苏教版高数必修二第3讲：空间几何体的表面积和体积(教师版)

空间几何体的表面积和体积____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．一、展开图定义一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．二、特殊几何体的定义1.直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．正棱锥的性质：（1）正棱锥的侧棱相等；（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）侧棱、高、底面构成直角三角形．4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台．正棱台的性质：（1）正棱棱台的侧棱长相等（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形．三、侧面积与表面积公式1.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式：S正棱锥侧＝12nah'=(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧＝12n((4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即S表＝S底＋S侧.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式(1)S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线长(2)S圆锥侧＝πrl(r为底面圆半径，l为母线长)(3)S圆台侧＝π(R+r)l(R、r分别为上、下底面半径，l(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S表＝S底＋S侧.(5)若圆锥底面的半径为，侧面母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为则，3.由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝4πR2.即球面面积等于它的大圆面积的四、体积1.长方体的体积：长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体＝abc2．棱柱和圆柱的体积：(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh.(2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱＝πr3．棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么它的体积V锥体＝13Sh(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝134．棱台和圆台的体积：(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S，高是h，则它的体积是V台体＝13(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝135．球的体积：如果球的半径为R，那么球的体积V球＝436．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．7.球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离．类型一表面积例1：(2014·江西九江三中高一月考)已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是()A．2B.eq\f(5,2)C．3D.eq\f(7,2)解析：如图，设O1、O分别是正四棱台上、下底面的中心，则OO1是正棱台ABCD－A1B1C1D1的高，E1、E分别是A1D1、AD的中点，连接OE、O1E1，作E1H∥OO1，则E1H＝O1O，由题意得，eq\f(3＋6EE1,2)×4＝9＋36，∴EE1＝eq\f(5,2).在Rt△EHE1中，E1H2＝EEeq\o\al(2,1)－EH2＝eq\f(25,4)－eq\f(9,4)＝4，∴E1H＝2，∴O1O＝2.答案：A练习1：某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32 B．16＋16eq\r(2)C．48 D．16＋32eq\r(2)答案：B练习2：若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的全面积是()A．3π B．3eq\r(3)πC．6π D．9π答案：A练习3：3．(2014·甘肃天水一中高一期末测试)球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．π答案：C例2：(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面面积为()A．8B.eq\f(8,π)C.eq\f(4,π)D.eq\f(2,π)解析：设围成圆柱的底面半径为r，则2πr＝4，∴2r＝eq\f(4,π)，∴圆柱的轴截面面积为S＝eq\f(4,π)×2＝eq\f(8,π).或2πr＝2，∴2r＝eq\f(2,π)，∴圆柱的轴截面面积为S＝eq\f(2,π)×4＝eq\f(8,π).答案：B练习1：(2014·浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2答案：D练习2：(2014·河南洛阳高一期末测试)已知圆锥的表面积为12πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为()A.eq\r(3)cm B．2cmC．2eq\r(3)cm D．4cm答案：B练习3：(2014·浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2答案：D练习4：(2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________．答案：50π类型二体积例3：(2014·江西九江三中高一月考)正三棱锥底面三角形的边长为eq\r(3)，侧棱长为2，则其体积为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(9,4)解析：如图，作PO⊥底面ABC，∵正三角形ABC的边长为eq\r(3)，∴AO＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)＝1，∴PO＝eq\r(PA2－AO2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×eq\r(3)＝eq\f(3,4).答案：C练习1：(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－ABCD的体积和侧面积．答案：连接AC、BD，AC与BD的交点为O，取BC的中点E，连接OE、PE、PO，则PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高．由已知得OE＝3，OA＝3eq\r(2)，∴PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(25－18)＝eq\r(7)，PE＝eq\r(PO2＋OE2)＝eq\r(7＋9)＝4.∴四棱锥P－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×6×eq\r(7)＝6eq\r(7).四棱锥P－ABCD的侧面积S＝eq\f(1,2)×6×4×4＝48.练习2：(2014·四川文，4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A．3B．2C.eq\r(3)D．1答案：D.由三视图可知，该几何体的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.由三视图找出垂直关系是关键．例4：将长为a，宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V1，以b为轴旋转一周，所得柱体的体积为V2，则有()A．V1>V2 B．V1<V2C．V1＝V2 D．