图像处理课件频域变换

图像处理课件频域变换第1页，课件共154页，创作于2023年2月

本章主要内容1.频域与频域变换2.连续傅里叶变换3.离散傅里叶变换4.快速傅里叶变换5.傅里叶变换的性质6.用傅里叶变换进行图像处理7.其他离散变换第2页，课件共154页，创作于2023年2月1.频域与频域变换时域与频域时域时域又称为时间域，是描述信号在不同时刻取值的函数。自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。函数的时域表示正弦波的时域叠加示意图第3页，课件共154页，创作于2023年2月1.频域与频域变换（CONT）频域： 频域也称为频率域，是描述信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度。波形的时域表示波形的幅频表示第4页，课件共154页，创作于2023年2月例如：正弦信号叠加正弦波的时域叠加示意图

(a)幅频特性（b）相频特性波形的频域表示第5页，课件共154页，创作于2023年2月2.连续傅里叶变换1807年，傅里叶提出了傅里叶级数的概念，即任一周期信号可分解为复正弦信号的叠加。1822年，傅里叶又提出了傅里叶变换。傅里叶变换是一种常用的正交变换，它的理论完善，应用程序多。在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成图像分析、图像增强及图像压缩等工作。第6页，课件共154页，创作于2023年2月连续傅里叶变换是把一组函数映射为另一组函数的线性算子，即傅里叶变换把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦或余弦）和的形式或者它们的积分的线性组合。

第7页，课件共154页，创作于2023年2月连续傅里叶变换定义傅里叶变换在数学中的定义是：

如果函数满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积，则定义的傅里叶变换公式为其中，是表示频率的变量。

第8页，课件共154页，创作于2023年2月由于欧拉公式将复数、指数函数与三角函数联系起来：傅里叶变换定义可以写成：

第9页，课件共154页，创作于2023年2月将用复数形式表示为其中：第10页，课件共154页，创作于2023年2月=任何函数周期函数都可以表示为不同频率的正弦及余弦函数的线性表达–Fourier基数第11页，课件共154页，创作于2023年2月特征幅值、相位和能量分别为：幅值：

相位：能量：第12页，课件共154页，创作于2023年2月一维的傅里叶反变换定义为：第13页，课件共154页，创作于2023年2月二维傅里叶变换傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。设函数是连续可积的，且则存在如下的二维傅里叶变换及反变换：式中、是表示频率的变量，与一维的意义类似。

第14页，课件共154页，创作于2023年2月3.离散的傅里叶变换

函数的一维离散傅里叶变换定义如下：

第15页，课件共154页，创作于2023年2月

一维的离散傅里叶反变换为：傅里叶变换复数形式：的实部为，虚部为第16页，课件共154页，创作于2023年2月特征幅值、相位和能量分别为：幅值：

相位：能量：第17页，课件共154页，创作于2023年2月离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换定义为:第18页，课件共154页，创作于2023年2月二维离散傅里叶的反变换定义为：

u、v是频率变量

第19页，课件共154页，创作于2023年2月二维函数离散傅里叶的谱、能量和相位谱为:傅里叶频谱：能量：相位:

第20页，课件共154页，创作于2023年2月图像与傅里叶变换傅里叶用于图像处理：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加；在图像领域就是将图像亮度（灰度值）作为正弦变量。如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。第21页，课件共154页，创作于2023年2月（1）频率（frequency）频率在空间域上表现为亮度的变化快慢例如：左图的频率比右图的frequency低第22页，课件共154页，创作于2023年2月（2）幅值（magnitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差（3）相位表示相对于原始波形，这个波形偏移量第23页，课件共154页，创作于2023年2月由二维离散傅里叶变换得到图像傅里叶中心谱第24页，课件共154页，创作于2023年2月例一个简单二维函数的中心谱

