多层增透膜的理论解释

多层增透膜的理论解释4.1X/4增透膜入/4的光学增透膜（下面讨论时光学元件用玻璃來代替，初始入射介质用空气來代替），一般为在玻璃上镀一层光学厚度为入/4的薄膜，且薄膜的折射率大于空气的折射率，小于玻璃的折射率由菲涅耳公式知，光线垂直人射时，反射光在空气一薄膜界面和薄膜一玻璃界面都有半波损失设空气、镀膜、玻璃的折射率分别为n0,nl,n2且n2>nl>n0定义R01,T01为空气-薄膜界面的反射率与透射率,R01,T01为薄膜-空气界面的反射率与透射率,R12,T12为薄膜-玻璃界面的反射率与透射率，R21,T21为玻璃-薄膜界面的反射率与透射率如图4-1所示示，为了区分人射光线和反射光线，这里将入射光线画成斜入射，图4-1中反射光线1和2的光程差为X/2,这样反射光便能完全相消由菲涅耳公式知道，光垂直通过界面时，反射率R和透射率T与折射率n的关系为：设人射光的光强为10,则反射光线1的光强Il=I0R0,反射光线2的光强I2=I0I01R12T10o余下的反射光的光强中会出现反射率的平方，因为反射率都比较小，故可不再考虑。入/4的光学增透膜使反射光线1与反射光线2的光程差为§=2nldl=X/2,故相位差为"，由干涉理论知，干涉后的光强为：=厶+厶+』【丿2COS"=人_-^01J%2)因为折射率n0,nl,n2比较接近，例如n0=l,n2=l.5的界面,T=96%,故可近似地取T01和T10为1,若使Ip为0,则有R01=R12,即：由n2>nl>n0得q=JW，当上式成立时，反射率最小，透射率最大。但是涂一层膜也有不足之处，因为常用的X/4光学增透膜MgF2,MgF2的折射率为1.38,1.38*1.38=1.9044,而玻璃的折射率一般在1.5~1.8之间，所以用MgF2增透膜不能使反射光光强最小，再者，一波长为X的光垂直入射到入/4的光学增透膜同波长为入的光一样反射光线1和反射光线2的光程差为5二X/2相位差为△屮=2jiX/2(X+AX)从而干涉后的光强为：=人+厶+2J/厶coszX©,即可选择合适的材料，使11=12,从而上式变为/=2Acos2(^^.-)o如图4-2®®)2®®)2=(勺_厲)2

