第九章齿轮传动

第九章齿轮传动

[要求]掌握直齿圆柱齿轮传动的啮合基本原理、材料、失效形式、受力分析和轮齿的强度计算。了解斜齿圆柱齿轮、锥齿轮和蜗杆传动的啮合特点；

理解齿轮传动的特点和分类。齿廓啮合的基本定律。渐开线和渐开线齿廓的啮合性质。熟练掌握渐开线标准直齿圆柱齿轮各部分名称、几何参数及尺寸计算；

理解渐开线标准直齿圆柱齿轮的正确啮合和连续传动的条件。渐开线齿轮的切齿方法、根切现象及最少齿数

掌握轮齿的失效形式和齿轮材料。直齿圆柱齿轮的强度计算（受力分析、载荷计算、轮齿弯曲强度计算和齿面接触强度计算）。

4.理解标准斜齿圆柱齿轮的齿廓曲面、法面参数与端面参数的关系、几何尺寸计算、当量齿数及优缺点§9.1齿轮传动的应用和种类

第九章齿轮传动

齿轮传动是机械传动中最主要的一类传动，型式很多，应用广泛，传递的功率可达数十万千瓦，圆周速度可达150m/s。本章主要介绍最常用的渐开线齿轮传动。一、齿轮传动的主要特点:1)传动比稳定2)适用范围大3)效率高

3）结构紧凑

4)工作可靠、寿命长

但是齿轮传动的制造及安装精度要求高，价格较贵，且不宜用于传动距离过大的场合。二、分类

直齿圆柱齿轮外啮合按轮齿在圆平行轴间齿轮传动斜齿圆柱齿轮柱体的外、内内啮合（平面齿轮机构）表面或平板上

人字齿轮齿轮与齿条传动

直齿相交轴锥齿轮传动斜齿空间不平行轴传动弧齿（曲线齿）（空间齿轮机构）交错轴斜齿轮传动

交错轴蜗杆传动准双曲面齿轮传动根据两轮轴的相对位置分1）平行轴间齿轮传动

2）

空间非平行轴传动，如图所示。

2、按照齿轮传动工作情况分：1）开式2）闭式3）半开式3、按照齿面硬度（350HBS）分：1）软齿面齿轮2）硬齿面齿轮4、按照齿轮圆周速度分：1）低速（v<3m/s)2）中速(v=3~15m/s)3）高速§9.2齿廓啮合基本定律齿轮传动的基本要求是传动准确、平稳，即要求齿轮传动过程中其瞬时传动比（传动比）必须恒定不变。式中ω1、ω2

分别为主、从动齿轮的角速度。若传动比不恒定将产生惯性力，影响轮齿的强度，使其过早破坏，同时引起振动，影响其工作精度

齿廓啮合基本定律如图9-8所示，O1

、O2分别是两齿轮的转动中心，C1

、C2为两轮相互啮合的任意曲线齿廓。若两轮齿廓在K

点接触，则齿轮1

和齿轮2

在K点的速度分别为：

在公法线n-n方向上的分速度应相等，否则，两齿廓不是彼此分离就是相互嵌入而不能正常传动不论轮齿齿廊在任何位置接触，过接触点所作齿廓的公法线均须通过节点P。使P成为连心线上的一个固定点。此固定点P称为节点。节圆：通过节点的两圆有相同的圆周速度，它们之间作纯滚动齿廓啮合基本定律：§9-3渐开线及渐开线齿轮（一）渐开线的形成及其特性

当一直线沿一圆周作纯滚动时，此直线上任一点的轨迹即称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，而该直线则称为发生线。渐开线的特性发生线所滚过的一段长度必等于基圆上被滚过的一段圆弧的长度，即：发生线即渐开线的法线；基圆是由发生线所画出的渐开线曲率中心的几何位置，线段

为渐开线上

点的曲率半径；渐开线愈接近基圆部分，其曲率半径愈小；渐开线上任意一点的法线必与基圆相切，反之亦然。渐开线的形状完全决定于基圆的大小。基圆大小相同，所形成的渐开线相同。基圆愈大渐开线愈平直，当基圆半径为无穷大时，渐开线就变成一条与发生线垂直的直线（齿条的齿廓就是直线）基圆以内无发生线。压力角渐开线上任一点法向压力的方向线（即渐开线在该点的法线）和该点速度之间的夹角称为该点的压力角。图9-9中

