十二讲重积分的计算方法探讨

泰山学院信息科学技术学院教案数值分析 教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第十二讲重积分地计算方法探讨课时数4教案通过教案使学生掌握计算二重积分与三重积分地各种方法 .目地化累次积分计算二重积分与三重积分重2利用极坐标计算二重积分点3、用球坐标计算三重积分难难点是二重积分与三重积分地计算技巧点第十二讲 重积分地计算方法探讨教学提

一、二重积分地计算方法二重积分地基本计算方法有两种 ,一是化累次积分地方法 ,二是极坐标地方法 .1.化累次积分计算二重积分利用极坐标计算二重积分二、二重积分地计算技巧3.改变累次积分地次序计算二重积分4.分割积分区域计算二重积分5.利用函数地奇偶性化简二重积分三、三重积分地计算1、用函数奇偶性化简三重积分2．用直角坐标计算三重积分 <先1后2,先2后1,）3、用柱坐标计算三重积分4、用球坐标计算三重积分纲教案教案过程与内容后记第十二讲 重积分地计算方法探讨重积分地计算一方面本身是很重要地 ,另一方面它是曲线积分、曲面积分和概率统计地基础,分割积分区域、利用函数地奇偶性简化积分和利用对称性 <轮换）简化积分是重积分计算地技巧 .一、二重积分地基本计算方法二重积分地基本计算方法有两种 ,一是化累次积分地方法 ,二是极坐标地方法 .1.化累次积分计算二重积分型区域D 1(x> y 2(x> axbb 2(x)f(x,y)d [ f(x,y)dy]dxa 1(x)D型区域D1(x>y2(x>cydf(x,y)dd2(y)dyf(x,y)dxDc1(y)例1：计算xyd其中D是由直线y1、x2及yx所围成地闭区域D【解法一】把D看成是X型区域1x21yx于是2x2y212xydxydy]dx]1xdxx)dx[[x(x3D1112211[x4x2]129,2428xyd2dxx2xdxxydy【评注】积分还可以写成1xydy11D1【解法二】也可把D看成是Y型区域1y2yx2于是222223y4xyd[yxydx]dy]2dy(2y[y2]291[yxy)dyD12y12818例2计算y1x2y2dD是由直线y1、x1及yx所围成地闭区域D【解】画出区域D可把D看成是X型区域1x1xy1于是y1x2y2d11y2dydxy1x2D1x11311211[(1x2y2)2131)dx33]xdx3(|x|3(x1)dx1102也可D看成是Y型区域:1y11x<y于是y1x2y2d1yx2y2dxydy1D11利用极坐标计算二重积分有些二重积分 积分区域 D地边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量 、 表达比较简单 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f(x,y)dD若积分区域D可表示为D:1(>2(>则f(cos,sin)ddd2()cos,sin)d1(f(D)例3计算ex2y2dxdy其中D是由中心在原点、半径为a地圆周所围成地闭区域D【解】在极坐标系中闭区域D可表示为:0a02ex2y2dxdye2dd2a221e2]0ad于是0[ed]d[DD0021(1ea22d(1ea22)0)【评注】此处积分ex2y2dxdy也常写成ex2y2dxdyDx2y2a2例4求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得地<含在圆柱面内地部分）立体地体积【解】由对称性立体体积为第一卦限部分地四倍V44a2x2y2dxdyD其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成地闭区域在极坐标系中D可表示为02acos02于是V44a22dd2acos4a22d42dD0032a22(1sin3)d32a2(22)3033二、二重积分地计算技巧1.改变累次积分地次序计算二重积分有些题目若把积分区域视为 X型积分比较困难 ,甚至积不出来 ,但视为Y型区域就好积多了.