工程流体力学

工程流体力学第1页，课件共59页，创作于2023年2月从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取坐标轴。由于液体处于平衡状态，则有，即各向分力投影之和亦为零，则：第2页，课件共59页，创作于2023年2月

x方向受力分析:

表面力：质量力：将表面力和质量力代入前面方程，得当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：px=pn

第3页，课件共59页，创作于2023年2月类似地有：px=py=pz=pn

而n是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与作用面的方位无关。第4页，课件共59页，创作于2023年2月2.2流体平衡微分方程

2.2.1流体平衡微分方程

在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：y向受力：表面力：质量力：第5页，课件共59页，创作于2023年2月根据平衡条件，在y方向有，即：得同理，得流体平衡微分方程（欧拉平衡方程）：第6页，课件共59页，创作于2023年2月物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率（）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。上式是瑞士数学家和力学家欧拉在1755年导出的，称为欧拉平衡微分方程。第7页，课件共59页，创作于2023年2月2.2.2平衡微分方程的全微分式

将欧拉平衡微分方程的各式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得因为p=p(x,y,z)压强全微分

第8页，课件共59页，创作于2023年2月2.2.3等压面等压面（equipressuresurface）：流体中压强相等的各点所组成的面。常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的界面。等压面的特性：等压面与质量力正交。只有重力作用下的等压面应满足的条件：（1）静止；（2）连通；（3）连通的介质为同一均质流体；（4）质量力仅有重力；（5）同一水平面。第9页，课件共59页，创作于2023年2月第10页，课件共59页，创作于2023年2月2.3重力场中流体静压强的分布规律

2.3.1液体静力学基本方程

重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g代入流体平衡微分方程的全微分式第11页，课件共59页，创作于2023年2月结论：

1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静压强随深度按线性规律增加。

2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。

在自由液面上有：z=H时,p=p0

代入上式有:

液体静力学基本方程：第12页，课件共59页，创作于2023年2月3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。

4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。练习：如图所示的密闭容器中，液面压强p0＝9.8kPa，A点压强为49kPa，则B点压强为多少？在液面下的深度为多少？第13页，课件共59页，创作于2023年2月5）帕斯卡原理（压强的传递性）在密闭容器内，施加于静止液体上的压力将以等值同时传到各点。在水力系统中的一个活塞上施加一定的压强，必将在另一个活塞上产生相同的压强增量。如果第二个活塞的面积是第一个活塞的面积的10倍，那么作用于第二个活塞上的力将增大为第一个活塞的10倍，而两个活塞上的压强仍然相等。水压机就是帕斯卡原理的实例。它具有多种用途，如液压制动等。帕斯卡（Pascal，Blaise1623—1662），是法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。在物理学方面作出的突出贡献是，于1653年首次提出了著名的帕斯卡定律，为此写成了《液体平衡的论述》的著名论文，详细论述了液体压强的传递问题。应用这个定律制造的各式各样的液压机械，为人类创造了无数的奇迹，他建立的直觉主义原则对于后来一些哲学家，如卢梭和柏格森等都有影响。

第14页，课件共59页，创作于2023年2月由静力学基本方程，图中1、2两点的静压强与自由液面压强p0的关系为：p1=p0+ρg（Z0-Z1）p2=p0+ρg（Z0-Z2）推导得p1/ρg+Z1=p2/ρg+Z2由于1、2两点是任意选取的，因此可以得出以下表达式p/ρg+Z=C此为流体静力学基本方程的另一种表达形式。p2/ρgp1/ρgZ2Z0Z112p0第15页，课件共59页，创作于2023年2月方程的意义项物理意义几何意义p/ρg比压能压强水头Z比位能位置水头p/ρg+Z比势能测压管水头结论：静止流体中，流体的比势能是守衡的，而比压能与比位能之间可以相互转化。p2/ρgp1/ρgZ2Z0Z112p0第16页，课件共59页，创作于2023年2月1）按常密度计算p=p0+ρgh由于ρ很小，在h不大时，可以忽略ρgh，则p=p0=C2）大气层压强分布对流层：从海平面到高程11Km处（0≤Z≤11Km）。p=101.3(1-Z/44300)5.256KPa同温层：高程为11Km到25Km处（11≤Z≤25Km）。p=22.6exp[(11000-Z)/6334]

