11.3多边形及其内角和

温故而知新

在△ABC中，（1）∠C=90º,∠B=30º,则∠A=

º；（2）∠A=100º,∠B=∠C,则∠B=

º；（3）若△ABC中的三个内角度数之比为2：3：4，则相应外角之比为

．（4）三角形的三个内角中，最多有

个锐角，最多有

个直角，最多有

个钝角．观察下列图案由这图形你抽象出什么几何图形？生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？三角形长方形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？由这图形你抽象出什么几何图形？四边形生活中的平面图形六边形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？八边形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？三角形长方形六边形四边形八边形在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。多边形的定义你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗？了解一下顶点内角边对角线对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。可表示为：五边形ABCDE或五边形DCBAEABCDEABCD12345内角：多边形相邻两边组成的角外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。内角外角678910比一比你能说出这两幅图形的异同点吗？（1）（2）如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。想一想：观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？

在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形11.3多边形的内角和问题1：你能够利用三角形的内角和求四边形的内角和吗？试试看？ABCD思路：多边形问题转化为三角形问题来解决．ABDCE问题2：那么五边形的内角和呢？试试看？再探索六边形的内角和，你一定行！ABCDEF这种探索方法你掌握了吗？请完成下表多边形的边数34567…n分成的三角形个数12…多边形的内角和180°180°×2180°×3…345n-2180°

×5(n-2)×180180°×4想一想：从表中你能发现什么？n边形的内角和等于(n－2)．180°例1：求八边形的内角和的度数。

解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°

＝1080°答：八边形的内角和为1080°。例2：一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形吗？

解：设这个多边形为n边形，根据题意得：（n－2）×180＝1５0n

n＝12答：这个多边形是12边形。另解：由于多边形外角和等于360°

而这个正多边形的每个外角都等于

180°－150°＝30°，所以这个正多边形的边数等于

360°÷30°＝12。牛刀小试：

（1）八边形的内角和等于

。

（2）已知一个多边形的内角和等于2340°，

它的边数是

。

（3）小明在计算多边形的内角和时求得的

度数是1000°，他的答案正确吗？为

什么？

1080°15

（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，那么这个四边形中最大角的度数是

。（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角都是n°，则n=

。（6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则这个六边形的每个内角是

。144°135°120°探索

（1）什么是三角形的外角？外角有什么性质？

（2）类似地，在多边形中找出外角多边形的一边与另一边的延长线的夹角，叫做多边形的外角。做一做（1）如图，求△ABC的三个外角的和。

三角形的三个外角之和为3600

（2）四边形的外角和等于多少度？（3）五边形的外角和怎么求？n边形呢？猜想与说理:n边形的外角和是多少度呢?

答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n－2)·180°=360°.结论:多边形的外角和都等于360°.例3：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？解：设它是n边形，则(n-2).180=3×360解得：n=8答：它是8边形（1）一个多边形的每一个外角都是600，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度?(2)有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的3倍？

强化训练

三角形三个内角的度数分别是（x+y)o,(x-y)o,xo,且x>y>0,则该三角形有一个内角为（） A、30O B、45O C、60O D、90O2.一个正多边形每一个内角都是120o，这个多边形是（） A、正四边形 B、正五边形

C、正六边形 D、正七边形CC

３．一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则原多边形的边数为（ ）

A、13条 B、14条 C、15条 D、16条下列说法中，错误的是（ ）

A、一个三角形中至少有一个角不大于60O；B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；C、三角形的外角中必有两个角是钝角；D、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；AD5.小明绕五边形各边走一圈，他共转了___度。6.下列正多边形（1）正三角形（2）正方形（3）正五边形（4）正六边形，其中用一种正多边形能镶嵌成平面图案的是

；360（1）、（2）、（4）7.如下图，AD是BC边上的高，BE是△

ABD的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，则∠C=___∠BED=

。65°60°ABCD12E7、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生怎样变化？请画图说明。内角和减少180O内角和不变内角和增加180O探究活动：ＡＢＣＤ如图，∠Ａ＝４５°，∠Ｂ＝２５°∠Ｃ＝３０°，则∠Ｄ＝

。ＥＥ100°探究活动：ＡＢ