广东省潮州市国立高级中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析

广东省潮州市国立高级中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为(

)

A．(-∞，2)

B．(-∞，]

C．(0,2)

D．[,2)参考答案：B略2.一个几何体的三视图如图所示，主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，则该几何体的全面积为（

）

A、4

B、8

C、12

D、4+4

参考答案：C略3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π B．π C．8π D．16π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S=4π，圆柱和圆锥的高h=2，故组合体的体积V=（1﹣）Sh=，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4.如图1，△ABC是等腰三角形，其中∠A=90°，且DB⊥BC，∠BCD=30°，现将△ABC沿边BC折起，使得二面角A﹣BC﹣D大小为30°（如图2），则异面直线BC与AD所成的角为(

) A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：A考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：设AB=AC=2，则BC=2，BD=BCtan30°=，过点C作CM和BD平行且相等，则由题意可得BDMC为矩形，从而∠ADM（或其补角）为异面直线BC与AD所成的角．由此能求出异面直线BC与AD所成的角．解答： 解：设AB=AC=2，则BC=2，BD=BCtan30°=，过点C作CM和BD平行且相等，则由题意可得BDMC为矩形，∴∠ADM（或其补角）为异面直线BC与AD所成的角．取BC中点O，DM中点H，连结AO，HO，由已知得AO⊥BC，HO⊥BC，∴∠AOH是二面角A﹣BC﹣D的平面角，∴∠AOH=30°，由已知得AO=，HO=BD=，∴AH===，又AD=AM，H是DM中点，DH=，∴AH⊥DM，tan==，∴∠ADM=30°，∴异面直线BC与AD所成的角为30°．故选：A．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5.将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B将函数的图像向右平移个单位后得到,因为其图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，故，解得，即，则正数的最小值为，故选B.

6.(8)函数y=f（x）的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…xn，使得f(x1)/x1=f(x2)/x2=…=f(xn)/xn,则n的取值范围为(A)

{2,3}

(B){2,3,4}(C){3,4}

(D){3,4,5}参考答案：B表示到原点的斜率；表示与原点连线的斜率，而在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.7.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.等差数列{an}前n项和为Sn，若a10+a11=10，则=（）A．l B．2 C．一l D．一2参考答案：D考点：等差数列的前n项和．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由已知结合等差数列的性质求得S20，代入再由换底公式求得答案．解答：解：在等差数列{an}中，由a10+a11=10，得=10（a10+a11）=100，∴=．故选：D．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了对数的运算性质，是基础题．9.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：D考点： 双曲线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．解答： 解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．点评： 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．10.函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1]参考答案：C【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知sinx=x﹣+…，由sinx=0有无穷多个根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：，把这个式子的右边展开，发现﹣x3的系统为，即，请由cosx=1﹣+…出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论．参考答案：++…=【考点】类比推理．【分析】直接利用类比推理，即可得出结论．【解答】解：由cosx=0有无穷多个根：±π，±π，…，可得：cosx=（1﹣）（1﹣）…，把这个式子的右边展开，发现x2的系数为++…=，即++…=．故答案为++…=．12.函数f(x)＝sin2的最小正周期是________．参考答案：13.若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm），侧面积为8（单位：cm2），则它的体积为（单位：cm3）．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据侧面积计算出棱锥的斜高，利用勾股定理计算棱锥的高．【解答】解：设四棱锥为P﹣ABCD，底面ABCD的中心为O取CD中点E，连结PE，OE．则PE⊥CD．OE==1．∵S侧面=4S△PCD=4××CD×PE=8，∴PE=2．∴PO=，∴正四棱锥体积V==．故答案为．14.在边长为2的正三角形中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E。若在这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是

。参考答案：略15.数列中，若，（），则

.参考答案：略16.已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k﹣1）．其中所有正确结论的序号是参考答案：①②④考点： 抽象函数及其应用；函数的周期性．

专题： 综合题；压轴题．分析： 依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；据①②③的正确性可得④是正确的．解答： 解：①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2），正确；②取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，从而f（x）=2f（）=…=2mf（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…从而f（x）∈[0，+∞），正确；③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④．点评： 本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．17.已知函数

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2017?衡阳一模）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，参与空气质量评价的主要污染物为SO2、NO2、PM10、PM2.5、O3、CO等六项．空气质量按照AQI大小分为六级：一级0～50为优；二级51～100为良好；三级101～150为轻度污染；四级151～200为中度污染；五级201～300为重度污染；六级＞300为严重污染．某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续10天AQI的茎叶图如图所示：（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（Ⅱ）若从样本中的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取三天深入分析各种污染指标，求这三天的空气质量等级互不相同的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得；（Ⅱ）该样本中轻度污染共3天，中度污染为1天，重度污染为1天，求出基本事件的个数，由概率公式可得的．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为1，空气质量为良的天数为4，故空气质量优良的概率为=，故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为30×=15；（Ⅱ）该样本中轻度污染共3天，中度污染为1天，重度污染为1天，则从中随机抽取3天的所有可能结果为=10个，其中空气质量等级恰好不同有3个，该两天的空气质量等级恰好不同的概率P=．【点评】本题考查计算基本事件数及发生的概率，涉及茎叶图的知识，属基础题．19.（12分）（2015秋?沧州月考）设函数h（x）=x2﹣mx，g（x）=lnx．（Ⅰ）设f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016π）=2，若函数h（x）与g（x）在x=x0处的切线平行，求这两切线间的距离；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；定积分．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）运用定积分的运算法则和三角函数的特殊值，可得m=﹣1，分别求出g（x），h（x）的导数，求得切线的斜率，切点，再由点斜式方程可得切线的方程，再由两直线平行间的距离，计算即可得到所求；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即为x2﹣mx﹣lnx≥0，由x＞0，可得m≤x﹣，设F（x）=x﹣，求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1导数的符号，判断单调性，可得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（t）=m（sinx+cosx）dx=m（sinx﹣cosx）|=m[（sint﹣cost）﹣（1﹣0）]=m（sint﹣cost﹣1），f（2016π）=2，可得m（﹣1﹣1）=2，解得m=﹣1，则h（x）=x2+x的导数为h′（x）=2x+1，g（x）=lnx的导数为g′（x）=，由题意可得2x0+1=，解得x0=（﹣1舍去），即有h（x）在x=处的切线的方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0；g（x）在x=处的切线的方程为y﹣ln=2（x﹣），即为2x﹣y﹣1﹣ln2=0．则两切线间的距离为d==；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即为x2﹣mx﹣lnx≥0，由x＞0，可得m≤x﹣，设F（x）=x﹣，F′（x）=1﹣=，当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增；当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减．即有x=1处取得极小值，且为最小值1，则有m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数运用单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．20.已知a＞0，b＞0，a+b=2．（1）求+的最小值；（2）求证：≤1．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】（1）分式类型，巧运用a+b的式子即可；（2）利用基本不等式转化为=ab??（）2求解即可．【解答】解：（1）a+b=2．∴+=（+）=（5+）≥仅当（b=2a等号成立）；（2）证明：=ab??（）2=1．（当且仅当a=b等号成立）．21.已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.（1）若为线段的中点，求直线的方程；（2）记，求的取值范围.参考答案：解：（1）设直线的斜率为，方程为，代入中，∴.∴.判别式.设，，则.∵中点为，∴，则.∴直线的方程为，即.（2）由（1）知.设直线的方程为.同理可得.∴.∴.令，则，.在，分别单调递减，∴或.故或.即.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，