恒定电流的电场和磁场

恒定电流的电场和磁场第1页，课件共115页，创作于2023年2月一、电流分布1、（体）电流密度设垂直通过ΔS的电流为ΔI，则该点处的电流密度为

第2页，课件共115页，创作于2023年2月载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场，称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。通过面积S的电流等于电流密度在S上的通量电流密度与流过任意面积S的电流强度I的关系：第3页，课件共115页，创作于2023年2月2、（面）电流密度设垂直通过ΔL

的电流为ΔI，则该点处的电流密度为

第4页，课件共115页，创作于2023年2月二、电流连续性方程

在电流场中有一闭合曲面S，由电荷守恒定律电流连续性方程

第5页，课件共115页，创作于2023年2月第6页，课件共115页，创作于2023年2月要该积分对任意的体积V均成立，必须有被积函数为零

电流连续性方程微分形式

电流连续性方程积分形式

第7页，课件共115页，创作于2023年2月恒定电场的电流连续性方程

若电荷分布恒定，即第8页，课件共115页，创作于2023年2月三、欧姆定律的微分形式电功率密度一段载流I导体，端电压为U，电阻为R，由欧姆定律欧姆定律微分形式第9页，课件共115页，创作于2023年2月

电导率为无限大的导体称为理想导电体。在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流，所以在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。

电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。理想介质内无电流存在。

电导率不为零的媒质，具有导电能力，这种媒质称为导电介质。第10页，课件共115页，创作于2023年2月媒质电导率(S/m)媒质电导率(S/m)银海水4紫铜淡水金干土铝变压器油黄铜玻璃铁橡胶表常用材料的电导率

第11页，课件共115页，创作于2023年2月按电导率对介质的分类理想导体理想介质（绝缘介质）导电媒质

与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。第12页，课件共115页，创作于2023年2月

运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明运流电流的电流密度

与运动速度

的关系为

式中为电荷密度。第13页，课件共115页，创作于2023年2月

焦耳定律电功率密度

当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功——电功率

在导体中，沿电流线方向取一长度为ΔL、截面为ΔS的体积元，该体积元内消耗的功率为

第14页，课件共115页，创作于2023年2月载流导体内任一点的热功率密度为

焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。

焦耳定律的微分形式第15页，课件共115页，创作于2023年2月四、恒定电流场的基本方程电位方程载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源）

积分形式

微分形式

本构关系第16页，课件共115页，创作于2023年2月电位及电位方程

对于均匀的导电媒质恒定电场的电位满足拉普拉斯方程

第17页，课件共115页，创作于2023年2月例设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。

Uyxtabr0(r,)0解选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为U，且令

当角度时，电位。当角度时，电位。由于导电媒质中的电位

仅与角度

有关，电位满足的方程式为此式的通解为

第18页，课件共115页，创作于2023年2月

利用给定的边界条件，求得

导电媒质中的电流密度J为由的端面流进该导电媒质的电流I

为该导电块的两个端面之间的电阻R为第19页，课件共115页，创作于2023年2月五、恒定电流场的边界条件

由积分形式

可得恒定电流场中不同导电媒质分界面的边界条件

第20页，课件共115页，创作于2023年2月即恒定电流场的边界条件为

恒定电流场中不同导电媒质分界面两侧的电场强度切向分量连续，但其法向分量不连续；而电流密度的法向分量连续，但其切向分量不连续。

第21页，课件共115页，创作于2023年2月在恒定电场中，分界面处用电位表示的边界条件为应用边界条件，可得分界面处的折射定理第22页，课件共115页，创作于2023年2月讨论：两种导电媒质当一种导电媒质为不良导体，另一种导电媒质为良导体，若电导率，如同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成，填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质,总有很小的漏电导存在，如聚乙烯的电导率为10-10数量级，由第23页，课件共115页，创作于2023年2月

当σ1>>σ2，第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直，这时可将良导体的表面近似地看作等位面。

