勾股定理典型题总结(较难)

勾股定理典型题总结(较难)

勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它可以用来解决直角三角形中的各种问题。除此之外，勾股定理还有一些有趣的应用。首先，我们可以通过几何图形来证明勾股定理。例如，我们可以以直角三角形的三条边为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，然后探究它们之间的面积关系。另外，我们还可以通过构造一些有趣的图形，来拓展勾股定理的应用。例如，我们可以考虑一个有趣的问题：有一个面积为1的正方形，经过多次“生长”后形成了一个“枝繁叶茂”的图形。在“生长”了2017次后，所有正方形的面积之和是多少？类似的问题还有很多，可以通过构造图形来解决。此外，勾股定理还可以应用于一些变式问题。例如，我们可以在直线上依次摆放七个正方形，然后根据已知条件求出某些正方形的面积。又或者，我们可以考虑一个四边形问题，通过向外作正方形来求解其中一个正方形的面积。最后，勾股定理还可以应用于一些难题中。例如，我们可以考虑一个数学文化节的标志问题，通过构造几何图形来求解其中的面积。总之，勾股定理是一个非常有用的定理，它可以应用于各种数学问题中，包括几何图形的面积、直线上的问题、四边形问题以及难题等。我国汉代数学家赵爽创造了一幅名为“赵爽弦图”的图形，用于证明勾股定理。图中的图6是由八个全等的直角三角形拼接而成。记图中正方形ABCD、正方形EFGH和正方形MNKT的面积分别为S1、S2和S3。若S1+S2+S3=10，则S2=。勾股定理是数学中的一个重要定理。在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。根据这个定理，可以推导出勾股定理的逆定理。在解题时，需要注意分类讨论，以避免易错点。例题1：在一个直角三角形ABC中，已知两条直角边的长度分别为3和4，则第三边的长度为多少？例题2：如图所示，一个长方形被折叠，使得一条边AD与另一条边BC相交于点F。已知AB=8cm，BC=10cm。求EC的长度和三角形FEC的面积。例题3：在一个三角形ABC中，已知AB=15，BC=14，AC=13。求三角形ABC的面积。记忆公式：正三角形的面积等于(a^2*√3)/4，其中a是正三角形的边长。例题4：如图所示，在一个直角三角形ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点N。已知AC=4，MB=2MC，求AB的长度。例题5：一个四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2。求四边形ABCD的面积。构造直角三角形是解题时常用的方法之一。例题6：如图所示，一个四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=6，BC=3-√3，CD=6。求AD的长度。例题7：如图所示，一副直角三角板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，AC=5。求CD的长度。变式3：在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=AC，点D在AB上，且∠ACD=15°，AD=1，求BC的长度。解：因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=45°。又因为∠ACD=15°，所以∠BAD=30°。因此△ABD是30°-60°-90°三角形，所以BD=2AD=2。又因为AB=AC，所以∠ABC=45°，∠BCA=45°。所以△BCD是45°-45°-90°三角形，所以BC=BD=2。所以BC=2。C变式1：在方格纸中，小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上。小明观察探究后发现：①△ABC是等腰三角形；②△ABC的周长是210+2；③△ABC的面积是5；④点C到AB边的距离是10。你认为小明观察的正确结论序号有？变式2：在正方形网格中，每个小正方形的边长为1。则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．3变式3：在正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对变式4：在小方格都是边长为1的正方形中，则四边形ABCD的面积是()A．25B.12.5C.9D.8.5三．勾股定理实际应用最短路径问题例题1：在长方体中，长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5。已知蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A.521B.25C.105+5D.35变式1：在一个无盖的长廊体盒子紧贴地面中，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G。已知AB=7、BC=5、CG=5，求这只蚂蚁爬行的最短距离。变式2：在长方体中，底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm。如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，所用细线最短需要多少cm。变式3：在透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中，高为12cm，底面周长为10cm。