随机动力系统中的确定性性质与不变结构简述

I随机动力系统中的确定性性质与不变结构简述随机微分方程对于理解与运用现实中的复杂现象有着非常重要的意义，而对于随机微分方程的研究可以通过研究其解的确定性性质将对随机微分方程的研究转化为对确定性偏微分方程的研究；同时也可以类比动力系统中的几何不变结构，利用部分随机微分方程解的余环性质，来研究其随机不变结构从而更好地理解随机微分方程。本文将简要介绍Kolmogorov利用随机微分方程解的概率密度函数导出其机微分方程的研究转化为对于一类椭圆型偏微分方程的研究；同时会简要介绍II生物，化学和物理系统通常会受到如外界波动，内部搅动，波动初值的影响[29,19,15,23,28]，而在对这些系统进行数学建模的时候由于不能很好地认识以及没有有效的分析工具来研究这些不确定因素，它们经常会被忽略。然而，这些不确定因素对于这些系统的影响有时是重要而不可忽略的[4,36]，有时又会是十分有用的[18]。因此，对于这些受随机因素影响的复杂现象来说，在对其进行建模时考虑随机因素具有很重要的意义，而对于这些现象的建模主要是构造出相应的随机微分方程。对于随机微分方程有许多确定性性质可以研究其解的行为，如均值，概率密度函数，平均逃逸时间以及逃逸概率，而通过对这些内容的研究可以发现其实际上是满足某一确定性偏微分方程，如随机方程解的概率密度函数满足FokkerPlanck类抛物方程，而平均逃逸时间以及逃逸概率满足的是一类椭圆方程[37]。通过证明随机微分方程可以导出满足上述性质的随机动力系统可以将动力系统与随机分析的研究结果结合起来。而随机动力系统实际上在是遍历理论意义下的可测动力系统与光滑或拓扑动力系统结合的产物，这两者分别都有很好的研与发展[2]。确定性动力系统有很多几何不变结构如特征空间，来研究其对应的微分方程解的性质，而从20世纪90年代开始，关于随机动力系统的研究开始得到很好的发展，对应于动力系统中的几何不变结构如不变流形[6]，分形[11]，随机吸引子[33]等相继被提出。通过对这些几何不变结构的研究我们得以更好地理机微分方程解的一些行为，从而对于复杂现象获得更好地解释与应用。性性质如概率密度函数来研究随机微分方程的一些理论和方法，以及已有的确1dttn?tdttn?t第一章随机动力系统中的确定性性质考虑随机微分方程tttt00其中随机过程{B(O):t>0}为定义在概率空间(业,F,)上的布朗运动，dBtt为其广义微分，模拟高斯白噪声；b(t,X),((t,X)为满足方程(1.1)解的存在tt唯一性条件的参数。对少数线性随机微分方程可以得到其解析解，但对于大多数随机微分方程而言，我们并不能获得其解析表达式，但可以通过研究其概率密度函数等随机变量的确定性性质来解决一些随机微分方程中的一些问题。rPlanck{b(t{b(t,X)}n，((t,X)为n〉m矩阵函数{((t,X)}n，B为m维标准布朗运动iti=1ti,jti,j=1ttit定的函数f:n)1可知f(X)=jf(x)p(t,x)dx,ntndf(X)=jf(x)?p(t,x)dx,而另一方面由伊藤公式知iidf(Xt)=xibi+Tr((H(f)(T)dt+xi,k(ikdBtkii=「|xb?f+1x(((T)?2f]|dt+x(?fdBk|Lii?xi2i,ji,j?xi?xj」|i,kik?xitii?x2i,ji,j?x?xdf=(xii?x2i,ji,j?x?xiij即2?ti?xi2i,j?x?xi?ti?xi2i,j?x?xi,ji?xi2i,j?x?xi,j?tddff==fdtdtii?x2i,ji,j?x?x(xii?x2i,ji,j?x?xiijnii?x2i,ji,j?x?x=j(xb?fnii?x2i,ji,j?x?xiijdtnLixiiijdtnLixiiijxixjij」|n?t=jf(x)?p(t,n?tiij记A*p=_x?(bp)+1x?2(GGT)p)iij212??0rPlanck过数值模拟的方式去获得其数值解并应用到实际问题中去。因此，方程解的存在唯一性就显得尤为重要。