KPa2.3.2气体静压强的计算第17页，课件共59页，创作于2023年2月2.3.3压强的度量绝对压强pabs：以绝对真空作为基准表示的压强。相对压强p：以当地大气压强(pa)作为基准表示的压强。又叫表压。p=pabs-pa真空度pv

：绝对压强低于当地大气压强的数值。pv=pa-pabs=-p第18页，课件共59页，创作于2023年2月例：求淡水自由表面下2m深处的绝对压强和相对压强。

解：绝对压强：相对压强Pabs=P0+ρgh=101325+1000×9.807×2=120939PaP=ρgh=1000×9.807×2=19614Pa第19页，课件共59页，创作于2023年2月例：如图所示，hv=2m时，求封闭容器A中的真空值。

解：设封闭容器内的绝对压强为pabs，真空值为Pv

。

根据真空值定义：

Pabs=pa-ρghvPv=Pa-Pabs=Pa-(Pa-ρghv)=ρghv=1000×9.807×2=19614Pa第20页，课件共59页，创作于2023年2月例：求A、B、C三点压强。解：以相对压强计算比较方便。pB=0pA=pB+ρghAB=1000×9.807×1.5=14710.5PapC=pB-ρghBC=-1000×9.807×2=-19614Pa或pVC=-pC=19614Pa例：已知hp=20cm,h=3.5m,求压力表读数。解：p0=-ρHgghp=-0.2×13600×9.807=-26675.04Pap=p0+ρ水ghp=-26675.04+1000×9.807×3.5=7649.46Pa第21页，课件共59页，创作于2023年2月2.3.4水头、液柱高度和能量守恒（略）第22页，课件共59页，创作于2023年2月2.3.5压强的计量单位法定单位:帕斯卡，简称帕。1Pa=1N/m2。1MPa=106Pa其它单位:1atm（标准大气压）=101325Pa=1.034kgf/cm2=760mmHg1at（工程大气压）=1kgf/cm2=98070Pa

1mH2O(米水柱)=9807Pa

1bar(巴)=105Pa≈1.02kgf/cm2第23页，课件共59页，创作于2023年2月2.4流体的相对平衡

2.4.1等加速直线运动容器中流体的平衡相对平衡：指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相对运动的相对静止或相对平衡状态。相对平衡流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。盛有液体的敞口容器以等加速a作直线运动，如图所示。第24页，课件共59页，创作于2023年2月取自由液面中心为坐标原点。单位质量力为：代入流体平衡微分方程的全微分式中dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)=ρ(-adx-gdz)积分得p=ρ(-ax-gz)+CX=-ma/m=-aY=0Z=-mg/m=-g第25页，课件共59页，创作于2023年2月式中C为积分常数，由边界条件确定：在坐标原点处，x=z=0，p=pa，代入上式得C=pa则液体作等加速直线运动相对平衡时压强分布规律为p=pa+ρ(-ax-gz)=pa+γ(-ax/g-z)相对压强为p=γ(-ax/g-z)对于自由液面，相对压强p=0,则Z=-ax/g上式为等加速直线运动液体自由液面方程。第26页，课件共59页，创作于2023年2月由自由液面方程可知，自由液面为通过原点的倾斜面，与水平面的夹角为tanβ=-a/g自由液面确定以后，可以由自由液面求任一点的压强，即求出该点距自由液面的垂直距离h，按静力学基本方程计算：p=pa+ρgh例如图所示，一洒水车等加速度a=0.98m/s2向右行驶，求水车内自由表面与水平面间的夹角；若B点在运动前位于水面下深为h=1.0m，距z轴为xB=-１.5m，求洒水车加速运动后该点的静水压强。第27页，课件共59页，创作于2023年2月解：tanβ=-a/g=-0.1α=180°-β=180°-174.25°=5.75°p=γ(-ax/g-z)=9807×[-0.98×(-1.5)/9.807-(-1.0)]=11278.05PaB点的相对压强为：B点的相对压强按自由液面计算为：p=γ(-xBtanα+h)=9807×[1.5×tan5.75°+1.0]=11278.05Pa第28页，课件共59页，创作于2023年2月例如图，有一盛水的开口容器以3.6m/s2的加速度沿与水平成30º夹角的倾斜平面向上运动，试求容器中水面的倾角θ。解：根据压强平衡微分方程式单位质量力X=-acos30°Y=0Z=-g-asin30°代入上式，得dp=ρ(-acos30°dx-gdz-asin30°dz)积分得p=ρ(-acos30°x-gz-asin30°z)+C第29页，课件共59页，创作于2023年2月自由液面上，x=0，z=0，相对压强p=0，得C=0自由液面方程为：p=ρ(-acos30°x-gz-asin30°z)=0即-acos30°x-gz-asin30°z=0tanθ=-z/x=acos30°/(g+asin30°)=0.269θ=15°第30页，课件共59页，创作于2023年2月2.4.2等角速度旋转容器中液体的平衡