在大小为512×512黑色背景上叠加一个尺寸为20×40的白色矩形的图像；（b）应用了频率谱，用对数变换后显示的中心傅里叶谱。第25页，课件共154页，创作于2023年2月（a）（b）图（a）在大小为512×512黑色背景上叠加一个尺寸为20×40的白色矩形的图像， （b）应用了频率谱，变换后显示的中心傅里叶谱第26页，课件共154页，创作于2023年2月（a）原始图像（b）离散傅里叶频谱二维图像及其离散傅里叶频谱的显示第27页，课件共154页，创作于2023年2月4.快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换(DFT)的一种算法。这种方法消除(DFT)中重复工作，所以在运算中大大节省了工作量，达到了快速的目的。第28页，课件共154页，创作于2023年2月对于一个有限长序列{f(x)}(0≤x≤N−1)，它的傅里叶变换由下式表示:令因此，傅里叶变换对可写成下式第29页，课件共154页，创作于2023年2月从上面的运算显然可以看出要得到每一个频率分量，需进行N次乘法和N−1次加法运算。要完成整个变换需要N2次乘法和N(N−1)次加法运算。当序列较长时，必然要花费大量的时间。观察上述系数矩阵，发现是以N为周期的即第30页，课件共154页，创作于2023年2月基2FFT基4FFT劈分基FFT第31页，课件共154页，创作于2023年2月5.傅里叶变换的性质(1)分离性质从离散的二维傅里叶变换中可得如下分离形式：第32页，课件共154页，创作于2023年2月从上述这些分离形式可知一个2-D傅里叶变换可由连续2次运用1-D傅里叶变换来实现，这样可将的运算量减为O(n2)的运算量。第33页，课件共154页，创作于2023年2月(2)平移性质如果F(u)的频率变量u,v分别移动了u0,v0距离,则傅里叶变换对有下面的形式：因此，傅里叶变换的平移性质表明了函数与一个指数相乘等于将变换后的频域中心或者空域中心移到新的位置对f(x,y)的平移将不改变频谱的幅值。对于这一性质的应用是，如果一副图像，原点显示在屏幕的左上角，我们就可以通过平移性质，将原点移到屏幕中央。第34页，课件共154页，创作于2023年2月(3)周期性和共轭对称性傅里叶变换对和反变换均以N为周期，即这表明尽管F(u,v)有无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v）得到F(x,y)第35页，课件共154页，创作于2023年2月如果F(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对成性第36页，课件共154页，创作于2023年2月（4）旋转性质首先借助极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,u=wcosφ,v=wsinφ，将f(x,y)和F(u,v)转换为f(r,θ)和F(w,φ)。例二维离散傅立叶变换的旋转性（a）原始图像（b）原图像的傅里叶频谱（c）旋转后的图像（d）旋转后图像的傅里叶频谱第37页，课件共154页，创作于2023年2月该实例表明表明，对f(x,y)旋转一个角度θ0对应于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转相同的角度θ0第38页，课件共154页，创作于2023年2月(5）分配律根据傅里叶变换对的定义可得到上式表明傅里叶变换和反变换对加法满足分配律，但需注意对乘法则不满足，一般有第39页，课件共154页，创作于2023年2月（6）尺度变换尺度变换描述了函数自变量的尺度变化对其傅里叶变换的作用。下面考察f(at)的傅里叶变换如果系数a大于1，函数f(t)在水平方向收缩，由上式可知傅里叶变换的幅值将缩小a倍，同时在水平方向扩展a倍；a小于1时作用相反。第40页，课件共154页，创作于2023年2月实例：比例尺度性质验证