在介绍方程(1.3)在特定边界条件下的存在唯一性定算子的概念对A*有ijA*p=xi,j?xi(GGT)i,j?xjp_xjbj+xi?xi(GGT)i,j.?xjp+xi,j?xx(GGT)ij_xi?xibipij可知A*为椭圆算子。i,ji,jijii3Dn上，方程(1.3)满足吸收边界条件?p(t,x)=A*p(t,x)?t(1.5)?D0定理1.1假设算子A*为在有界区域D上的一致椭圆算子，则有btxxGtxx的二阶导数在区域D上有界并且THD000002.若b(t,x)关于x的一阶导数与G(t,x)关于x的二阶导数以及初值p在区域D0按指数y一致Hölder连续并且在Cy(D)上有界，则方程(1.4)存在唯一解p=C2,y(D)关于(1)的证明可以参考[13，7.1]中的定理3,4,5；关于(2)的证明可以参考[14,Ch.3]中的定理9。?p(t,x)=A*p(t,x)?t(1.6)20定理为了描述与理解方程(1.1)解曲线的一些几何方面的性质，我们引入初次离曲线的离开时间为T(O)inf{t>0:X=x,X=?D}.D0tDu(x)T(O).D4记假设A为椭圆算子，b,(为满足方程(1.1)解的存在唯一性条件的参数。下面间可以通过解一个确定性偏微分方程得到。定理1.2算子A满足一致椭圆算子条件(1.4)，则满足方程(1.1)的从x=D开始的解曲线的平均离开时间u(x)满足椭圆偏微分方程D更进一步有(1)如果区域D有C2,y边界并且b,(=Cy(D)对y=(0,1)，则平均离开时间u存在唯一并且在C2,y(D)上；(2)如果b,(局部可积并且在D上有界，则方程(1.8)的解u存在唯一并且在1.3逃逸概率逃逸概率描述的是从区域D内开始的解曲线从边界?D上某一个特定部分T离开的概率。这个概念可以帮助我们理解复杂系统的许多概念。比如在分子生物学中[34]，两个长螺旋DNA单链分子相遇并变为双链分子的概率可以通过解决特定的逃逸概率问题来获得答案。定义初次离开时间Dct其中Dc是D在n中的补集，X为方程(1.1)的解。t当方程(1.1)的解X关于t几乎处处连续时，从x=D中开始的解曲线到达tDc时会同时到达?D，因此T=T。记T为?D的子集，称从x=D中开始的Dc?D5t即p(x)={X=T}.?D图1对于逃逸概率p(x)可以通过解一个确定性偏微分方程来获得。接下来的定理所描述的逃逸概率也适合如图1这样环形的情形，其中T既可以在内边界上DT该定理的证明可以参考[30,定理9.2.14]。假设粒子最初按概率密度f(x)分布在区域D上，那么粒子在从除T之外的其他边界上的位置离开前通过T离开区域D的概率P如下[27]P=jp(x)f(x)dx.D6第二章随机动力系统中的不变流形动力系统中的几何不变结构对于理解动力系统行为有着十分重要的意义，例如线性动力系统里的稳定与不稳定特征空间，非线性动力系统中的稳定与不稳定不变流形。而研究这些几何不变结构的重要基础是常微分方程中所谓的“流性质(flowproperty)”[31][9]。我们接下来先介绍确定性动力系统中的几何不变结构接着再引入随机动力系统中与之对应的几何结构。2.1确定性动力系统中的不变流形定义2.1(动力系统)称映射:nn为n上的动力系统如果其满足间记(x)(t,x)，则有t0t+sts0其中xnf:nn满足Lipschitz条件，即0[31,Sec.2.2-2.4]，根据[31,Sec.2.5]中的定理知，方程[2.2]的解(t,x)在0区间I(x)上满足0(x)=Id,=.00t+sts接下来讨论动力系统间的等价关系。可知同胚映射H为连续双射，且其逆tt.2称两动力系统1,2拓扑等价，如果存在同胚映射H:nn满足ttHttH对任意的t都成立。tttt。7如果方程(2.2)的解在n上存在唯一，则Q(t,x)满足动力系统的流性质0(2.1)。如果解Q(t,x)对某一初值x不满足全局存在唯一性，那么通过对时间000解都对t=存在唯一的动力系统Qt0t与原动力系统在n上拓扑同胚[31,Sec.3.1]。对方程(2.2)，称x*=n为平衡点如果有f(x*)=0，而该方程在平衡点对应的线性方程为x与原动力系统在n上拓扑同胚[31,Sec.3.1]。对方程(2.2)，称x*=n为平衡点如果有f(x*)=0，而该方程在平衡点对应的线性方程为0Df(x*)为f(x)在x*点的Jacobian矩阵。