化累次积分时 ,除了看积分区域外还应看被积函数 .例5计算二重积分y2xydxdy,其中D是由直线yx,y1,x0所围成地平面区D域.【解】积分区域如右图.因为根号下地函数为关于x地一次函数,“先x后y”积分较容易,所以把D视为Y型区域y2xydxdy1yy2xydx0dyD021123y2122xy2dy3y03ydy.0y09例6：(1>求1dx1ey2dy0x(2>f(x)xsintdt,计算f(x)dx0t0,但交换累次积分地顺序后计算就简单多了.【分析】这两个几分直接计算都是困难地2.分割积分区域计算二重积分绝对值函数、分段函数、取整函数,max(>,min(>往往在积分区域地不同部分有不同地取值,应根据被积函数合理分割积分区域,以正确计算积分例7设D {(x,y)x2 y2 2,x 0,y 0},[1 x2 y2]表示不超过1 x2 y2地最大整数.计算二重积分xy[1x2y2]dxdy.D【分析】首先应设法去掉取整函数符号,为此将积分区域分为两部分即可.【解】令{(,)0221,0,0},D1xyxyxyD2{(x,y)1x2y22,x0,y0}.则xy[1x2y2]dxdy=xydxdy2xydxdyDD1D22sincosd13dr22sincosd2137.rr3dr=0001848【评注】对于二重积分<或三重积分）地计算问题,当被积函数为分段函数时应利用积分地可加性分区域积分.而实际考题中,被积函数经常为隐含地分段函数,如取绝对值函数f(x,y)、取极值函数max{f(x,y,g(x,y)}以及取整函数[f(x,y]等等.3.利用函数地奇偶性化简二重积分设函数f(x,y)在区域D上连续,则<1）如果f(x,y)关于x是奇函数,并且D关于Y轴对称,则f(x,y)dxdy0；D<2）如果f(x,y)关于x是偶函数,并且D关于Y轴对称,则f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy.D D左 D右评论：还有两条类似地结论 ,<1）能简化二重积分地计算 .例8:设区域D(x,y)x2y21,x0,计算二重积分D112xyy2dxdy.x【分析】由于积分区域D关于x轴对称,故可先利用二重积分地对称性结论简化所求积分,又积分区域为圆域地一部分,则将其化为极坐标系下累次积分即可.【解】积分区域D.D关于x轴对称,如右图所示因为区域函数f(x,y)1是变量y地偶函数,1x2y2函数g(x,y)xy是变量y地奇函数.则1x2y2DD

1dxdy21dxdy22d1rln21x2y22y201r2drD11x02xydxdy0,2y21x故1xydxdy12dxdyxy2dxdyln2D1x2y2D1x2yD1x2y.2【评注】只要见到积分区域具有对称性地二重积分计算问题,就要想到考查被积函数或其代数和地每一部分是否具有奇偶性,以便简化计算.例９设二元函数x2,xy1,f(x,y)1,1xy2,x2y2计算二重积分f(x,y)d,其中D{(x,y)xy2}.D【解】由区域地对称性和被积函数地奇偶性有f(x,y)d4f(x,y)dDD1其中D1为D在第一象限地部分.设D11{(,y)|0y10x1},xx，D12{(x,y)|1xy2，x0,y0}f(x,y)dx2d11x12(1x)dx1dx0x2dxx,D1D1001212f(x,y)dd2dsincosdr2１D12D12xy20sincos21d2cossind2ln(21).sinsin2cos20cos0因此f(x,y)d4f(x,y)d142ln(21).3DD1例10:求(x2y2y)d,其中D是由圆x2y24和(x1)2y21所围成地D平面区域(如图>.【分析】首先,将积分区域D分为大圆D1{(x,y)|x2y24}减去小圆D2{(x,y)|(x1)2y21},再利用对称性与极坐标计算即可.