可见当在其前面乘以比例尺度小于1时，频域中图像变换频谱幅值将减小（a）原始图像（b）比例尺度展（c）比例尺度a=0.1宽前的频谱展宽后的频谱傅里叶变换的相似性第41页，课件共154页，创作于2023年2月（7）平均值对一个2-D离散函数，其平均值可用下式表示当正反变换采用相同的标度数1/N时，傅里叶变换域原点频谱量为第42页，课件共154页，创作于2023年2月两式比较可得：频谱的直流成分N倍于图像平面的亮度平均值。在使用诸如高通滤波器的场合，其F(0,0)值会衰减，因为图像的亮度在很大程度上受到影响，采用对比度拉伸的方法可以缓和这种衰减。第43页，课件共154页，创作于2023年2月(8)卷积定理卷积定理是线性系统分析中最重要的一条定理。先考虑一维傅里叶变换：同样二维情况也是如此这表明，在时域中的卷积相当于在频域中的乘积。卷积定理指出，在一个域中作卷积，可以在另一个域中作乘法，可以达到相同的效果。第44页，课件共154页，创作于2023年2月6.用傅里叶变换进行图像处理计算图像傅立叶变换的过程：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0）；将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据；然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱第45页，课件共154页，创作于2023年2月频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分第46页，课件共154页，创作于2023年2月6.用傅里叶变换进行图像处理（CONT）对图像在频域内进行滤波:计算图像的傅里叶变换F(u,v)F(u,v)乘以滤波器函数H(u,v)对结果计算DFT反变换第47页，课件共154页，创作于2023年2月傅里叶变换及图像处理（CONT）第48页，课件共154页，创作于2023年2月图像傅里叶变换处理图像——实例1例：对一副图进行傅里叶变换，求出其频谱图，然后利用平移性质，在原图的基础上乘以求傅里叶变换的频谱图（a）原图（b）频谱图（c）中心移到零点的频谱图二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图(−1)x+y第49页，课件共154页，创作于2023年2月结果分析（b）为傅里叶变换的频谱图，观察频谱图可知，在未平移前，图（b）坐标原点在窗口的左上角，即变换后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低频成分。对原图乘以(−1)x+y后进行傅里叶变换，观察频谱图（c）可知，变换后的坐标原点移至频谱图窗口中央，因而围绕坐标原点是低频，向外是高频。可见，图像的能量主要集中在低频区，即图像的中央位置，而相对的高频区（左上、右上、左下、右下四个角）的幅值很小或接近于0。第50页，课件共154页，创作于2023年2月实例2图（a）乘以一指数，将图像亮度整体变暗，并求其中心移到零点的频谱图。（a）变暗后的图（b）变暗后中心移到二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图第51页，课件共154页，创作于2023年2月将原图（a）函数乘以e-1，结果如图4.9(a)对其亮度平均变暗后的图像进行傅里叶变换，并将坐标原点移到频谱图中央位置，结果如图（b）所示。对比后，可以看出当图片亮度变暗后，中央低频成分变小。故从中可知，中央低频成分代表了图片的平均亮度，当图片亮度平均值发生变化时，对应的频谱图中央的低频成分也发生改变。第52页，课件共154页，创作于2023年2月实例3加入噪声后，得到有颗粒噪音的图，并求其中心移到零点的频谱图。（a）有颗粒噪音（b）有颗粒噪音中心移到零点的频谱图二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图第53页，课件共154页，创作于2023年2月实例4对中心为一小正方形和斜长方形求其傅里叶变换的谱分布

傅里叶变换谱分布实例（a）正方形原图（b）正方形的谱分布（c）长方形的原始图像（d）长方形的谱分布第54页，课件共154页，创作于2023年2月左边均为原始图像，右边分别是他们变换后的谱分布。图（a）是中心为一小正方形，周边为空；图(c)是中心为斜置的小矩形。谱分布中，最亮区域表示其变换后的幅值最大。对（c）傅里叶变换后中心移到零点后的结果，我们可以发现当长方形旋转了45o

时，频谱也跟着旋转45o，此实例验证了傅里叶变换的旋转性。第55页，课件共154页，创作于2023年2月实例5对一副图片如图4.12（a）求其幅值谱和相位谱，并对幅值谱和相位谱分别进行图像重构，对比其所求结果（a）源图像第56页，课件共154页，创作于2023年2月（b）幅值谱（c）相位谱（d）幅值谱重构图像（e）相位谱重构图像

