2021届高三高考数学三轮复习综合题

挑战满分大题专练（二十二）—综合练习（8）1．已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．解：（1）设等比数列的公比为，由题知，又，，成等差数列，，，解得或，又由为递减数列，于是，．（2），则，①，②①②得：，所以．2．已知中，，，分别是角，，的对边，，．（1）求，，；（2）若，求的面积．解：（1），，由余弦定理得，，，，，，①当时，，；②当时，，；（2）由（1）得当，时，，可得，；当，时，由正弦定理得，，．3．在四棱锥中，四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，，，，，．（1）求证：；（2）求直线与面所成角的正弦值．证明：（1）取的中点，连接与，为等腰直角三角形，，，又，，且、面，平面，面，，为的中点，，，，则；解：（2）以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，以过且垂直与平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，0，，，1，，，0，，由已知可得，则是边长为1的等边三角形，则，，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，得，设直线与面所成角为，则．直线与面所成角的正弦值为．4．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛．（Ⅰ）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；（Ⅱ）下午的正式比赛中：①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数的分布列与数学期望；②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？解：（Ⅰ）甲恰好胜2局的概率为；（Ⅱ）①甲所胜局数的可能取值为0，1，2，所以，，，所以甲所胜局数的分布列为：0120.160.1920.648则的数学期望，；②采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率为，采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为，对于甲而言，显然“5局3胜制”更有利，由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利．5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4．（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；（2）已知直线与圆交于、两点，与曲线交于、两点，其中、在第一象限．为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由．解：（1）由题意知，，所以动点的轨迹是椭圆，由椭圆的定义可知，，，又因为，所以，所以的轨迹方程为．（2）由题设知，在椭圆外，在椭圆内，点在内，在外，在直线上的四点满足：，，由，消去得：，因为直线经过椭圆内的右焦点，所以该方程的判别式△恒成立，设，，，，所以，，，又因为的直径，所以，化为，因为为点到直线的距离，，，当且仅当，即时等号成立，所以满足题意．6．已知函数，．定义新函数，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若新函数的值域为，，求的取值范围．解：（1）函数，则，①当，即时，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增；②当时，，当，即时，令，解得，令，解得或，故在和，上单调递减，在上单调递增；当，即时，，所以在上单调递减；当时，令，解得，令，解得或，所以在和上单调递减，在，上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增；当时，在和，上单调递减，在上单调递增；当时，以在上单调递减；当时，在和上单调递减，在，上单调递增．（2）因为，，所以有解，即在上有解，令，则，令，则，故在上单调递增，又，故存在，