小测验

1.设x1,x2,…,xn是X的样本,且,则有:①