傅里叶变换结果第57页，课件共154页，创作于2023年2月从实验结果可以看出，从幅值谱图像中得到的信息比在相位谱图像中得到的信息多；但对幅值谱图像重构后，即忽略相位信息，将其设为0，所得到的图像与原始图像相比，结果差别很大；而对相位谱图像重构后，及忽略幅值信息，将其设为常数，可以从中看出图像的基本轮廓来。第58页，课件共154页，创作于2023年2月傅立叶变换实例（结果）第59页，课件共154页，创作于2023年2月采样数减少一半第60页，课件共154页，创作于2023年2月第61页，课件共154页，创作于2023年2月第62页，课件共154页，创作于2023年2月傅里叶变换的实现（1）Matlab方法图象的二维离散傅立叶频谱。％读入原始图象I=imread(‘i_peppers_gray.bmp’);imshow(I)%求离散傅立叶频谱J=fftshift(fft2(I));%对原始图象进行二维傅立叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置figure（2）;imshow(log(abs(J)),[8,10])第63页，课件共154页，创作于2023年2月（2）OpenCV方法

Fourier=cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,2); dst=cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,2); ImageRe=cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,1); ImageIm=cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,1); Image=cvCreateImage(cvGetSize(src),src->depth,src->nChannels); ImageDst=cvCreateImage(cvGetSize(src),src->depth,src->nChannels); fft2(src,Fourier);//傅里叶变换

fft2shift(Fourier,Image);//中心化

cvDFT(Fourier,dst,CV_DXT_INV_SCALE);//实现傅里叶逆变换 cvSplit(dst,ImageRe,ImageIm,0,0);第64页，课件共154页，创作于2023年2月（3）CDib方法

for(i=0;i<h;i++)//对y方向进行快速付立叶变换

FFT(&TD[w*i],&FD[w*i],wp);

//保存变换结果

for(i=0;i<h;i++) for(j=0;j<w;j++) TD[i+h*j]=FD[j+w*i];

for(i=0;i<w;i++)//对x方向进行快速付立叶变换

FFT(&TD[i*h],&FD[i*h],hp);

第65页，课件共154页，创作于2023年2月for(i=0;i<h;i++) { for(j=0;j<w;j++) {

//计算频谱dTemp=sqrt(FD[j*h+i].real()*FD[j*h+i].real()+FD[j*h+i].imag()*FD[j*h+i].imag())/100; if(dTemp>255) dTemp=255; RGBQUADcolor; color.rgbBlue=dTemp; color.rgbGreen=dTemp; color.rgbRed=dTemp; newbmp.WritePixel(j<w/2?j+w/2:j-w/2,i<h/2?i+h/2:i-h/2,color); } }第66页，课件共154页，创作于2023年2月6.其他离散变换离散余弦变换离散沃尔什变换离散哈达吗变换霍特林变换离散雷登变换离散小波变换第67页，课件共154页，创作于2023年2月（1）离散余弦变换定义形式：离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，简称DCT变换）是一种与傅里叶变换紧密相关的数学运算。在傅立叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数，那么其傅里叶级数中只包含余弦项，再将其离散化可导出余弦变换，因此称之为离散余弦变换。

第68页，课件共154页，创作于2023年2月近年来数字信号处理芯片（DSP）的发展，专用集成电路设计上的优势，使得离散余弦变换（DCT）在目前图像编码中的重要地位，成为H.261、JPEG、MPEG编码标准的重要环节。在视频压缩中，最常用的变换方法是DCT,DCT被认为是性能接近K-L变换的准最佳变换，第69页，课件共154页，创作于2023年2月一维DCT70第70页，课件共154页，创作于2023年2月一维FDCT利用FFT的快速算法基于代数分解的快速算法71第71页，课件共154页，创作于2023年2月一维FDCT利用FFT的快速算法余弦变换核实际上就是傅里叶变换核的实部。而变换计算中的乘法运算就是f(x)与变换核的乘法运算。一种自然的想法就是先对f(x)执行FFT，然后对其取实部就可以了72第72页，课件共154页，创作于2023年2月一维FDCT基于代数分解的快速算法与FFT类似，利用代数分解的FDCT就是利用余弦函数的周期性以及正弦函数与余弦函数之间的关系，同时合理安排计算次序来实现的。73第73页，课件共154页，创作于2023年2月一维FDCT基于代数分解的快速算法74第74页，课件共154页，创作于2023年2月一维FDCT基于代数分解的快速算法75第75页，课件共154页，创作于2023年2月二维DCT由于二维离散余弦变换的可分离性，二维DCT可以用一维DCT来实现