n2+Z+AZ2所示，I为反射光的光强，△入为线宽，1随厶入的地增加而迅速增加。光学厚度为X/4的光学增透膜的反射光强随波长的变化曲线呈V形，这样X/4的光学增透膜的透射率较大的波段就较小，我们称入/4的光学增透膜的频宽较小，现代的照像机的镜头、摄像机的镜头，以及彩色电视机的荧屏并不要求在某一波长的光有很高的透射率，而希望在较宽的波段范围内透射率较低且一致，即要求增透膜的频宽较大。所以我们就可以镀两层膜，甚至是多层膜。空气箔一层膜玻璃空气箔一层膜玻璃图4-10.4图4-24.2镀两层膜在需镀膜的元件上镀两层膜。这里设空气的折射率为nO,镀的两层膜的折射率为分别为nl和n2,厚度分别为dl和d2,玻璃的折射率为n3,且有n3>n2>nl>n0o定义R01,T01为空气一第一层薄膜界面的反射率与透射率,RIO,T10为第一层薄膜-空气界面的反射率与透射率，R12,T12为第一层薄膜-第二层薄膜界面的反射率与透射率,R21,T21为第二层薄膜-第一层薄膜界面的反射率与透射率,R23,T23为第二层薄膜-玻璃界面的反射率与透射率,R32,T32为玻璃-第二层薄膜界面的反射率与透射率，入射光线垂直人射到介质上取人射光的振动方程为：Eq=Aqcos(曲+&o)o同入/4的光学增透膜的一样，我们只讨论反射光线1、2、3的情况。由n3>n2>nl>n0知，反射光线1、2、3都有半波损，设两层薄膜引起的光程差分别为61和§2,反射光线1、2、3的波动方程分别为:比二二4 +2+7F)e2=2兀=A2COS依”+ + §+7T)二=A3COS(6cX+2+ 6H 爲+疋）则干涉点P处的光强为三束光线的叠加27T 2兀Ep=-A1cos(6X+0o)-A2cos(曲+&o+——^)-cos[曲+&o+——(A+6)]解此方程可得下述结果:(1)令R01二R12二R23,即有也二^1=竺二L=/71+“0fl2+ni“3+n2TOC\o"1-5"\h\z2i ££解得:7?1=77O37133,W2=宙对取R二R01二R12二R23,由于透射光的光强近似为10,从而：Ip=/oR{cOS紳+&o)+COS(m+%+二5J+COS0+%+二(迓+送)]}‘A A9jr 9jr9rr Ajr当_A=—且竺Q+®)=竺时，有Ip二0。X6l=2nldl,62=2n2d2,所以2 3 2 1 ■ 32i A2nldl=X/6,n2d2=X/6,故只需选取q=h03W3s,m2=/?河的材料，分别镀上一层光学厚度为入/6的薄膜，即可以将反射光尽量减小，就可以达到理想的效果。镀这样的两层膜，当以波长为X+AX的光垂直入射时，则干涉处的光强为2■n/(X+AA),又因为61=82=X/3,所以有：Ip=/oR{COS®+q)+COS0+(9o+ "d)+COS0+6>o+ "・(q+戈)]}—Ax+z AX+zA)R{[l+2cos(w)]cos(曲+&o+•寸)}△2+23 Az+Z3・J」a2兀iTOC\o"1-5"\h\zsni'(—-3 )-/D 2AX+2f J5、SU1'(—. )2AX+27其结果如图4-3所示，图象呈W形，说明膜层在一定的线宽上普遍获得较好的增透效果。图4-3(2)保持n3>n2>nl>n0,取§1二2nldl二入/2,52=2n2d2=X,同上述一样,透射光的光强都近似为10,则

2=/o/?{cOS紳+&o）+COS©+&o+厶迓）+COS［〃+%+厶（A+§）］}'Z A改为：/“=i°cg@t+ejQ瓦-収y［^y当応一応一応二0时,即有勺二他=空二乞+色二上，则有Ip二当応一応一応二0时,7?1+/70n2+771 〃3+n2上式得:iyK+［和3+30三+/?0771772-7?17727?3-3/?0；12773-Hjqj_nofl2_q

（厲+"0）（心+弘）（〃3+宀）上式得:我们镀膜时，入射介质和需镀膜得元件一般为已知，即有nO和n3己知，这样上式就为关于nl和n2的方程，选取不同的nl便可得到边。不过，由于条件n3>n2>nl>n0的限制，当nl过大或n2过小时，会出现方程无解的的情况。这样的两层膜，当以波长为X4-AX的光垂直入射时，则干涉处的光强如图所示呈W形，说明此种镀膜得方法可使膜层在一定的线宽上普遍有较好的增透效果。图4一44.3镀多层膜在需要镀膜得元件上镀上三层膜。取n2>nl>n0和n2>n3>n4,其中nO为空气的折射率，n4为玻璃的折射率。由入/4的光学增透膜知：当n严臥兀且nidi二入/4时，反射光线1和2能完全相消。遇=伍兀且n3d3二入/4时，光线3和4也能完全相消。不同的是，反射光线1、2有半波损失，而反射光线3、4没有半波损失。这样，在略去其余的反射光线和透射率近似为1的情况下，反射光线能完全相消。当然，由于膜层的增多，透射率的影响会增加，这样，透射层次越多，光强会越小，且反射光线2和反射光线3的相位也相反。因为反射光线2有半波损失，反射光线3没有半波损失，贝＞Jn2d2=X/2时，便可以满足上述要求。这样的三层膜，当以波长为X+A入的光垂直人射时，则反射光干涉处的光强为：/=4/工0巩匕），其结果图象也呈W形，只是在同一频宽上，增透效果会Z+AA2更好。考虑到膜层的吸收和透射次数的增加时，各层的透射率的积不再接近于1,对多层膜系的研究主要是它的反射和透射特性。光学仪器在镀膜时，由高折射率层和低折射率层的膜交替叠成膜系，层间的交界面可高达几十个到儿百个。因为釆用高低折射率的膜交替的层数不同,一种情况为膜系对入射光产生强烈反射，反射特性显著;而另一种情况为入射光儿乎全部透过，透特性显著。在一个多层薄膜系中，光束将在每一个界面上多次反射，涉及到大量光束的干涉现象，若薄膜和基底的光吸收无法忽略，则计算将变得更加复杂，所以直接釆用多光束干涉来计算是相当复杂繁琐的，而运用矩阵的方法來解决这一问题将有许多优越性。特性矩阵就是把界面两边的场利用边界条件相互联系起來的矩阵，用一个二阶矩阵代表一个单薄膜。在分析和计算光学薄膜系统的特性时，通常釆用传输矩阵方法，该方法已成为光学薄膜计算与设计的常用和有效方法，并广泛地应用于光子晶体和微带天线等领域的研究。首先，单层膜是膜系的基本单元，我们求解单膜特性矩阵。设阴为基底的折射率，nO是空气的折射率，nl是介质层的折射率，则膜层的传输矩阵为：［耳］=（M）［艮］式中瓦和瓦表示在界面1的nO—侧的场矢量，瓦、瓦表示在H\H2界面II的ng—*侧的场矢量。下面导出矩阵M的表达式。在交界面1上有入射波&•］、反射波瓦;，折射光波瓦，由介质nl入射到界面I上的光波忑。假设界面上无自由电荷及传导电流，根据边界条件，则有E的切向分量连续、万的切向分量连续。考虑瓦垂直入射面（s波），得：Ei= +Erl=Ea+E'r2=Hpcos&门一Hncos0j=Hacos^/2-Hr2cos/根据H严亞E产隹于是，上式可以变为：

