2022年湖南省株洲市醴陵仙霞镇仙霞中学高二数学理月考试卷含解析

2022年湖南省株洲市醴陵仙霞镇仙霞中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体中，是的中点，是底面的中心，是上的任意点，则直线与所成的角的正弦值为A．

B．

C．

D．1参考答案：D略2.为了了解某高校学生喜欢使用手机支付是否与性别有关，抽取了部分学生作为样本，统计后作出如图所示的等高条形图，则下列说法正确的是（

）A.喜欢使用手机支付与性别无关B.样本中男生喜欢使用手机支付的约60%C.样本中女生喜欢使用手机支付的人数比男生多D.女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些参考答案：D【分析】根据等高条形图可得喜欢使用手机支付与性别有关，样本中男生喜欢使用手机支付的约为40%，女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些，由于不知道男女生人数，所以不能认定女生喜欢使用手机支付的人数是否比男生多.【详解】A错误，根据等高条形图，喜欢和不喜欢使用手机支付的比例因性别差距很明显，所以喜欢使用手机支付与性别有关；B错误，样本中男生喜欢使用手机支付的约为40%；女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些，由于不知道男女生人数，所以不能认定女生喜欢使用手机支付的人数是否比男生多.所以C错误，D正确.故选：D【点睛】此题考查等高条形图的辨析，根据条形图认识喜欢使用手机支付与性别的关系，关键在于准确识图正确辨析.3.正方体中，与对角面所成角的大小是A．

B.

C.

D.参考答案：A略4.化简＝（）A.－1+2i

B.1－2i

C.1+2i

D.－1－2i参考答案：A由复数的运算法则有：.

5.如a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是（）A．a＞b＞0 B．a＜b＜0C．a＞b D．a≥0，b≥0，且a≠b参考答案：D【考点】72：不等式比较大小．【分析】通过作差、利用根式的意义即可得出．【解答】解：a+b﹣（a+b）=（a﹣b）=，又a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是a，b≥0，a≠b．故选：D．【点评】本题考查了作差法、根式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为(

) A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinα﹣cosα+3 C．3sinα﹣cosα+1 D．2sinα﹣cosα+1参考答案：A考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：利用余弦定理求得正方形的边长，则正方形的面积可求得．利用正弦定理分别求得小等腰三角形的面积，最后相加即可．解答： 解：正方形的边长为=，∴正方形的面积为2﹣2cosα，等腰三角形的面积为?1?1?sinα=sinα，∴八边形的面积为4?sinα+2﹣2cosα=2sinα﹣2cosα+2，故选：A．点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．解题的关键是把八边形拆分成三角形和正方形来解决．7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（

）A．若则，

B.若则

C.若则

D.若则参考答案：A8.下列函数中，最小值为4的函数是(

)A． B．C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+logx81参考答案：C【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式可得=4，注意检验不等式使用的前提条件．【解答】解：∵ex＞0，4e﹣x＞0，∴=4，当且仅当ex=4e﹣x，即x=ln2时取得等号，∴y=ex+4e﹣x的最小值为4，故选C．【点评】本题考查基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要注意条件：“一正、二定、三相等”．9.函数f（x）=的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．10.已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，3）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣6=﹣4∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAC、△PBC、△PAB、△ABC中共有

个直角三角形。

参考答案：4略12.展开式中的系数为________。参考答案：-6略13.已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为_____________________.

参考答案：．因为双曲线的渐近线方程为，又因为函数在处的切线方程为，根据图像可知:．14.一个半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是

.参考答案：

解析：

15.已知函数.若函数有两个零点，则实数k的取值范围是_____.参考答案：【分析】由题意画出两个函数的图象，由临界值求实数k的取值范围．【详解】函数有两个零点即与有两个交点，的图像如图所示：当的斜率时由图像可得有两个交点，故实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查了方程的根与函数的交点的关系，同时考查了函数的图象的应用，属于中档题．16.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，则甲恰好击中目标2次且乙至少击中目标2次的概率为

.参考答案：17.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x围成图形的面积．（12分）参考答案：略19.求半径为10，且与直线相切于的圆的方程.参考答案：略20.已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；

（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．21.已知三个集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，C={x|bx2﹣x+1=0}，问同时满足B?A，A∪C=A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b的取值情况；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先求得集合A、B；然后结合已知条件得到C?A，则C中元素有以下三种情况：①C=?；②C={2}或{3}；③C={2，3}．分别求得这三种情况下b的取值范围．解答： 解：∵A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}={x|（x﹣2）（x﹣a）=0}，又∵B?A，∴a=2．∵A∪C=A，∴C?A，则C中元素有以下三种情况：①若C=?，即方程bx2﹣x+1=0无实根，∴△=1﹣4b＜0，∴b＞，②若C={2}或{3}，即方程bx2﹣x+1=0有两个相等的实根，∴△=1﹣4b=0，∴b=，此时C={2}符合题意．③若C={2，3}，则=2+3=5，，不存在这样的b．综上所述，a=2，b≥．点评：本题考查了集合的包含关系判断及