高考数学圆锥曲线的基本公式推导

圆锥曲线的几大大题特点公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程圆锥曲线的切线方程在历年高考题中出现，可是在高中教材及资料都波及较少。本文主要探究圆锥曲线的切线方程及其应用。进而为解这一类题供给一致、清楚、简捷的解法。【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x2换成xx0，y2换成yy0，x换成(x+x0)/2,y换成(y+y0)/2.【1-1】椭圆的切线方程：①椭圆x2y2xx0yy0上一点P(x0,y0)处的切线方程是1。1b2a2b2a2xx0yy0②过椭圆x2y21外一点P(x0,y0)1。a2b2所引两条切线的切点弦方程是2b2a③椭圆x2y21与直线AxBxC0相切的条件是A2a2B2b2C20a2b2(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件)【1-2】双曲线的切线方程：①双曲线x2a2②过椭圆x2a2③椭圆x2y2a2b2

y21上一点P(x0,y0)处的切线方程是xx0yy01。b2a2b2xx0yy0y2外一点P(x0,y0)1。1所引两条切线的切点弦方程是a2b2b21与直线AxBxC0相切的条件是A2a2B2b2C20【1-3】抛物线的切线方程：物线y22px上一点P(x0,y0)处的切线方程是yy02p(xx0)②过抛物线y22px外一点地方引两条切线是yy02p(xx0)③抛物线y22px与直线AxBxC0相切的条件是pB22AC1-4】基础知识的证明：【公式一：曲线C上切点公式证明】1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程设曲线C上某一点处P(x0,y0)的切线方程为yy0k(xx0),联立方程，令0,获得k的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式（注:k的表达式能够在底稿中巧用点差法求,详细见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其他跟第一种方法同样

xx0yy0(x0)2(y0)2a2b2a2b21)证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，中点P(x0,y0)x12y121,(1)22y122则有a2b2(1)(2)，得x1x2y20.x22y22a2b21.(2)a2b2y2y1y2y1b2又y2y1y1y22y0y0.x2x1x2x1a2kMNx1,x22x0x0x2x1kMNy0b2kMNy0b2x0a2(弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是x0a2)当M、N无穷趋近时，P在椭圆C上。即得切线斜率kb2x0a2y03、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。坐标变化，令x'ax,y'=by,22由于圆方程为x2+y21,进而获得变形后椭圆表达式x'y'1a2b2由于圆切线方程为xx0+yy01进而获得椭圆切线方程x'x0'y'y0'1a2b2附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中略微有些不一样。③①切线斜率可用导数表示。②获得式子后，要利用y022px把y02消去。【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)证明思路：过P(x0,y0)作两条曲线C的切线，切点为A(x1,y1)，B(x2,y2)。Ax1By1C0。因此过A、B两点直线lAB方程为AxBxC0Ax2By2C0证明(就举椭圆为例)解：过(x0,y0)作两条曲线C的切线，切点为A(x,y)，B(x,y)。P1122过A点切线:xx1yy1，过B点切线：xx2yy21。a2b21a2b2xx0yy0过A、B两点直线lAB1方程为b2a2【公式三：由公式一的思路可得】【基础知识2：焦半径与准线】(详细关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格)1-0】1-1】焦半径公式(详细推导用“两点间距离公式”也可解决，以后近似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果能够直接靠背。对于焦半径PF，口诀：椭圆F左加右减。aex(记忆：a大则在前)双曲线F左加右减，双曲线上点P左减右加。exa焦半径与点到准线距离关系以下。即

(a

ex)/e=

a2

x准线距离c推行应用

:经过m,n比率e的值cos的值tank的值巧用公式cosmn1mn(注：双曲线交于同侧、抛物线近似)emn1可是需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变成cosn，详细自己推导吧me【基础知识3：弦中点公式及系列近似结论拓展】(坐标变化只好用于证明部分内容)【结论一：弦中点公式】【证明】：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，中点P(x0,y0)x12y121,(1)2222则有a2b2(1)(2)，得x1x2y1y20.x22y22a2b21.(2)a2b2y2y1y2y1b2又y2y1y1y22y0y0.x2x1x2x1a2kMNx1,x22x0x0x2x1即kMNy0kMNkOPb2(常用)x0a2结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。【抽象理解型证明】详细理解，能够用“坐标系变化理解”证明：设某斜率为定值k的直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，中点P(x0,y0)x2y21，令xax',y=by'(x')2+(y')21。a2b2∵变化后，x轴缩短a倍，y轴缩短b倍，获得中点轨迹方程一直与MN垂直k'OPk'MN1又kyby'bk'xax'ab'b'b2kOPkMNakOPakMNa2【结论二：极点连线斜率乘积公式】(用坐标变化好理解)(部分设元会用它比较方便)kAPkBPb2a2,详细证明见下边的“拓展性证明”,若要抽象理解的话坐标变化后两个垂直，b2证明方法和上边同样。至于双曲线，则是kAPkBP2。结论能够直接背，可是引用的时a候还得依据下边的方法老实推导。【结论三：（上一结论的延长）对称点连线斜率乘积公式】(无法用坐标变化)证明：不建议设直线，直接设两个元