【解】令{(,)|224},{(,)|(1)221}D1yxyD2xy,xxy由对称性,yd0.Dx2y2dx2y2dx2y2dDD1D222r2dr32cosr2dr.d2d0020163216(32)399所以,(x2y2y)d16(32).D9三、重积分地计算1、用函数奇偶性化简三重积分或zx>面对称,而f(x,y,z)是z(x或y>地偶<奇）函数,则对称性：若关于xy(yzf(x,y,z)dV2f(x,y,z)dV<f(x,y,z)dV0）.1例11：(1>设:1x1,0y1,0z1,求ey2sinx32dV；(2>设:0z1,x2y21,求ez2tanx2y33dV.【解】(1>ey2sinx32dVey2sinx3dV2dV积分区域关于yoz面对称,ey2sinx3为x地奇函数故ey2sinx3dV0,故原式22114(2>关于xoz面对称,ez2tanx2y3为y地奇函数,故ez2tanx2y3dV0故ez2tanx2y33dVez2tanx2y3dV3dV312132．用直角坐标计算三重积分在直角坐标系中 ,可化三重积分为三次积分 .设积分域如图,则可表示为z1(x,y)zz2(x,y)(x,y)Df(x,y,z)dVz2(x,y)故dxdyf(x,y,z)dz①Dz1(x,y)①式称为计算三重积分地先一后二法.f(x,y,z)dVby2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz②①式可进一步化为dxdyz1(x,y)ay1(x)②式即为计算三重积分地三次积分法.(x,y)Dz,故f(x,y,z)dVc2f(x,y,z)dxdy③也可表示为dzc1zc2c1Dz③式称为计算三重积分地先二后一法或切片法.注：用直角坐标计算三重积分地关键是根据积分区域地形状以及被积函数地特点选择适当地积分组合与次序.例12：求xdxdydz为三个坐标面及平面x2yz1所围成地区域.,0z1x2y【解】:0z1x2y0y1x(x,y)D(先一后二)20x111x1x2y11xxdxdydz(1x2y)dy故xdx2dydzxdx20000011x1111211x(1x)yy22dx2x3dx04x2x42344800例13、求xyzdxdydz,为球面x2y2z21及三个坐标面所围第一卦限部分.:0z1x2y20z1x2y2【解】(先一后二)0r1(x,y)D0(极坐标)2故xyzdxdydzxydxdy1x2y2zdzxy11x2y2dxdyD0D212d1rcosrsin1r2rdr12cossind13r5drr20020011221112sin046482例14、求I1z2dxdydz,I2(xyz)2dxdydz,由x2y2z21围a2b2c2成.:(x,y)x2y2z2【解】Dz:a2b21c2(先二后一)czcccz2z2I1z2dzdxdyz2a12b12dzcDzccccz2z24abc312dz2ab0c15由对称性,x2dxdydz4a3bc,y2dxdydz4ab3c1515I2x2y2z22xy2yz2zxdxdydz因为关于xoy,yoz,zox面对称,而xy,yz,zx分别为x,y,z地奇函数,故xydxdydzyzdxdydzzxdxdydz0从而I2x2y2z2dxdydz4abca2b2c215例15：求zdxdydz,由x2y2z24,x2y23z围成.【解】(x,y)Dz:x2y23z(x,y)Dz:x2y24z2:12(先二后一)0z11z2zdxdydz2dxdy1dxdy2dxdyzdz0zdz1zdz0DzDz1Dz2z3zdz(41zz2)dz1320143、用柱坐标计算三重积分点M(x,y,z)在xoy面上地投影为P,P地极坐标为(r,),则(r,,z)称为M地柱坐xrcos标.直角坐标与柱坐标地关系为yrsin.zz积分域在xoy面上地投影是圆或被积函数含有x2y2时,适宜用柱坐标.显然,在柱坐标下,体积元dVrdrddz,故f(x,y,z)dVf(rcos,rsin,z)rdrddzdrdrfdz例16：求2222zdxdydz由z2xy,zxy围成.,【解】(x,y)Dz:x2y2z(x,y)Dz2:x2y22z210z11z2zdxdydz2zdzdxdy1dxdy2zdzdxdy0zdz10DzDz1