H严仔(d- cos色=冷©- cos為同样，在交界面II上也可以写出E2=耳2+Er2=Et2H2=Hi2cos02-HqcosQv=Hi2cos/一Er2)nQ一Er2)nQCOS02=El2nKcos%为了求特征矩阵，我们可把上述公式，稍加变换，求出瓦、瓦；、瓦、瓦之间的关系。考察界面1上的透射场瓦(x,y,z=0)与界面I【上的入射场Ei2(x,y,z=hl)有:E“=◎严皿L=o=気。厂53|已=厶严式中严出丛cos/,表示波失为匸的平面波在薄膜中，垂直跨人0过两个界面的相位差(即在Z方向上的相位差)。同样，也可以写出石和瓦之间的关系：E；严E’d,因此有：E严Et2+EE严Et2+Er2=E冶+殆严以及将上两式代入矩阵方程求得:E严E’cos.H兄兰鱼)V1,将其写为矩阵的形H]=Ej7』sinq+H)cos©式为:[：A[g話叱]专]则其中T曲严]。1〃7iSinS]cos§2 i?]lsui^cos§现在，我们研究多层膜系的光学特性，研究多层光学薄膜的方法很多，如等效法，矩阵法等，现在我们就用多层膜矩阵法來求解。多层膜只是单层膜的叠加，逐层应用的单层膜的特征矩阵可求得多层膜的特性矩阵，其特性矩阵为各单层膜的特性矩阵乘积。TOC\o"1-5"\h\z对于第二层膜n2在界面III以下介质中场矢量为瓦，瓦有= 将H2"其代入[?]=%)[?],得=ni ri rz1 Hr Z73以此类推可得对N+1个界面的多层膜一般式耳 E* Eg[= ^+1]=(A/)[JV+1m Uv+i “N+icos5, —sniJ.其中M=n^；=nt 山1j=lj=1〃力sin5, cos巧是多层膜的特征矩阵，它等于各个单层膜特征矩阵之积，此处矩阵不服从交换率，故相乘次序不可交换。由该矩阵可推出多层膜的透射率和反射率。膜系反射率的计算多层膜系的反射系数：『=且,透射系数为：(=良,AjR首先，为了表述方便将M改写为M=\ 1,并将单层膜公式推广到N层的第N+1iCDQv+i=Efw+i个界面'可写为一般氏h-冋E“品-〃E其中n/V+l一、—COSGr+i一%=J—co