半径为r处质量为m的流体质点所受惯性力为：F=mv2/r=m(ωr)2/r=mω2r单位质量流体惯性力的轴向分力为：X1=ω2xY1=ω2yZ1=0单位质量流体重力的轴向分力为：X2=0Y2=0Z2=-g因此，单位质量力的轴向分力为：X=ω2xY=ω2yZ=-g第31页，课件共59页，创作于2023年2月流体平衡微分方程可以写成：dp=ρ(ω2xdx+ω2ydy-gdz)积分得：p=ρ(ω2x2/2+ω2y2/2-gz)+C=ρ(ω2r2/2-gz)+C在坐标原点处，x=y=z=0,p=pa，得C=pa绕铅垂轴等速旋转流体平衡时压强分布规律：p=pa+ρ(ω2r2/2-gz)相对压强：p=ρ(ω2r2/2-gz)自由液面相对压强p=0，得自由液面方程z=ω2r2/2g第32页，课件共59页，创作于2023年2月绕铅垂轴等速旋转流体特点：等压面为旋转抛物面，在同一水平面上，轴心处压强最低，边缘处压强最高。应用举例：1.盛满水的圆柱形容器，盖板中心开孔。由于盖板封闭，旋转时水面不能上升，盖板各点承受的压强为：p=ρgz=ρω2r2/2可见，轴心处压强最低，边缘处压强最高，角速度ω越高，边缘处压强也越高。离心铸造机就是利用的这个原理。第33页，课件共59页，创作于2023年2月2.盛满水的圆柱形容器，盖板边缘开一个孔。相对压强为零的面如图中虚线所示。盖板上各点的相对压强为：p=0-ρ(ω2R2/2-ω2r2/2)=-ρ(ω2R2/2-ω2r2/2)或盖板上各点的真空度为：pv=ρ(ω2R2/2-ω2r2/2)轴心处真空度最大，边缘处真空度为零。离心泵和离心风机就是利用的这一原理。第34页，课件共59页，创作于2023年2月3.敞口容器中流体混有杂质。设某一杂质的质量为m1，与该杂质同体积的流体质量为m，旋转后该杂质的受力情况为：铅垂方向受力为重力与浮力之差：Δpz=ΔG-Δp1=m1g-mg=(m1-m)g水平方向受力为离心力与压力之差：Δpx=ΔFr-Δp2=m1ω2r-mω2r=(m1-m)ω2r合力用向量表示为：第35页，课件共59页，创作于2023年2月当m1=m时，合力为零，该杂质不能用旋转的方法去除。当m1＞m时，合力向右下方倾斜，杂质下沉于底部，离心除尘器就是利用的该原理。当m1＜m时，合力向左上方倾斜，上浮于流体表面，油脂分离器就是利用该原理回收水中的油脂。例题一半径为R=30厘米的圆柱形容器中盛满水，盖板用螺栓连接，盖板中心开一小孔，当容器以n=300rpm速度等速旋转时，求作用于螺栓上的拉力。第36页，课件共59页，创作于2023年2月解：盖板任意半径r处所受水的压强为：p=ρω2r2/2作用于盖板任意半径r处微小圆环面积上的压力为：dp=pdA=ρω2r2/2·2πrdr作用于螺栓上的拉力为：P=∫ApdA=ρπω2R4/4代入数据，得P=6257N第37页，课件共59页，创作于2023年2月2.5液体作用在平面上的总压力