76第76页，课件共154页，创作于2023年2月离散余弦变换（a）原始图像

（b）余弦变换系数（c）余弦反变换恢复图像二维离散余弦变换第77页，课件共154页，创作于2023年2月Matlab实现RGB=imread('image2.jpg');%装入真彩图像figure(1);imshow(RGB);%显示彩色图像GRAY=rgb2gray(RGB);%将真彩图像转换为灰度图像figure(2);imshow(GRAY);%显示灰度图像DCT=dct2(GRAY);%进行余弦变换figure(3);imshow(log(abs(DCT)),[]);%显示余弦变换例78第78页，课件共154页，创作于2023年2月Matlab实现

原图像余弦变换例79第79页，课件共154页，创作于2023年2月应用离散余弦变换在图像压缩中具有广泛的应用例如，在JPEG图像压缩算法中，首先将输入图像划分为88的方块，然后对每一个方块执行二维离散余弦变换，最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送，形成压缩后的图像格式。在接受端，将量化的DCT系数进行解码，并对每个88方块进行二维IDCT，最后将操作完成后的块组合成一幅完整的图像。

80第80页，课件共154页，创作于2023年2月沃尔什变换和哈达码变换第81页，课件共154页，创作于2023年2月沃尔什变换(WalshTransform）设f(x)为一维离散序列，一维离散沃尔什变换表示为：式中u=0,1,2,...,N−1；N=2n沃尔什变换核为：第82页，课件共154页，创作于2023年2月式中bk(z)是z的二进制第k位值，如n=3,N=23=8时，若z=3(二进制表示011），则b0(z)=1,b1(z)=1,b2(z)=0。沃尔什反变换公式为：第83页，课件共154页，创作于2023年2月沃尔什变换主要用于图像变换，属于正交变换，它的特点是快速，因为计算只需加减和偶尔的右移操作。第84页，课件共154页，创作于2023年2月离散哈达玛变换一维离散哈达玛变换

一维离散哈达玛反变换

85第85页，课件共154页，创作于2023年2月离散哈达玛变换86第86页，课件共154页，创作于2023年2月离散哈达玛变换二维离散哈达玛变换

二维离散哈达玛反变换

87第87页，课件共154页，创作于2023年2月霍特林变换88第88页，课件共154页，创作于2023年2月霍特林变换霍特林（Hotelling）变换是一种基于图像统计特性的变换霍特林变换可直接用于对数字图像的变换它在连续域对应的变换是KL（Karhunen-Loeve）变换霍特林变换：特征值变换、主分量变换、离散KL变换89第89页，课件共154页，创作于2023年2月霍特林变换N维随机向量数学期望协方差矩阵均值向量cii是随机变量xi的方差，cij是x的第i分量与第j分量的协方差如果随机向量x的第i分量与第j分量不相关，则cij=cji=090第90页，课件共154页，创作于2023年2月霍特林变换特征值特征向量正交归一向量91第91页，课件共154页，创作于2023年2月霍特林变换取92第92页，课件共154页，创作于2023年2月霍特林变换y的数学期望