即为渐开线上

点的压力角。由图可知：故压力角

的大小随

点的位置而异，点距圆心

愈远，其压力角愈大。（二）渐开线齿轮能符合齿廓啮合基本定律用渐开线作为齿廓的齿轮称为渐开线齿轮。以渐开线

和

为齿廓的两轮在任意点

接触。过

点做、的公法线，根据渐开线特性可知，此公法线为两基圆的内公切线。因两基圆为定圆，而两定圆在同一方向的内公切线只有一条，所以无论此两齿廓在何处接触（如

点接触），其公法线都与

重合，即

为一定线，又称为啮合线。故它与连心线

的交点

必为定点，此点即为节点。所以，渐开线齿轮能符合齿廓啮合基本定律，其传动比

啮合点的齿廓公法线与两节圆的过

点的公切线

的夹角

称为啮合角。由图中几何关系可知，它在数值上等于齿廓在节圆上的压力角。§9-4渐开线标准齿轮的各部分名称

及其基本尺寸一、各部分名称轮齿齿数Z齿槽齿顶圆da齿根圆df

在齿轮的任意直径dr

的圆周上，一个轮齿左右两侧齿廓间的弧线长称为该圆上的齿厚，用sr来表示；而一齿槽的两侧齿廓之间的弧线长称为该圆上的齿槽宽，用

er来表示；一齿的一点至相邻齿的相应点间的弧线长称为该圆上的齿距，用

pr来表示，则：分度圆、模数设为任意圆的直径，为齿轮的齿数，根据齿距的定义可得或上式中含有无理数“

”，为了便于设计、制造及互换使用，我们在齿轮上取一圆，使该圆上的值等于一些比较简单的数值，并使该圆上齿廓的压力角等于规定的某一数值，这个圆称为分度圆。分度圆上的压力角以表示，我国采用20°为标准值，其他各国常用的压力角还有15°、14.5°等等。分度圆上的齿距对的比值以来表示，称为模数。分度圆上的模数、齿距、齿厚及齿槽宽的关系为当齿数与模数一定时，齿轮的分度圆即为一定。由可知，模数愈大，则轮齿愈厚。其弯曲强度也就愈大。分度圆模数分析齿顶、齿根、标准齿轮齿顶高齿根高齿高

齿顶高系数与顶隙系数等于标准数值，且分度圆上齿厚与齿槽宽相等的齿轮称为标准齿轮。因此，在标准齿轮中：

对于一对模数、压力角相等的标准齿轮，由于其分度圆上的齿厚与齿槽宽相等，因此标准安装时可使两轮的分度圆相切作纯滚动，这时，分度圆与节圆重合。齿顶高系数顶隙系数正常齿短齿标准安装

标准安装一词仅从研究齿轮啮合原理的角度提出的，其含义是指一对齿轮安装后，外啮合齿轮传动的中心距内啮合传动的中心距由于加工、装配误差，严格地讲标准安装是很难作到的。分度圆、节圆区别啮合角与压力角外啮合标准直齿圆柱齿轮各部分尺寸的几何关系9-5一对渐开线齿轮的啮合一、渐开线齿轮正确啮合的条件两齿轮的模数必须相等；两齿轮分度圆上的压力角必须相等。这样，一对齿轮的传动比可写成二、渐开线齿轮的可分性

由于制造、安装的不准确以及轴承的磨损，均可使齿轮传动的中心距与设计值不符，但由上式可以看出，当两齿轮制成之后，其分度圆直径和基圆直径均已确定，因而传动比也就确定，故中心距值虽略有改变，但对传动比并不发生影响，此即渐开线齿轮的可分性。这个特性在实用中具有很重要的意义。（三）重合度实际啮合线段B1

B2理论啮合线段N1

N2理论啮合线段为内公切线哪一条？实际啮点B1

、B2的确定啮合弧一对齿从开始啮合到终止啮合时止，其分度圆上任一点所经过的弧线距离称为啮合弧。如图9-12所示，圆弧就是啮合弧。重合度啮合弧与齿距之比称为重合度，以表示，重合度的大小，表示同时处于啮合的轮齿对数所占的时间比例。表示始终只有一对轮齿啮合，表示始终有两对轮齿在啮合。表示在某一段时间内，有45%的时间为两对轮齿啮合，而其余的55%时间为一对轮齿啮合显然，重合度愈大，同时参加啮合的轮齿就愈多，传动就愈平稳，每对轮齿承担的载荷也愈小。由于制造齿轮时轮廓必然有少量的误差，故设计齿轮时必须使啮合弧比齿距大一些，即重合度。标准圆柱齿轮的重合度的近似计算标准圆柱齿轮的重合度可按下式近似计算：对于直齿圆柱齿轮，。若大、小齿轮的齿数，代入上式得。可见，一般情况下