第24页，课件共115页，创作于2023年2月2）理想介质与良导体第25页，课件共115页，创作于2023年2月

可知E2不垂直导体表面,导体表面不是等位面,导体也不是等位体,这是由于σ1有限,导体中沿电流方向存在电场。而在静电场中,导体内电场强度为零,介质中的场强总是垂直导体表面,导体是等位体,其表面是等位面。在这一点,恒定电场与静电场有根本的区别。由上知，在均匀导体内电流沿平行于导体表面流动。第26页，课件共115页，创作于2023年2月4）载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在即，载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在，电荷分布在载流导体的表面。第27页，课件共115页，创作于2023年2月4）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷

当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。第28页，课件共115页，创作于2023年2月分界面上的面电荷密度当时，分界面上的面电荷密度为零。

可见,在两种导电媒质分界面上一般有一层自由电荷分布。如果导电媒质不均匀,在媒质中还会有体电荷的存在。第29页，课件共115页，创作于2023年2月六、恒定电流场与静电场的比拟

第30页，课件共115页，创作于2023年2月物理量的对偶关系

静电场恒定电场第31页，课件共115页，创作于2023年2月

因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟法。

静电比拟法的理论依据：解的唯一性定理

可利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。

第32页，课件共115页，创作于2023年2月

利用两种场方程，可求两个电极间的电阻及电导与电容的关系为若已知两电极之间的电容，由上述两式可求得两电极间的电阻及电导。

例如，已知面积为S，间距为d

的平板电容器的电容，若填充的非理想介质的电导率为

，则极板间的漏电导为又如单位长度内同轴线的电容；若同轴线填充介质具有的电导率为，则单位长度内同轴线的漏电导第33页，课件共115页，创作于2023年2月1、真空中恒定磁场的基本方程2、矢量磁位3、磁偶极子4、磁介质中的基本方程5、不同磁介质分界面的边界条件6、标量磁位7、互感和自感8、磁场能量9、虚位移法求磁场力第三章恒定电流的电场和磁场第34页，课件共115页，创作于2023年2月§

3.2~§

3.3恒定磁场的基本方程

安培力的实验定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元对另一载有电流I2的回路C2上任一线元的作用力为1、电流产生磁场的规律第35页，课件共115页，创作于2023年2月电流元受的作用实际是电流元产生的磁场对它的作用,即电流元在电流元处产生的磁场为上式就是熟知的毕——萨定律第36页，课件共115页，创作于2023年2月对于整个线电流产生的磁感应强度为若电流是具有体分布的电流，则为若电流是具有面分布的电流，则为叠加原理积分公式积分公式第37页，课件共115页，创作于2023年2月

磁感应强度可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点的切线方向为磁感应强度矢量的方向，这些曲线称为磁感线（磁力线）。磁场线的矢量方程为

2、磁场的几何描述——磁感线第38页，课件共115页，创作于2023年2月3、恒定磁场的基本方程

1）磁通连续性原理（磁场的高斯定理）以线电流的磁场为例，求一闭合曲面的磁通量第39页，课件共115页，创作于2023年2月故上式可写为

由矢量恒定式

第40页，课件共115页，创作于2023年2月磁通连续性原理（磁场的高斯定理）由于上式中积分区域V是任意的，所以对空间的各点，有

上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度是一个无源(指散度源)场。第41页，课件共115页，创作于2023年2月2）安培环路定理其中的电流I为穿过以闭合曲线C为边界的曲面上电流的代数和，即电流与闭合曲线相交链。第42页，课件共115页，创作于2023年2月因上式的积分区域S是任意的，因而有

上式是安培环路定理的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。第43页，课件共115页，创作于2023年2月真空中恒定磁场的基本方程

微分形式积分形式第44页，课件共115页，创作于2023年2月1、定义§

3.4矢量磁位

定义：

为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。

某点磁感应强度B等于该点矢量磁位

A的旋度。第45页，课件共115页，创作于2023年2月关于矢量磁位说明：1）对于磁矢位散度的规定因为仅仅规定了磁矢位的旋度，由亥姆霍兹定理知：还必须规定其散度，否则不唯一，如：、具有相同的旋度，说明不唯一，应规定其散度。若有一矢量满足，另一矢量（是一个任意标量函数），和是两个不同的矢量函数。第46页，课件共115页，创作于2023年2月规定2）磁通的计算可通过矢量磁位计算（库仑规定）C是曲面S的边界线。第47页，课件共115页，创作于2023年2月使用矢量恒等式