y的协方差矩阵

y的协方差矩阵除对角线以外的元素均为零，即y的各分量是彼此不相关的。因此，霍特林变换消除了数据之间的相关性，从而在信息压缩方面起着重要的作用93第93页，课件共154页，创作于2023年2月Radon变换94第94页，课件共154页，创作于2023年2月Radon变换Radon变换是计算图像在某一指定角度射线方向上投影的变换方法二维函数的投影就是其在指定方向上的线积分在垂直方向上的二维线积分就是在x轴上的投影在水平方向上的二维线积分就是在y轴上的投影95第95页，课件共154页，创作于2023年2月Radon变换96第96页，课件共154页，创作于2023年2月Radon变换的Radon变换式97第97页，课件共154页，创作于2023年2月Radon变换98第98页，课件共154页，创作于2023年2月Matlab实现[R,xp]=radon(I,theta)计算图像在指定角度上的radon变换I表示需要变换的图像Theta表示变换的角度R的各行返回theta中各方向上的radon变换值xp表示向量沿轴相应的坐标轴IR=iradon(R,theta)radon逆变换函数radon逆变换可以根据投影数据重建图像,在X射线断层摄影分析中常常使用99第99页，课件共154页，创作于2023年2月Matlab实现0°方向上的Radon变换原图像45°方向上的Radon变换100第100页，课件共154页，创作于2023年2月Matlab实现

原图像连续角度的Radon变换101第101页，课件共154页，创作于2023年2月小波变换第102页，课件共154页，创作于2023年2月1.小波介绍小波在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数具有有限的持续时间和突变的频率和振幅在有限的时间范围内，它的平均值等于零第103页，课件共154页，创作于2023年2月小波介绍(续)部分小波许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，Morlet小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的

正弦波与小波——部分小波第104页，课件共154页，创作于2023年2月小波的发展1807:JosephFourier傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式小波简史小波变换(wavelettransform)是什么老课题：函数的表示方法新方法：Fourier－Haar－wavelettransform第105页，课件共154页，创作于2023年2月小波的发展——傅里叶变换存在的问题只有频率分辨率而没有时间分辨率可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候第106页，课件共154页，创作于2023年2月小波的发展(续)1909:AlfredHaarAlfredHaar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haarwavelets)第107页，课件共154页，创作于2023年2月小波的发展(续)1945:Gabor开发了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的时间-频率关系图

第108页，课件共154页，创作于2023年2月小波的发展(续)1980：Morlet20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家JeanMorlet提出小波变换(wavelettransform，WT)的概念。

20世纪80年代,开发了连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)1986：Y.Meyer法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数用缩放(dilations)与平移(translations)均为2j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展第109页，课件共154页，创作于2023年2月小波的发展(续)1988：Mallat算法法国科学家StephaneMallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法[1]该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位第110页，课件共154页，创作于2023年2月小波的发展与应用小波理论与工程应用InridDaubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系[2]，使离散小波分析变成为现实RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献在信号处理中，自从StephaneMallat和InridDaubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其广泛的应用第111页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析小波分析/小波变换变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系小波变换对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换通过平移母小波(motherwavelet)获得信号的时间信息

通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表局部信号和小波之间的相互关系对比傅立叶变换提供了频率域的信息，但丢失了时间域的局部化信息小波分析中常用的三个基本概念连续小波变换离散小波变换小波重构第112页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)傅立叶分析用一系列不同频率的正弦波表示一个信号一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数小波分析用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号一系列小波可用作表示一些函数的基函数凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好第113页，课件共154页，创作于2023年2月CWT的变换过程CWT变换过程示例，可分如下5步：小波ψ(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较计算系数C——该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高小波右移k得到的小波函数为ψ(t-k)

，然后重复步骤1和2，……直到信号结束扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为ψ(t/2)

重复步骤1~4

连续小波变换的过程第114页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析连续小波变换用下式表示该式含义：小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数Ψ之积在信号存在的整个期间里求和CWT变换的结果是许多小波系数C

，这些系数是缩放因子(scale)和位置(position)的函数第115页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析离散小波变换(discretewavelettransform，DWT)用小波的基函数(basisfunctions)表示一个函数的方法小波的基函数序列或称子小波(babywavelets)函数是由单个小波或称为母小波函数通过缩放和平移得到的缩放因子和平移参数都选择2j(j>0的整数)的倍数，这种变换称为双尺度小波变换(dyadicwavelettransform)第116页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析离散小波变换分析图DWT得到的小波系数、缩放因子和时间关系，见图图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换(shorttimeFouriertransform，STFT)得到的图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的第117页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析小波分解树与小波包分解树由低通滤波器和高通滤波器组成的树原始信号通过一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以迭代，即可进行多级分解。小波分解树(waveletdecompositiontree)用下述方法分解形成的树：对信号的高频分量不再继续分解，而对低频分量连续进行分解，得到许多分辨率较低的低频分量，见图7-7小波包分解树(waveletpacketdecompositiontree)用下述方法分解形成的树：不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量，见图7-8第118页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析