V1与V2的大小关系不确定解析：以a为旋转轴时，所得几何体的体积V1＝ab2π，以b为旋转轴时，所得几何体的体积V2＝a2bπ.∴V1－V2＝abπ(b－a)，∵a>b，∴V1－V2<0，∴V1<V2，故选B.答案：B练习1：如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A．6eq\r(3) B．9eq\r(3)C．12eq\r(3) D．18eq\r(3)答案：由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).底面积：S＝3×3＝9，所以其体积V＝9eq\r(3).练习2：一个圆柱的高缩小为原来的eq\f(1,n)，底面半径扩大为原来的n倍，则所得的圆柱的体积为原来的________．答案：n倍．例5：在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．解析：由、PB、PC为棱构造正方体，进而求出球的直径，从而得到球的体积．答案:∵PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，∴以PA、PB、PC为相邻的三条棱可以构造正方体．∵P、A、B、C四点是球面上的四个点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径，∴2R＝eq\r(3)a，∴R＝eq\f(\r(3),2)a，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))3＝eq\f(\r(3),2)πa3.练习1：体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．答案：设正方体棱长为a，球半径为r.∵a3＝8，∴a＝2，又∵4πr2＝6a2，∴r＝eq\r(\f(6,π)).∴V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(6,π))))3＝eq\f(8\r(6π),π).练习2：平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()A.eq\r(6)π B．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)π D．6eq\r(3)π答案：B本题考查球的截面性质，考查利用公式求球的体积．设球O的半径为R，则R＝eq\r(12＋\r(2)2)＝eq\r(3)，故V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.1．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2 B．12C．18a2 D．24a答案：B2．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(6),2) D.eq\f(2\r(3),3)答案：B3．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为3eq\r(3)，则它的侧面积是________．答案：36eq\r(2)4．若一棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为示)是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．答案：3π5．(2014·沈阳高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示矩形．主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)判断该几何体形状；(2)求该几何体的侧面积S.答案：(1)这个几何体是四棱锥．(2)作出该几何体的直观图，如图，E、F为AB、BC的中点，则AB＝8，PO＝4，BC＝6.在Rt△POF中，PF＝eq\r(16＋16)＝4eq\r(2)，∴S△PBC＝eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＝12eq\r(2)，在Rt△POE中，PE＝eq\r(16＋9)＝5，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×8×5＝20，所以侧面积为2(12eq\r(2)＋20)＝24eq\r(2)＋40.6.若长方体的三个面的面积分别为，则长方体的体积为；其对角线长为。答案：，7.若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的体积是。答案：8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为，体积为，则棱台的高为。答案：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.如果圆锥底面半径为，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的全面积为（）A、B、C、D、答案：B2、一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（）A、B、C、D、答案：C3、轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（）A、B、C、D、答案：B4.(2014·山东威海市高一期末测试)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A．2 B．3C．4 D．6答案：A5.已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是()A．9eq\r(55)π B．9eq\r(55)C．3eq\r(55)π D．3eq\r(55)答案：C6.(2014·重庆文，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12 B．18C．24 D．30答案：C7．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为____________．答案：eq\f(\r(3),24)πR38．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积答案：如图所示，VA1－EBFD1＝VA1－EBF＋VA1－EFD1＝VF－A1EB＋VF－A1ED1＝eq\f(1,3)·a·eq\f(a2,4)＋eq\f(1,3)·a·eq\f(a2,4)＝eq\f(a3,6).能力提升9.正过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离是球半径R的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是()A．100π B．300πC.eq\f(100π,3) D.eq\f(400,3)π答案：设球的半径为R，正方体的棱长为a，则eq\f(4πR3,3)＝a3，∴a＝eq\r(3,\f(4π,3))R，S正方体＝6a2＝6×eq\r(3,\f(4π,3)2)R2＝eq\r(3,16π2×24)R2，S球＝4πR2＝eq\r(3,4π3)R2＝eq\r(3,16π2×4π)R2，∴S球<S正方体，故选C.10.一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的()A.eq\f(63,64) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,64)答案：轴截面如图，由题意eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1D,OB)＝eq\f(1,4)，V圆锥PO1＝eq\f(π,3)·PO1，V圆锥PO＝eq\f(16,3)π·PO，∴V圆台O1O＝V圆锥PO－V圆锥PO1＝eq\f(16,3)π·PO－eq\f(π,3)·PO1＝eq\f(16,3)π·PO－eq\f(π,3)·eq\f(1,4)·PO＝eq\f(63,12)π·PO，∴eq\f(V圆台OO1,V圆锥PO)＝eq\f(\f(63,12)π·PO,\f(16,3)π·PO)＝eq\f(63,64).(或由：截得小圆锥底半径为1，原来底半径为4，∴相似比为1：4，故小圆锥与原来大圆锥体积比为1：64，∴截得圆台与原来大圆锥的体积比为63：64)．11.（2014·广东揭阳一中高一阶段