广义参变量积分

广义参变量积分1第1页，课件共34页，创作于2023年2月讨论的缘由在参变量积分的讨论中，有些是不能用控制收敛定理处理的.这就需要发展另外的积分号下取极限理论2第2页，课件共34页，创作于2023年2月广义积分极限定理广义积分定义广义带参数积分一致收敛极限定理广义带参数积分的微积分性质一致收敛准则3第3页，课件共34页，创作于2023年2月广义积分定义以E=(0,)为例广义积分（两种意义下）Lebesgue意义下：在(0,)没有积分的情形Riemann意义下：在(0,)上的Riemann积分在常义下没有意义特例：对于任何0<<A<+,在(,A)上可积，称在(0,)上可积如果如下极限存在且有限,并且定义4第4页，课件共34页，创作于2023年2月广义积分定义(续)另一种分类：第一类：积分区域无界，被积函数在其任何有界可测子集上可积第二类：积分区域有界例子：第一类：E=[1,)；第二类：E=(0,1]为了记号上的简洁,以一维问题为例.5第5页，课件共34页，创作于2023年2月广义带参数积分设:ER,对于x,(x,y)关于y在E上(广义)可积,称F:R为带参数积分：在下面研究带参数积分的微积分性质的过程中，为叙述方便，取E=[0,),广义积分为第一类广义积分。6第6页，课件共34页，创作于2023年2月一致收敛一致收敛定义一致收敛的充要条件(等价叙述)7第7页，课件共34页，创作于2023年2月一致收敛定义如果就说积分在上一致收敛8第8页，课件共34页，创作于2023年2月一致收敛的充要条件(A)古典说法：,A>0,当aA时(B),A>0,当aA时(C)9第9页，课件共34页，创作于2023年2月极限定理设R^d非空,a是的一个极限点.如果在上一致收敛,且存在(0,)上的函数h,满足(*)那么，收敛,且(**)10第10页，课件共34页，创作于2023年2月极限定理证明(1)由条件(*),h在(0,)上可测，并且b>0,h在(0,b)上可积;(2)h在(0,)上可积.只要证明a>0,当ba时,c>0,由在上一致收敛,就能够找到满足上述条件的a;(3)(**)成立.11第11页，课件共34页，创作于2023年2月极限定理的情形设关于x在(0,)上一致收敛,

且存在(0,)上的函数h,满足(*)那么，收敛,且(**)12第12页，课件共34页，创作于2023年2月广义带参数积分的微积分性质广义带参数积分的连续性广义带参数积分的积分换序广义带参数积分的可微性仍以为区间的情形来叙述相关的结果13第13页，课件共34页，创作于2023年2月广义带参数积分的连续性设C([0,)).如果在上一致收敛则参变量积分在上连续.证明这是极限定理的直接推论14第14页，课件共34页，创作于2023年2月广义带参数积分的积分换序设=[a,b],C([0,)).如果在上一致收敛.则证明:记,由在上一致收敛,A>0,使得当cA时15第15页，课件共34页，创作于2023年2月积分换序证明(续)因此由普通参变量积分的结果所以令c,就得到所要的结果16第16页，课件共34页，创作于2023年2月广义带参数积分的可微性积分号下求导:设,xC([0,)),在上处处收敛,在上一致收敛,则因此17第17页，课件共34页，创作于2023年2月积分号下求导的证明任取a,x,由积分换序定理注意在上是t的连续函数，由微积分基本定理，结果得证18第18页，课件共34页，创作于2023年2月广义参变量积分例1计算解：定义由控制收敛定理可知(y)C([0,))C1(0,)并且19第19页，课件共34页，创作于2023年2月广义参变量积分例1(续)通过变量替换得到所以,注意因此，也就是，20第20页，课件共34页，创作于2023年2月广义参变量积分例2计算当x>0时，由广义积分换序定理21第21页，课件共34页，创作于2023年2月一致收敛准则Weierstrass判别法(优函数判别法,控制收敛判别法)Dirichlet判别法Abel判别法Dini判别法22第22页，课件共34页，创作于2023年2月Weierstrass判别法如果存在hL(0,)满足则在上一致收敛.证明：这由hL(0,)和一致收敛的定义直接就可以得到.23第23页，课件共34页，创作于2023年2月广义参变量积分例3证明积分>0,在[,)上一致收敛，但在(0,)上不一致收敛.证明：任取>0,则对于t[,),由控制收敛定理，在[,)上一致收敛.注意:由极限定理，如果在(0,)上一致收敛，则h(x)=1,在(0,)上可积(这是不对的).24第24页，课件共34页，创作于2023年2月Dirichlet判别法设,gR,满足(1)对于x,(x,y)是上的递减函数;(2)(3)则在上一致收敛25第25页，课件共34页，创作于2023年2月Dirichlet判别法证明使用一致收敛的充要条件(A)来证明.任取,由条件(2),A>0,当y>A时，则当a>A,b>0时，x,由第二积分中值定理因此26第26页，课件共34页，创作于2023年2月广义参变量积分例4计算解：定义1.先证明(y)在[0,)上一致收敛.使用Dirichlet判别法,取u(x,y)=exp(-xy)/x,v(x,y)=sinx.因此,(y)在[0,)上连续.这就要证的一致收敛性27第27页，课件共34页，创作于2023年2月广义参变量积分例4(续)2.当y>0时,(y)在(0,)上可导,并且因此所以注意(y)0(y),得到由此得到28第28页，课件共34页，创作于2023年2月广义参变量积分例5设a>0.证明：积分在(0,a)上不一致收敛，而在(a,)上一致收敛.证明：在(a,)上,利用Dirichlet判别法,取(x,y)=1/y,g(x,y)=sin(xy),在(0,a)上,对于任何A>0,取x(0,a):b=/(6x)>A,c=/(2x),则29第29页，课件共34页，创作于2023年2月Abel判别法设,gR,满足(1)对于x,(x,y)是上的单调函数;(2)(3)在上一致收敛则在上一致收敛30第30页，课件共34页，创作于2023年2月Abel判别法的证明仍使用一致收敛的充要条件(A)来证明.任取,由条件(2),A>0,当a>A,b>0时，则当a>A,b>0时，x,由第二积分中值定理因此31第31页，课件共34页，创作于2023年2月广义参变量积分例6证明积分在R上一致收敛.证明：利用Abel判别法,取(x,y)=arctan(x2+y2),g(x,y)=sin(y)/y32第32页，课件共34页，创作于2023年2月Dini判别法设为有界闭集,C()非负.如果则在上一致收敛.证明:对于c>0,定义则>0,对于x,c=c(x),Fc(x)</2.33第33页，课件共34页，创作于2023年2月Dini判别法证明(续)由Fc=Fc(x)连续,存在=(x)>0,zB(x,),|Fc(z)-Fc(x)|</2,所以,zB(x,),Fc(z)=Fc