上海师范大学第四附属中学高三数学理下学期期末试题含解析

上海师范大学第四附属中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，当，时，，若在区间，内有两个零点，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）A． B．y=f（2x﹣1） C． D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】作图题．【分析】先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可．【解答】解：由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项C，D对于选项A：，当x=0时函数值为﹣1，从而排除选项A故选：B【点评】本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用，考查了识别图象的能力，还要注意排除法在解得选择题中的应用．3.如图，己知函数f(x)的图像关于坐标原点O对称，则函数f(x)的解析式可能是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】抓住奇函数的判定性质，代入，即可。【详解】根据关于原点对称可知该函数为奇函数,对于A选项,为偶函数,不符合;对于B选项定义域不对;对于C选项当x>0的时候，恒成立不符合该函数图像，故错误；对于D选项，，符合判定，故选D。【点睛】考查了奇函数的判定性质，关键抓住，即可，难度中等。

4.的值是（

）(A) (B)(C) (D)参考答案：C略5.是有零点的

（

）A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C6.

已知函数，则函数的图象可能是（

）参考答案：B7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8.已知集合，则A∩B等于（）A.{1}

B.{1,2}

C.{0,1,2,3}

D.{－1,0,1,2,3}参考答案：A因为，，所以集合，故选A.

9.已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值是（）A． B． C．1 D．参考答案：A【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可．【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图，N为直线y=﹣2x+3上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+3与2x+y﹣4=0之间的距离：d==．故选：A【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．10.设函数的最小正周期为，且，则

（）

A．在单调递减

B．在单调递减

C．在单调递增

D．在单调递增参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等比数列的公比，则_________________．参考答案：略12.设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是

参考答案：略13.已知，则的值为

．参考答案：14.已知定义在R上的可导函数满足，若，则实数的取值范围是__________.参考答案：考点：导数及运用．15.已知函数的定义域为，部分对应值如右表。的导函数的图象如右图所示。下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点。其中真命题的个数是

参考答案：116.已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=

参考答案：417.已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为________．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=mx2+（1﹣3m）x+2m﹣1．（Ⅰ）设m=2时，f（x）≤0的解集为A，集合B=（a，2a+1]（a＞0）．若A?B，求a的取值范围；（Ⅱ）求关于x的不等式f（x）≤0的解集S；（Ⅲ）若存在x＞0，使得f（x）＞﹣3mx+m﹣1成立，求实数m的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）∵f（x）=mx2+（1﹣3m）x+2m﹣1，m=2，f（x）≤0，∴（x﹣1）（2x﹣3）≤0，∴，∴．∵A?（a，2a+1）（a＞0），∴且a＞0，∴．（Ⅱ）∵f（x）=mx2+（1﹣3m）x+2m﹣1，f（x）≤0，∴（x﹣1）[mx﹣（2m﹣1）]≤0，当m＜0时，；当m=0时，S=（﹣∞，1]；当0＜m＜1时，；当m=1时，S={1}；当m＞1时，．（Ⅲ）∵f（x）＞﹣3mx+m﹣1，∴．令，∵x＞0，∴，∴，∴∵存在x＞0，使得f（x）＞﹣3mx+m﹣1成立，∴m＞[g（x）]min，∴．∴实数m的取值范围是．考点：集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：本题（Ⅰ）根据m=2，化简集合A，再利用A?B，比较区间端点的大小，得到a的取值范围；（Ⅱ）先对相关不等式进行因式分解，再分类讨论，确定相应根的大小，得到本题结论；（Ⅲ）通过参变量分离，求出相应函数的最小值，得实数m的取值范围，即本题结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=mx2+（1﹣3m）x+2m﹣1，m=2，f（x）≤0，∴（x﹣1）（2x﹣3）≤0，∴，∴．∵A?（a，2a+1）（a＞0），∴且a＞0，∴．（Ⅱ）∵f（x）=mx2+（1﹣3m）x+2m﹣1，f（x）≤0，∴（x﹣1）[mx﹣（2m﹣1）]≤0，当m＜0时，；当m=0时，S=（﹣∞，1]；当0＜m＜1时，；当m=1时，S={1}；当m＞1时，．（Ⅲ）∵f（x）＞﹣3mx+m﹣1，∴．令，∵x＞0，∴，∴，∴∵存在x＞0，使得f（x）＞﹣3mx+m﹣1成立，∴m＞[g（x）]min，∴．∴实数m的取值范围是．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合间关系，还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定的思维难度，计算量适中，属于中档题．19.（14分）已知函数f（x）=x2﹣alnx﹣x（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，求证：f′（）＞k．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求导，再根据a的值进行分类讨论，得到函数的单调区间．（2）先求导，根据题意，由直线的斜率公式可得k的值，利用分析法证明f′（）＞k．转化为只需要证明，再构造函数g（t），判断函数在（0，1）上单调性，问题得以证明解：（1）（i）当时，2x2﹣x﹣a≥0恒成立，即f'（x）≥0恒成立，故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．（ii）当时，f′（x）＞0?2x2﹣x﹣a＞0，解得：∵x＞0，∴函数f（x）的单增区间为，，单减区间为．（iii）当a＞0时，由f′（x）＞0解得：．∵x＞0，而此时＜0，∴函数f（x）的单增区间为，单减区间为．综上所述：（i）当a≤﹣时，f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．（ii）当时，f（x）的单增区间为，，单减区间为．（iii）当a＞0时，f（x）的单增区间为，单减区间为．（2）证明：∵∴由题意得，则：=注意到，故欲证，只须证明：．因为a＞0，故即证：令，则：故g（t）在（0，1）上单调递增．

即：，即：所以：．【点评】：本题考查导数的应用，涉及斜率，最大值、最小值的求法，是综合题；关键是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数，属于难题．20.（几何证明选讲）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，与的延长线交于点，为切点．若，，的平分线与和⊙分别交于点、。求的值．参考答案：证明：连结，，，，，．2分

又与⊙相切于点，，∽，．…（4分）为⊙的直径，，．可解得，．

…6分又平分，，又，∽，

．……10分21.如图，在△中，点在边上，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的长．

参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以．-------2分

因为，所以．

---------------4分

因为，所以

-ks5u-------6分

．

------------------9分（Ⅱ）在△中，由正弦定理得，

ks5u-----12分

所以．

---------------------14分22.设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．参考答案：解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．考点：绝对值三角不等式；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1