弹性力学第四章应力应变问题建立

弹性力学第四章应力应变问题建立第1页，课件共62页，创作于2023年2月目录§4.1

广义胡克定律§4.2

弹性体的应变能函数§4.3

弹性力学问题的提法§4.4

弹性力学解的唯一性定理逆解法和半逆解法§4.5

局部影响原理解的叠加原理第2页，课件共62页，创作于2023年2月静力学静力平衡方程描述力（应力）关系运动学几何方程变形协调方程描述变形（应变，位移）关系应力与应变间？有着完全确定的关系是材料的固有特性称作物理方程或本构关系

——胡克定律第3页，课件共62页，创作于2023年2月应力应变关系属于材料性能称为物理方程或者本构方程单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定：这一定律是虎克在大量的材料拉伸、剪切试验研究基础上于1678年正式发表的，它虽然简单却非常重要，这一定律奠定了弹性理论的物理基础。

复杂应力状态难以通过实验确定§4.1

广义胡克定律第4页，课件共62页，创作于2023年2月

与此相关的是材料受拉时的侧向收缩现象。法国科学家泊松（Poisson）指出：材料在一个方向的拉伸必伴随着与之垂直方向的收缩，收缩比：弹性常数中，E──拉压弹性模量，简称弹性模量、杨氏（Yong）模量。G──剪切弹性模量，简称刚度模量。μ──侧向收缩系数，简称泊松比。§4.1胡克定理2对每一种材料，它们都是定植。这为试验所证明。对于均匀、各向同性材料，可以证明只有2个独立弹性常数。三个常数E，G，μ间存在关系：第5页，课件共62页，创作于2023年2月上式表明，物体中一点的3个正应力与3个正应变之间相互牵连，而剪应力与剪应变之间互不相关。广义胡克定律——逆弹性关系关系§4.1胡克定理3第6页，课件共62页，创作于2023年2月

各向同性材料广义胡克（Hooke）定律l称为拉梅（Lame）弹性常数§4.1胡克定理4将前三式相加，则有体积应变体积应力又称为应变张量剪应变

第7页，课件共62页，创作于2023年2月工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为两个独立的弹性常数实验测定：单向拉伸实验可以测出弹性模量E薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G§4.1弹性常数5第8页，课件共62页，创作于2023年2月各向同性材料主应力状态——对应的切应力分量均为零。 所有的切应变分量也为零。所以，各向同性弹性体

应力主轴同时又是应变主轴 应力主方向和应变主方向是重合的§4.1弹性常数6以应力主轴为坐标轴，则对应的切应力分量均应为零。第9页，课件共62页，创作于2023年2月物理意义——物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。数学反映——应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。金属材料——各向同性弹性体，是最常见的工程材料。弹性力学主要讨论各向同性材料。各向同性弹性体§4.1胡克定理7第10页，课件共62页，创作于2023年2月§4.2

弹性体的应变能函数.应变能弹性体发生变形时，外力作的功将转化为弹性体的内能。对于完全弹性体，内能就是物体的应变能设U0为弹性体单位体积的应变能，经推导，得到同时用应力和应变表达的应变能（推导略）第11页，课件共62页，创作于2023年2月仅用应力表示的应变能函数将应变能对应变分量求导，能够得到应力.

格林公式§4.2应变能2第12页，课件共62页，创作于2023年2月仅用应变分量表达的应变能（推导略）可见U0恒大于零，即单位体积的应变能总是正的。

§4.2应变能3第13页，课件共62页，创作于2023年2月总结弹性力学基本理论；讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。§4.3弹性力学基本方程

弹性力学问题的解法第14页，课件共62页，创作于2023年2月弹性力学基本方程1.平衡微分方程2.几何方程

§4.3基本方程2第15页，课件共62页，创作于2023年2月3.变形协调方程位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。§4.3基本方程3第16页，课件共62页，创作于2023年2月本构方程——广义胡克定律 应力表示

应变表示

§4.3基本方程4第17页，课件共62页，创作于2023年2月边界条件若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知则面力边界条件为：若物体表面的位移已知，则位移边界条件为

若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件§4.3基本方程5第18页，课件共62页，创作于2023年2月

总结：§4.3基本方程6已建立的方程反映力学关系的——平衡微分方程（3个）反映变形关系的——几何方程（6个）反映物理性质的——本构方程（6个）这些方程称作基本方程或泛定方程（15个）第19页，课件共62页，创作于2023年2月变形协调方程由几何方程求解位移时，需要确定变形是否协调§4.3基本方程7第20页，课件共62页，创作于2023年2月弹性力学问题的提法已知什么几何性质：形状与尺寸物理性质：E，ν，G