小波分解树第119页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析小波重构重构概念把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构(waveletreconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做逆离散小波变换(inversediscretewavelettransform，IDWT)两个过程在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样(downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采样(upsampling)和滤波两个过程，见图7-10升采样是在两个样本数据之间插入“0”，目的是把信号的分量加长，其过程见图第120页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析(续)小波重构方法图升采样的方法第121页，课件共154页，创作于2023年2月小波分析(续)重构滤波器滤波器关系到能否重构出满意的原始信号。在信号的分解期间，降采样会引进畸变，这种畸变叫做混叠(aliasing)。这就需要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠低通分解滤波器(L)和高通分解滤波器(H)以及重构滤波器(L'和H')构成一个系统，这个系统叫做正交镜像滤波器(quadraturemirrorfilters，QMF)系统，如图所示正交镜像滤波器系统第122页，课件共154页，创作于2023年2月性质2（平移性）

性质3（尺度法则）

性质4（乘法定理）

性质5（反演公式）

2.小波变换的性质性质1（叠加性）

第123页，课件共154页，创作于2023年2月（1）Haar小波第124页，课件共154页，创作于2023年2月（2）Daubechies小波D4尺度函数与小波

D6尺度函数与小波

第125页，课件共154页，创作于2023年2月（3）双正交小波双正交B样条小波滤波器bior2.2,bior4.4常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次B样条。第126页，课件共154页，创作于2023年2月（4）Morlet小波Morlet小波不存在尺度函数;快速衰减.Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波第127页，课件共154页，创作于2023年2月

（5)高斯小波这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。

特性：指数级衰减；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴对称。第128页，课件共154页，创作于2023年2月(6)Marr小波这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。

（也叫墨西哥草帽小波）特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴对称。第129页，课件共154页，创作于2023年2月(7)Meyer小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：第130页，课件共154页，创作于2023年2月(8)Shannon小波在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。第131页，课件共154页，创作于2023年2月(9)Battle-Lemarie样条小波Battle-Lemarie线性样条小第132页，课件共154页，创作于2023年2月基小波举例第133页，课件共154页，创作于2023年2月基小波举例第134页，课件共154页，创作于2023年2月基小波举例第135页，课件共154页，创作于2023年2月基小波举例第136页，课件共154页，创作于2023年2月基小波举例第137页，课件共154页，创作于2023年2月4.Haar小波Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）Haar小波属正交小波。若取，那么Haar波是对称的。系统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。第138页，课件共154页，创作于2023年2月Haar函数Haar基函数基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号，如用基函数的加权和表示哈尔基函数(Haarbasisfunction)定义在半开区间[0，1)上的一组分段常值函数(piecewise-constantfunction)集生成矢量空间V0的常值函数第139页，课件共154页，创作于2023年2月生成矢量空间V1的常值函数

Haar函数(续)第140页，课件共154页，创作于2023年2月Haar函数(续)生成矢量空间V2的常值函数可按照以上方法继续定义哈尔基函数和由它生成的矢量空间Vj，……第141页，课件共154页，创作于2023年2月Haar函数(续)为了表示矢量空间中的矢量，每一个矢量空间都需要定义一个基(basis)，哈尔基定义为为生成矢量空间而定义的基函数也叫做尺度函数(scalingfunction)。哈尔基尺度函数定义为其中，j为尺度因子，使函数图形缩小或放大

i为平移参数，使函数沿x轴方向平移第142页，课件共154页，创作于2023年2月Haar函数(续)Haar小波(函数)最古老和最简单的小波，定义为生成矢量空间W0的Haar小波第143页，课件共154页，创作于2023年2月Haar函数(续)生成矢量空间W1的Haar小波

第144页，课件