2.5.1解析法

如图所示，MN为任意形状的平面，倾斜放置于水中，与水面成θ角，面积为A，其形心C的坐标为xc，yc，形心C在水面下的深度为hc。在受压面上取微元面积dA，作用在dA上的力为：第38页，课件共59页，创作于2023年2月作用于平面MN上的总压力为：积分是受压面对Ox轴的静矩，且则结论：潜没于液体中任意形状平面所受水的总压力等于受压面面积与其形心点的静压强之积。第39页，课件共59页，创作于2023年2月总压力的作用点（压力中心）根据合力矩定理（对Ox轴求矩）：积分是受压面对Ox轴的惯性矩则根据惯性矩平行移轴定理，代入上式得：第40页，课件共59页，创作于2023年2月式中，yp——总压力作用点到Ox轴的距离；yc——受压面形心到Ox轴的距离；Ic——受压面对平行于Ox轴的形心轴的惯性矩；A——受压面面积。由于Ic/ycA＞0，故yp＞yc，即总压力作用点一般位于形心之下，这是因为静压强沿淹没深度增加的原因。随着受压面淹没深度的增加，yc增大，Ic/ycA减小，总压力作用点靠近受压面形心。第41页，课件共59页，创作于2023年2月1.当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角θ无关；

2.压力中心的位置与受压面倾角θ无关，并且压力中心总是在形心之下.只有当受压面位置为水平放置时，压力中心与形心才重合。结论：第42页，课件共59页，创作于2023年2月第43页，课件共59页，创作于2023年2月第44页，课件共59页，创作于2023年2月例如图所示，一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m，求总压力及其作用点。解：

第45页，课件共59页，创作于2023年2月例

有一铅直半圆壁（如图）直径位于液面上，求F值大小及其作用点。解：由式得总压力由式得第46页，课件共59页，创作于2023年2月2.5.2图算法压强分布图压强分布图绘制原则：根据静力学基本方程式绘制静压强大小；静压强垂直于作用面且为压应力。受压面为平面时，压强分布图的外包线为直线；受压面为曲面时，曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。第47页，课件共59页，创作于2023年2月适用范围：规则平面上所受总压力及其作用点的求解。

原理：总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压力中心P。例

用图解法计算前例中矩形闸门的总压力大小与压力中心位置。解：作出矩形闸门上的压强分布图：底为受压面面积，高度是各点的压强。第48页，课件共59页，创作于2023年2月梯形形心坐标:

a上底，b下底总压力为压强分布图的体积：作用线通过压强分布图的重心：第49页，课件共59页，创作于2023年2月2.6液体作用在曲面上的总压力

2.6.1曲面上的总压力实际工程曲面多为二向曲面或球面。二向曲面AB一侧承压，在曲面上选取微元面积EF，由于各微元面上压力dF方向不同，不能用积分求曲面上的总压力，需将dF分解：第50页，课件共59页，创作于2023年2月水平分力：铅垂分力：式中：dAx——EF在铅垂面上的投影；dAz——EF在水平面上的投影。总压力的水平分力：积分是曲面的铅垂投影面Ax对Oy轴的静矩，代入上式，得式中：hc——投影面Ax形心点的淹没深度；pc——投影面Ax形心点的压强。第51页，课件共59页，创作于2023年2月结论：液体作用于曲面上总压力的水平分力等于该曲面的铅垂投影面的压力。总压力的铅垂分力：是曲面到自由液面（或自由液面延伸面）之间的铅垂体——压力体的体积。上式表明，液体作用在曲面上总压力的铅垂分力等于压力体的重量。液体作用在曲面上的总压力：总压力作用线与水平