在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒。此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处。则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cmB．2cmC．10cmD．2cm影响判定问题例题2：某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处。在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上。已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁。若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？请说明理由。ABDM变式1：根据题意，台风中心从B点到D点的距离为260km，速度为15km/h，因此从B点到D点需要时间为260/15=17.33小时。而在距离台风中心30km的圆形区域内会受到台风的破坏，因此在接到台风警报后，正在D点休闲的游人应该尽快撤离，以免受到危险。变式2：根据题意，拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，因此学校是否受到噪声影响取决于拖拉机是否经过点P。根据正弦定理，可以求出∠PNQ的角度为150°，因此∠APN=30°。又因为AP=160m，因此PN=AP/sin∠APN=320m。由此可知，拖拉机在公路上行驶100m所需要的时间为100/18=5.56秒，因此学校受到噪声影响的时间应该小于5.56秒。变式3：根据题意，长方形ABCD的宽为2m，高为2.5m，因此卡车通过公司大门的条件是卡车的高度不大于2.5m，宽度不大于2m。由于卡车的宽度为1.6m，因此可以通过公司大门。1.在等腰直角三角形ABC中，有AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF。(1)证明：连接AE和AF，由AE=EF、AF=CF、∠EAF=∠ACB=45°可知△AEF≌△ACF，因此BE=EF，同理可证CF=EF，所以BE+CF=EF，由勾股定理可知AB=BC=AC，所以正方形ABCD的面积为S=AB²/2=s²/2，其中s为三角形ABC的斜边长。(2)若BE=12，CF=5，由勾股定理可知AB=AC=13，BC=13√2，DE=DF=6.5，EF=6.5√2-12-5=2.5√2，所以△DEF的面积为S=DE·EF/2=32.5-5√2。答案：32.5-5√2。2.给定一个正方形ABCD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的点，且AE=BF=CG=DH=x，连接EG和FH交于点O。(1)证明：由正方形的对称性可知，OE=OG，OF=OH，所以△OEF≌△OGH，因此OE=GH，OF=EG，所以EF=GH=2x，同理可证FG=HE=2x，所以正方形ABCD的面积为S=(2x)²=4x²。(2)若x=3，则正方形ABCD的面积为36，EF=FG=GH=HE=6，所以△OEF和△OGH的面积分别为S1=OE·EF/2=18和S2=OF·FG/2=18，所以△EOG的面积为S3=S1+S2=36，所以点O在正方形的重心上，即O为对角线的交点。答案：36。3.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,0)，点B(3,4)，点C(6,0)，点D为线段BC上一点，且ABCD为平行四边形。(1)证明：由平行四边形的性质可知，AD平行于BC且AD=BC，所以ADCB是一个平行四边形，由向量的加法可知AD=AB+BD=3i+4j+BD，BC=CD=3i-BD，所以3i+4j+BD=3i-BD，即BD=1.5，所以AD=BC=3+1.5=4.5，所以平行四边形ABCD的面积为S=AD·AB=18。(2)若线段BD的中点为E，则DE=1.5，由勾股定理可知BE=2.5√2，所以三角形ABE的面积为S1=BE·AB/2=15√2/2，三角形AED的面积为S2=DE·AE/2=9/2，所以四边形ABED的面积为S3=S1+S2=15√2/2+9/2。答案：18，15√2/2+9/2。4.在平面直角坐标系中，点A(0,0)，点B(4,0)，点C(4,3)，点D为线段BC上一点，且ABCD为梯形。(1)证明：由梯形的性质可知，AD平行于BC且AD+BC=AB，所以ADCB是一个梯形，由向量的加法可知AD=AC-CD=3i+3j，BC=CD=3j，所以AD+BC=3i+6j=AB，即AB²=45，所以AB=3√5，所以梯形ABCD的面积为S=(AB+CD)·h/2=(3√5+3)·3/2=4.5√5+4.5。(2)若线段BD的中点为E，则DE=3/2，由勾股定理可知BE=3√5/2，所以三角形ABE的面积为S1=BE·AB/2=9/2，三角形AED的面积为S2=DE·AE/2=9/4，所以四边形ABED的面积为S3=S1+S2=9/2+9/4=27/4。答案：4.5√5+4.5，27/4。5.如图，平面内有一个正五边形ABCDE，点F、G、H分别为AB、BC、CD边上的点，且AF=BG=CH=x，连接FH和AG交于点O。(1)证明：由正五边形的对称性可知，OF=OG=OH=OE，所以△OFG≌△OEH，因此OG=EH，OF=GE，所以GF=HE=2x，同理可