2、矢量磁位方程由关于散度的规定第48页，课件共115页，创作于2023年2月磁矢位的泊松方程对于无电流分布的区域()，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程关于磁场的求解问题，可归结为求解磁矢位的泊松方程或拉普拉斯方程的边界问题第49页，课件共115页，创作于2023年2月其分量方程为每一个分量方程都是一个二阶的偏微分方程。对于球坐标和圆柱坐标，其表达式不是这样简单。在直角坐标系中第50页，课件共115页，创作于2023年2月关于磁矢位积分表达式与静电场的电位方程比较，可得在直角坐标系中对于（体）电流分布，关于磁矢位的积分表达式第51页，课件共115页，创作于2023年2月将其写成矢量形式为

若磁场由面电流JS产生，其磁矢位为线电流产生的磁矢位为

第52页，课件共115页，创作于2023年2月

例1

求长度为l的载流直导线的磁矢位。解:用矢量磁位的叠加计算取一电流元，在场点的矢量磁位为第53页，课件共115页，创作于2023年2月当l>>z时有

若考虑l>>r,即是无限长的载流导线，则有

第54页，课件共115页，创作于2023年2月

当电流分布在无限区域时，一般应指定一个磁矢位的参考点，可以使磁矢位不为无穷大。若指定r=r0处为磁矢位的零点时，有第55页，课件共115页，创作于2023年2月对上式，用圆柱坐标的旋度公式，可求出第56页，课件共115页，创作于2023年2月

例2

求一对载相同电流、但流向相反的的载流直导线的磁场。解:第57页，课件共115页，创作于2023年2月第58页，课件共115页，创作于2023年2月在圆柱坐标中第59页，课件共115页，创作于2023年2月例3

用磁矢位重新计算半径为a、载流为I的长直圆柱导线的磁场。

解：

r≤a

r>a

从电流分布可以知道磁矢位仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即

设在导线内磁位是,导线外磁位是

r≤a

第60页，课件共115页，创作于2023年2月r>a

因为，A1必须有限，有C1=0（r>a）

（

r≤a

）第61页，课件共115页，创作于2023年2月可求出导线内、外的磁场分别为

导体外部的磁感应强度为常数C3的确定可根据在圆柱面上的边界条件计算为第62页，课件共115页，创作于2023年2月§3.5磁偶极子载流为I、半径为a的圆电流位于xy平面，有，可将圆电流称为磁偶极子，常用磁矩描述它求磁偶极子产生的远区磁场第63页，课件共115页，创作于2023年2月利用矢量磁位的积分公式求解利用矢量公式第64页，课件共115页，创作于2023年2月因为求的是磁偶极子产生的远区磁场，，故有因为上式积分是对圆面积进行的，即积分与r无关，且第65页，课件共115页，创作于2023年2月第66页，课件共115页，创作于2023年2月矢量磁位位于平行xy平面内，将其在球坐标中表示，则知仅有分量存在第67页，课件共115页，创作于2023年2月第68页，课件共115页，创作于2023年2月磁偶极子产生的远区磁场与电偶极子产生的远区电场比较其场在空间的分布相同第69页，课件共115页，创作于2023年2月

位于外磁场中的磁偶极子，会受到外磁场的作用力及其力矩，其作用力和力矩的公式分别为第70页，课件共115页，创作于2023年2月§

3.6磁介质中的场方程1）磁化强度定义

式中是体积元ΔV内的任一分子磁矩。如在磁化介质中的体积元ΔV内，每一个分子磁矩的大小和方向全相同(都为)，单位体积内分子数是N，则磁化强度为1、介质的磁化第71页，课件共115页，创作于2023年2月2）磁化电流设磁化介质的体积为V，表面积是S，磁化强度，计算在介质外部任一点的矢量磁位。取体积元dV′，将其中的介质当成一磁偶极子，其磁矩为

