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第二章导数与微分习题课一、导数与微分的根本概念1.导数定义:
2.导数的几何意义:为曲线在点的切线斜率。
3.在处可导的充分必要条件:
在处可导且。
与都存在,二、极限、连续、可导与可微的关系
4.在处的可微定义:
三、求导法那么1.四那么运算求导法那么2.反函数求导法那么(1)(2)(3)函数在对应的内也可导,且
或。
设在区间内单调、可导且,则其反
3.复合函数求导法那么4.隐函数求导法那么求导过程中牢记是的函数,方程中含有的项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出。
5.参数方程求导
参数方程确定可导函数,则设及都是可导函数,则复合函数
也是可导函数且。
由方程确定了,方程两端对求导,在
四、高阶导数定义及求导
若函数的导函数仍然是可导函数,则将的
导函数叫做函数的二阶导数。记作依此类推,函数的导函数叫做的阶导数。
记。
五、典型例题
分析计算分段函数分界点处的导数,要根据定义看是否有
解:左导数和右导数,并且还要看左右导数是否相等。
【例1】设,问是否存在?
【例2】设,求及。
及求导法则求出,故求应选用“先求,后求
因而应用导数定义求。
解:当时,当时,和处函数值”的方法。而是分段函数的分段点,分析当时,是可导函数,且可利用求导公式【例3】设,已知在处可导,
试确定的值。为未知量的方程。由已知条件在分段点处可导,
得一个方程;又由函数在一点可导必要条件:
在处连续,得第二个方程。
解此联立方程组,可求出。
分析此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以
解:因为在处可导,所以在处连续;
即【例4】已知,求。解:当时,;当时,;当时,综上,
所以
【例5】设,求。
解:
解:【例6】设,求。
解:【例7】求星形线在处的导数。
故解:方程两边对求导得【例8】设是由方程所确定,
求。
将代入上方程,得(1)将代入原方程,得(2)
将(2)代入(1)中得。
【例9】求函数的微分。解:所以
分析因为含有乘积与幂指函数,故应用对数求导法。
解:应用对数求导法。函数两边取对数得
所以
方程两边对求导得【例10】设
,求。【例11】设,求。
方程两边对求导得分析是由三个或三个以上的有限个函数的乘、除、开方、乘方形成的,应用对数求导法。解:函数两边取对数得方程
所以
【例12】设曲线方程,求此曲线上纵坐标处的切线方程.所以切点坐标为则所求切线方程为解:先求切点坐标.将代入曲线方程得将代入上式,得再求曲线在切点处的切线斜
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