等受载荷情况：体力Fb面力Fs物体的约束情况：边界位移u,v,w求什么应力分量σij，6个应变分量εij，6个位移分量u,v,w，3个一共15个变量怎样求建立变量间的关系（一般是微分方程）解方程（求积分）由已知条件确定待定常数§4.3基本提法1第21页，课件共62页，创作于2023年2月弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。§4.3基本提法2第22页，课件共62页，创作于2023年2月在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，边界条件为面力边界条件。第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。§4.3基本提法3第23页，课件共62页，创作于2023年2月第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。§4.3基本提法4第24页，课件共62页，创作于2023年2月边值问题基本方程与边界条件构成了边值问题按边界条件的不同，边值问题分为三类体力面力位移对应边界条件第一类边值问题已知已知面力边界条件第二类边值问题已知已知位移边界条件第三类边值问题已知部分表面已知部分表面已知混合边界条件第25页，课件共62页，创作于2023年2月三种直接解法：理论上：由15个方程可同时求解15个变量实际上：比较困难，也没有必要通常做法：选部分作为基本未知量，列出只含有这些未知量的方程，先求这些未知量，然后求其它位移解法以位移为基本未知量：位移→几何方程→应变→本构方程→应力应力解法以应力为基本未知量：应力→本构方程→应变→几何方程+协调方程→位移

混合解法以部分位移和部分应力为基本未知量如何列出只含基本未知量的方程？

“消元”法注：不同于直接解法的是逆解法、半逆解法等第26页，课件共62页，创作于2023年2月基本思路导出仅含有3个位移分量u,v,w的方程，即从基本方程中消去应力和应变分量，留3个方程即可求解“消元”方法将应力用应变表示—胡克定律将应变用位移表示—几何方程故可将应力用位移表示将用位移表示的应力代入平衡方程——得到只含有位移分量的平衡方程位移解法第27页，课件共62页，创作于2023年2月将几何方程代入应变表示的本构方程得到由位移分量表达的应力分量其中§4.3位移解法2第28页，课件共62页，创作于2023年2月将位移表示的应力分量

代入静力平衡方程得到以位移表示的平衡方程，称拉梅（Lamé）方程：

▽2为拉普拉斯运算符号第29页，课件共62页，创作于2023年2月说明位移解法就是解用位移表示的平衡方程

——拉梅方程该方程是静力平衡方程、几何方程、物理方程的综合该方程是关于3个位移变量的微分方程

u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)如果已知的边界条件为位移边界条件问题变为求在内部满足拉梅方程在边界处满足边界条件的位移函数如果已知的边界条件为应力边界条件因前面只给出了用应力表示的边界条件所以下面设法将其用位移表示§4.3位移解法4第30页，课件共62页，创作于2023年2月得位移函数表达的面力边界条件这一边界条件几乎不可能实现

§4.3位移解法5第31页，课件共62页，创作于2023年2月位移解法的基本未知量为3个位移函数基本方程为3个拉梅方程对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。§4.3位移解法6第32页，课件共62页，创作于2023年2月总之，位移解法以位移为基本未知函数，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。位移解法可以求解三类弹性力学边值问题。§4.3位移解法7第33页，课件共62页，创作于2023年2月应力函数作为基本未知量求解的方法称为应力解法。应力解法综述——用应力法求解，必须满足平衡微分方程、变形协调方程。应力解法的基本方程——应力表示的变形协调方程应力解法§4.3应力解法1第34页，课件共62页，创作于2023年2月代入变形协调方程第一、四式§4.3应力解法2可以得到：a)b)c)第35页，课件共62页，创作于2023年2月轮换x,y,z还可以得到其余四个类似方程，问题到此可以结束了，但可以利用平衡方程再将它们简化。§4.3应力解法3将平衡方程的一、二式对x,y求一阶偏导，然后相加，再利用平衡方程的第三式，就得到：d)将式d）代入式b)的右边，并注意e)第36页，课件共62页，创作于2023年2月轮换x,y,z还可以得到其余二个类似方程，将式e）与轮换得到的其他二式相加，得到一个重要的公式§4.3应力解法4f)将式f）代入式e)，则有第37页，课件共62页，创作于2023年2月这种形式的综合方程（相容方程），称为应力协调方程或拜尔脱拉密-密切尔（Beltrami-Michell）方程。§4.3应力解法5第38页，课件共62页，创作于2023年2月对于体力为零或常量的情况，上述方程简化为