，它在处产生的磁位是第72页，课件共115页，创作于2023年2月全部磁介质在处产生的磁矢位为

将上式改写为

第73页，课件共115页，创作于2023年2月利用矢量恒等式

将磁矢位的表示式变形为磁化（体）电流密度磁化（面）电流密度左为磁化电流示意图。磁介质磁化后将有磁化电流存在，它是由磁介质内分子电流的有序取向形成的。磁化电流也要产生磁场，从而影响原外磁场。第74页，课件共115页，创作于2023年2月2、磁场强度

在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流，磁化电流和外传导电流都产生磁场，应将真空中的安培环路定律修改为：令磁场强度，单位是A/m(安培/米)

第75页，课件共115页，创作于2023年2月关于安培环路定律与之相应的微分形式是

为自由电流密度3、磁导率对于线性的均匀磁介质，有关系为

式中是一个无量纲常数，称为磁化率，顺磁介质的，抗磁介质的，且这两类介质的

量级。第76页，课件共115页，创作于2023年2月式中是介质的相对磁导率，是一个无量纲数。而

，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的和的关系是非线性的，且不是的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率的变化范围很大，可以达到106量级。第77页，课件共115页，创作于2023年2月

磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，因为由式可见，将有无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。

边界上磁场强度的切向分量是连续的，因此，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，即磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。H第78页，课件共115页，创作于2023年2月例、在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制N匝线圈，如图示。当线圈中的恒定电流为I时，若忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求磁芯及气隙中的磁感应强度及磁场强度。

解

忽略漏磁通，磁感应强度的方向沿环形圆周。由边界条件知，气隙中磁感应强度Bg等于磁芯中的磁感应强度Bf，即

围绕半径为r0的圆周，利用媒质中的安培环路定律，且考虑到r0>>a，可以认为线圈中磁场均匀分布，则由安培环路定理有第79页，课件共115页，创作于2023年2月气隙中的磁场强度Hg

为磁芯中的磁场强度Hf

为第80页，课件共115页，创作于2023年2月4、磁介质中恒定磁场基本方程微分形式

积分形式：

各向同性的均匀磁介质对于均匀介质(为常数)，满足矢量泊松方程

第81页，课件共115页，创作于2023年2月

例半径为a、高为L的磁化介质柱(如图所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。

解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。第82页，课件共115页，创作于2023年2月在界面z=0上，

在界面z=L上，在界面r=a上，第83页，课件共115页，创作于2023年2月§

3.5磁场的边界条件

1、法向分量边界条件

第84页，课件共115页，创作于2023年2月磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为由有第85页，课件共115页，创作于2023年2月

2、切向分量边界条件

第86页，课件共115页，创作于2023年2月因为h→0，如果分界面的薄层内有自由电流，则为面电流，在回路所围的面积上

第87页，课件共115页，创作于2023年2月如果分界面处没有自由面电流，则

即第88页，课件共115页，创作于2023年2月

若两种介质分界面不存在电流，则在分界面处的边界条件为相应的标量形式为

分界面处的折射定理

第89页，课件共115页，创作于2023年2月折射定理表明，磁力线在分界面上通常要改变方向。若介质1为铁磁材料，介质2为空气，此时μ2

«μ1,有θ2«

θ1，及B2

«B1

假如μ1=1000μ0,μ2=μ0，在这种情况下，当θ=87°时，θ2=1.09°，B2/B1=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁力线几乎与铁磁材料表面垂直。第90页，课件共115页，创作于2023年2月§3.8标量磁位

由恒定磁场的基本方程，在无自由电流(J=0)的区域里有

称为磁场的标量磁位（磁标位)，单位为A(安培)。磁场强度是无旋的，磁场强度可表为一个标量函数的负梯度上式中的负号是为了与静电位对应而人为加入的。标量磁位不具有磁场力作功的含义。关于解决标量磁位的多值问题。1、标量磁位的定义第91页，课件共115页，创作于2023年2月1）、在均匀磁介质中2、标量磁位满足的方程在均匀磁介质中，若所研究的区域内无传导电流存在，稳恒磁场的求解问题可归结为求解标量磁位的拉普拉斯方程的边值问题。第92页，课件共115页，创作于2023年2月