如果Df(x*)的特征值都有非零实部，那么称x*为方程(2.3)的双曲平衡点，否则称其为非双曲平衡点。接下来的定理探讨在双曲平衡点附近方程(2.3)的解与方程(2.2)的解的拓扑关定理2.1(Hartman-Grobman定理)记f=C1(n)，Q为满足非线性方程(2.2)t的动力系统。若x*为方程(2.3)的双曲平衡点，则存在同胚映射H:U)V，其HHQx=eAtH(x),t=Itx即，在双曲平衡点x*附近，方程(2.3)的解与方程(2.2)的解拓扑同胚。t0t0的连通度量空间，满足：U与n中的开集同胚；{的连通度量空间，满足：U与n中的开集同胚；aaaa丰气并且ha丰气并且h:U)B,h:U)B是同胚映射，B=n，那么aabaabbh(UU)与h(UU)为n的子集，映射h=hh-1:h=hh-1:h(UU))h(UU)abbabaab可微，并且对任意的x=h(UU)abbabaabbab8例2.1记M{(x,f(x)):x=1}其中f(x)可微。可知M为一维可微流形，其开覆盖为U=M，h:(x,f(x)))x。更一般的，对Lipschitz连续或Ck的映射y11y:H+)H-定义2.5(不变流形)称不变集M为动力系统Qt的不变流形，如果M可以被如yH)H-Lipschitz连续且H+中H-=n。yM为光滑不变流形。对n中的线性系统0可知其稳定特征空间Es由含负实部的A的特征值所对应的特征向量张成；其不稳定特征空间Eu由含正实部的A的特征值所对应的特征向量张成；其中心特征空间Ec由含零实部的A的特征值所对应的特征向量张成。这三个特征空间都是对非线性常微分方程(2.2)所导出的线性方程(2.3),x*=n为其平衡点，对满足方程(2.2)的动力系统Q定义其关于平衡点在邻域U上的稳定与不稳定流形tloctt)-t)-wtloctlocx9AAUUklklklnFxyGxy)为fˆ(x)分别在k,l上的投影。ababS为kk矩阵且其特征值的实部都小于a，U为ll矩阵且其特征值的实部大于b。如果F(x,y),G(x,y)都是C1连续并且满足1.在k中存在一个包含原点的开集与唯一的C1函数:kl满足ss(0)0,D(0)0并且Ws(0,0){(x,(x))kl}为满足方程(2.5)的动力系统的局部不变流形；2.在l中存在一个包含原点的开集与唯一的C1函数:lk满足uu(0)0,D(0)0并且Wu(0,0){((y),y)kl}为满足方程(2.5)的动 的伪指数二分性，可知klkl在局部不变流形上{(x,(x)):x}，方程(2.5)等价于如下的积分方程000假设性质(2.6)成立，令t则可得000如果要求a0b那么称Ws为局部稳定流形Wu为局部不稳定流形，若没locloclocloc对于平衡点原点不是双曲平衡点的情况，即方程(2.2)对应在原点附近对应的线性方程(2.3)中Df(0)有k个特征值有负实部，l个特征值有正实部，m个特征值有0实部且klmn。对于非线性系统(2.2)而言，其稳定，不稳(Ec)。定理2.3(局部稳定，不稳定，中心流形定理)考虑满足方程(2.2)的动力系统，f在包含原点的区域D上Cr连续，原点为其平衡点，且Df(0)有k个特征t系统(2.3)有稳定(Es)，不稳定(Eu)，中心特征空间(Ec)。那么1.存在m维Cr局部中心流形Wc(0)与中心特征空间Ec在原点正交；2.存在l维Cr局部不稳定流形Wu(0)与不稳定特征空间Eu在原点正交；3.存在k维Cr局部稳定流形Ws(0)与稳定特征空间Es在原点正交；t2.2随机动力系统中的不变流形随机动力系统中的几何不变结构同确定性动力系统中的一样，是理解方程解的性质的重要工具，并且确定性动力系统中的一些几何结构可以推广到随机定义2.5(可测动力系统)称概率空间(,F,)中的一组映射:为可测动t0对任意的t,s；tsts3.(,t)为可测函数。tttAtt不变测度。由于性质ttlim1jT(9(AB))dt=(A)(B),对任意的A,B=FtT)wT0一t其t所有不变集的概率为0或1。当测度保持动力系统9为遍历的，称其概率测度t接下来介绍概率空间(业,F,)上的可测动力系统9的一个遍历定理。