在确定应力分量后，则由物理方程确定应变分量，再由几何方程确定位移分量。由于位移边界条件一般无法改用应力分量及其导数来表示，故位移边值问题和混合问题一般都不能按应力法求得精确解。§4.3应力解法3第39页，课件共62页，创作于2023年2月如果应力分量是坐标x,y,z的线性函数，则上式中的各二阶偏导数项为零，即应力分量恒满足相容方程，称此种问题为弹性力学的最简单问题。即在体力不计或体积力为常量时，任何满足平衡微分方程和应力边界条件的线性函数形式的应力分量表达式，就是问题的精确解答。当然，对于多连通物体，应力解答还应满足位移的单值条件。§4.3应力解法4第40页，课件共62页，创作于2023年2月应力解法的基本未知量为6个应力分量；基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程。应力解法适用于面力边界条件。总而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。

§4.3应力解法5第41页，课件共62页，创作于2023年2月体力为常量时一些物理量的特性弹性力学的基本未知量位移、应力和应变等在体力为常量时具有一些特性。掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力学问题。物理量特性§4.3体力为长量时1第42页，课件共62页，创作于2023年2月体力为常量，体积应力和体积应变均满足拉普拉斯（Laplace)方程。体积应力函数和体积应变函数为调和函数。位移分量，应变分量和应力分量均满足双调和方程，位移分量，应变分量和应力分量为双调和函数。

§4.3体力为长量时2第43页，课件共62页，创作于2023年2月

解的唯一性原理——弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；

或者一部分面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的；对于后两种情况，位移也是唯一的。

§4.4弹性力学解的唯一性定理

逆解法和半逆解法第44页，课件共62页，创作于2023年2月§4.4唯一性2

解的唯一性原理的证明：设在给定的体力和边界条件下，有两组不同的应力、应变和位移分量的解；

它们都应满足前述边值问题的基本方程和边界条件。将两组应力分量的解分别代入平衡微分方程，并对应相减，有a)第45页，课件共62页，创作于2023年2月§4.4唯一性3将两组应力分量的解分别代入应力协调方程，并相减，有b)第46页，课件共62页，创作于2023年2月§4.4唯一性4将两组应力分量的解分别代入静力边界条件，并相减，有将两组应力分量的解分别代入位移边界条件，并相减，有c)d)第47页，课件共62页，创作于2023年2月§4.4唯一性5由初始无应力的自然状态假设可知，此时弹性体内的应力和应变均应为零，即两组解的差值应为零。可见，原设的两组解完全相同。于是，证明了解是唯一的。必须指出，解的唯一性定理只有满足小变形条件，适用迭加原理和自然状态假设的前提下，才是正确的。由上述方程组a)、b)、c)、d)可知，这两组解的差值，就相当于弹性体的体力、面力和位移均为零的解。

第48页，课件共62页，创作于2023年2月逆解法——根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。§4.4唯一性6第49页，课件共62页，创作于2023年2月半逆解法——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。如所作的假设不满足基本方程或不符合所考虑的问题，则需重新设定或修正，直到满足为止。半逆解法系由Saint-Venant提出，故又称为Saint-Venant解法或凑合解法。§4.4唯一性7第50页，课件共62页，创作于2023年2月逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有“试算”的性质。偏微分方程边值问题求解困难难以确定弹性力学问题的解析解显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。§4.4唯一性8第51页，课件共62页，创作于2023年2月举例：设：有一半空间体，单位体积重p=ρg，在水平边界上受均布压力q作用，求：应力分布及位移分量.解：由已知条件知，体力分量Fbx=0、Fby=0、Fbz=ρg，由于几何形状和载荷对称于z轴，故可假设u=0,v=0,w=w(z)

采用位移法，由拉梅方程并注意以上情况得

对拉梅方程进行积分，得式中的常数A和B要由边界条件确定xzoqh例一半逆解法-位移解法1第52页，课件共62页，创作于2023年2月在表面（z=0），有l=m=0，n=-1。面力Fsx=Fsy=0,Fsz=q代入由位移表示的边界条件，得代入积分结果，得设在距离表面h处位移等于0，即(w)z=h=0,则有代入后，得位移分布函数的解xzoqh例一半逆解法-位移解法2第53页，课件共62页，创作于2023年2月分析最大位移发生在边界上，即z=0处将位移解代入由位移表示的应力公式，得例一半逆解法-位移解法3第54页，课件共62页，创作于2023年2月由解的唯一性定理可知，如有两组静力等效的力系（主矢向量、主矩均相等）分别作用于同一弹性体的同一部分，则由于它们的分布情况不同而有不同的边界值，从而使弹性体内产生的应力状态也不同。事实上，对于给定的问题，我们往往只知道其边界力的总值，一般很难知道其准确的分布情况。因而，在解弹性力学的基本方程时，如何正确选定边界条件，以获得问题的真实解，是一个极为重要的课题。首先对此作出解答的是Saint-Venant所提出的局部性原理或