用微分方程求磁标位时，也同静电位一样，是求拉普拉斯方程的解。分界面处的边界条件用磁标位表示时，为

磁标位在求解永磁体的磁场问题时比较方便(因其内无传导电流)。永磁体的磁导率远大于空气的磁导率，因而永磁体表面是一个等位(磁标位)面，这时可以用静电比拟法来计算永磁体的磁场。

第93页，课件共115页，创作于2023年2月

对于非均匀介质，在无源区(J=0)令，称其为“磁荷”2）、非均匀磁介质引入磁荷的概念后，磁标位满足泊松方程，即第94页，课件共115页，创作于2023年2月§

3.9互感和自感

在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量Φ是与电流成正比。如果回路由细导线绕成N匝，则总磁通量是各匝的磁通之和。称总磁通为磁链，用Ψ表示。对于密绕线圈，可近似认为各匝的磁通相等，有Ψ=NΦ。第95页，课件共115页，创作于2023年2月

一个回路的自感定义为回路的磁链与回路电流之比，即自感的单位是H(亨利)。自感的大小仅决定于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率。自感与回路是否载流无关。1、自感L第96页，课件共115页，创作于2023年2月同样，载流回路C2的磁场在回路C1上产生的磁链Ψ12与电流I2的比来定义互感M122、互感M两相邻回路，载流回路C1的磁场在回路C2上产生的磁链Ψ21与电流I1的比来定义互感M21第97页，课件共115页，创作于2023年2月互感的单位与自感相同。可以证明：M12=M21=M。互感的大小仅取决于回路的尺寸、形状、介质的磁导率、回路的匝数以及相互位置。互感与回路是否载流无关。第98页，课件共115页，创作于2023年2月证明：设两个回路均只有一匝。当回路C1载有电流I1时，C2上的磁链为

以两线形回路为例（当导线的直径远小于回路的尺寸，且也远小于两个回路之间的相互距离时，两回路都可以用轴线的几何回路代替，即线形回路），证明M12=M21=M。同理，可得第99页，课件共115页，创作于2023年2月因为以上两积分式与计算次序无关，得诺伊曼公式第100页，课件共115页，创作于2023年2月例、

求无限长平行双导线(如图所示)单位长外自感。解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为第101页，课件共115页，创作于2023年2月磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为单位长外自感为第102页，课件共115页，创作于2023年2月§3.10磁场能量

对磁场能量，有两种观点：载流系统具有的磁能；磁能存在于磁场所在的空间，即磁场具有磁能。本节的目的要建立磁场能量表达式。

1、载流系统具有的磁能

载流系统具有的磁能来自在建立电流系统的过程中，外源反抗电路中的感应电动势所作的功。

先以两个分别载流和的电流回路系统所储存的磁场能量为例计算。第103页，课件共115页，创作于2023年2月1）计算两个分别载流I1和I2的电流回路系统所储存的磁能假定回路的形状、相对位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在电流建立的过程中，t时刻两回路的电流分别为i1(t)和i2(t)，t=0时i1=0、i2=0，电流建立后i1=I1、

i2=I2。在这一过程中，电源反抗电路中的感应电动势所作的功转变成磁场能量。首先求仅出回路1中的电流i1从零增加到I1时，电源作的功A1；再计算当回路1中的电流I1不变时，回路2中的电流从零增加到I2时电源作的功A2。在这一过程中，电源对整个回路系统作的总功A=A1+A2。第104页，课件共115页，创作于2023年2月

当回路1中的电流i1在dt时间内有一个增量di1,周围空间的磁场将发生改变，回路1的磁通有增量dΨ11，在回路1中要产生自感电势自感电势的方向总是阻止电流增加。因而，为使回路1中的电流得到增量,外电源必须反抗回路1中的自感电势作功，在dt时间里，电源作功为当回路1的电流从零到I1的过程中，电源作功为第105页，课件共115页，创作于2023年2月

计算当回路1的电流I1保持不变时，使回路2的电流从