t记f:业)1为一可测函数，定义其对某一O=业的“平均值”如下n)wn0tn)wn一nt记ftn)士wn0n+tf(O)=lim1jnf(9O)dt=lim1j0f(9O)dt存在}n)wn0tn)wn一nt定理2.4(遍历定理)9概率空间(业,F,)中的可测动力系统，f:业)1为tftt不变函数，即f(9O)=f(O)对任意的t=，O=业都成立。并且对所有的tfsn)wt0sn)wt一ts推论2.5(Birkhoff-Chintchin定理)当9为测度保持的时tt0st一ts准概率空间对定义在(业,F,)上的Brown运动B考虑映射tttBC),(t)B(),tt(,)1maxntn|1(t)2(t)|.12n12n1max|(t)(t)|ntn12可知该度量导出的收敛为一致收敛。该度量导出的Borel集B(C(,1))记为其域，可知B为可测映射，故B为随机变量，记其导出的概率测度为P:P(A)P(B1(A))，A为C(,1)中的Borel集。于是可以得到概率空间BBBBt(C(,1),B(C(,1),P)上定义随机过程BB:C(,1)1B()(t)ttBt1Bt1tkkt1tk1k11k即B与B具有相同的概率分布tt我们称(C(,1),B(C(,1),P)为标准概率空间，仍将其记作(,F)。Bt((s))(s)(ts)(t)t,s.tt02.对任意的t,s；tsts3.(,t)为可测函数并且,对任意的t[2，附录A].ttB()B()B()sttstt态空间X，时间集=或，概率空间(,F,,())上的连续随机动力系统tttt足余环性质(0,)Id;sstsxtsx只在几乎处处的意义下对固定的st,s成立以及在与t,s相关的零测集上不成立。而根据[2,Sec1.3],我们可以构造一个完美余环与原粗糙余环不可分辨即集合{:(t,)(t,),对某一t}的概率测度为0。因此，接下来我们只讨论完美余环的性质。12t1212122211222t11下面给出随机动力系统的几个例子例2.2考虑线性随机方程dXdBXxtt0可知其解映射为(t,,x)B()x,可知(0,,x)x,并且ttss)的解映射是否为余环，我们有如下的定理xnbxnb?bi=Ck,6i=1i?xbitt乘积遍历定理为我们提供了线性余环中对应于线性动力系统的特征空间与v定理2.6(乘积遍历定理)记C(t,O)为n中在概率空间(业,F,)，时间t=，可测驱动流9上的线性随机动力系统，并且满足可积条件tsuplnCtOLsuplnCtOL业)Ftt1.“渐进几何均值”的极限E(O),...,E(O)，记其维数为d(O)=dimE(O),i=1,...,p(O)，并且n=p(O)1iipOpOpOiittititiiiit4.对任意的O=业，极限lim1lnC(t,O)x=入当且仅当x=E(O)\{0}t)士wtiiiiiseledetsLyapunov12p()定理的证明可以参考[2，Sec.3.3-3.4]。ttt线性随机动力系统(t,)，其由某一线性随机方程的解映射给出，可知其iisupln(t,)supln(t,)0t10t1其中为矩阵范数。而由于所有的矩阵范数都等价，因此可以选择任意的矩阵积性条件。3.有两种方式来确定线性随机动力系统(t,)的Lyapunov指数与其对应的fC2,,f,...,fC3,,mdfjfiC3,0b1mbi1j1ixbj假设原点为f,...,f0mAf(0),0imixidxf(x)dtmf(x)dBi,tt0ti1ittyt0ti1itdBi,tt那么存在可测映射h:nn满足1.h(,):nn为n上的同胚映射，并且h(,0)0,；15()h(,x)h()()ttt。定义2.10(随机集合)一组集合MM(),称为n中随机动力系统的随机集，如果其满足n；2.V:x1V()xinfd(x,y1V()xyMt定义2.12(随机不变流形)如果随机动力系统的不变集M()可以表示成如下形式LipschitzMLipschitz；如果*(,)对任意的 对于形如方程(1.1)的随机微分方程，为了方便研究其解的几何性质，需要将其转化如下的形式dtttA()utnUt)。tttt非一致伪双曲性)线性随机动力系统U(t,o)被称为有非一致双曲性，t