总大于1。齿轮精度高。允许的

值可小些；反之，精度愈低，值就要求大些。实际上，重合度

在很大程度上由齿轮制造精度及在载荷作用下轮齿的弹性变形所决定。在一般的机械制造业中，；在汽车与拖拉机工业中，；在金属切削机床制造业中，。下一节例题一

已知一正常齿制的标准直齿圆柱齿轮，齿数，模数，拟将该齿轮用作某传动的主动轮，现需配有从动轮，要求传动比，试计算从动轮的几何尺寸及两轮的中心距。解：先根据传动比计算从动轮的齿数已知齿轮的齿数和模数，由表9-2所列公式可以计算从动轮的各部分尺寸。分度圆直径齿顶圆直径齿根圆直径全齿高中心距9-6轮齿切削加工方法的原理

齿轮轮齿的加工方法很多，如铸造法、热轧法、切削法等。其中最常用的是切削法。切削法可分为仿形法和范成法两种。一、仿形法仿形法是最简单的切齿方法，轮齿是用圆盘铣刀或指形铣刀铣出的，圆盘铣刀和指形铣刀的外形与齿轮的齿槽形状相同（图9-13a和b）。铣齿时，把齿轮毛坯安装在机床工作台上，圆盘铣刀B绕本身的轴线旋转，而齿轮毛坯A沿平行于齿轮轴线方向，作直线移动。铣出一个齿槽后，将齿轮毛坯转过，再铣第二个齿槽，其余依此类推。优点：缺点：1）加工精度低A)齿形误差；B）分度误差2）加工效率低（二）范成法

范成法是较完善的切齿方法，因而其应用甚广。用此法切削齿轮时所用的刀具有三种：齿轮插刀、齿条插刀及滚刀。齿轮插刀齿轮插刀（图a）是一个具有渐开线齿形而模数和被切削齿轮模数相同的刀具。在加工时，插刀沿轮坯轴线方向作迅速的往复运动，同时在退刀之后，插刀与轮坯以所需的角速度转动，宛如一对齿轮互相啮合一样（图b）当被切削轮坯转过一周后，即可切出所有的轮齿。用这种刀具加工所得的轮齿齿廓为插刀刀刃在各个位置的包络线，就像插刀在轮坯上滚动一样，如图c所示。缺点齿条插刀

当齿轮插刀的齿数增至无穷多时，其基圆半径变为无穷大，渐开线齿廓变为直线齿廓，齿轮插刀变为齿条插刀。图9-15a所示为齿条插刀切削轮齿时的情形，其原理与齿轮插刀切削轮齿相同。用齿条插刀加工所得的轮齿齿廓亦为其刀刃在各个位置的包络线，如图9-15b所示。加工运动分析1、范成运动2、切削运动3、进给运动4、让刀运动滚刀滚刀是蜗杆形状的铣刀，加工时，滚刀刀刃在轮坯端面上的投影为一具有直线齿廓的齿条。用滚刀切削齿轮时，轮坯与滚刀分别绕本身轴线转动；同时，滚刀有沿着轮坯的轴向进刀（图9-16），因而起加工原理和齿条插刀完全相同。无让刀运动，效率更高9-7根切、最少齿数及变位齿轮的概念用范成法加工齿轮时如果齿轮的齿数太少，则切削刀具的齿顶就会切去轮齿根部的一部分，这种现象称为根切。

如图9-17所示，虚线表示该轮齿的理论齿廓，实现表示根切后的齿廓。轮齿发生根切后，抗弯曲的能力降低，并减小了重合度，对传动不利，必须设法避免。常采用下列方法避免根切：限制小齿轮的最少齿数；采用变位齿轮。根切（1）最少齿数

为了保证不发生根切，要使所设计齿轮的齿数大于不产生根切的最少齿数。用滚刀切削齿轮时，对于各种标准刀具最少齿数的数值为：当时；时。（2）变位齿轮

若被加工齿轮的齿数小于最少齿数，为了避免根切，可将刀具从虚线位置退出一段距离xm，而移至实线所示的位置，如图9-18所示，使刀具的齿顶线与啮合线交于N1点或N1点以内，这样就不会发生根切了。这种方法称为变位修正法。xm称为移距，而x称为变位系数。采用变位修正法制造齿轮，不但可以使齿数的齿轮不发生根切，而且还可以提高齿轮的强度及传动的质量指标。正变位负变位§9-8齿轮的材料机械制造业中，常用的齿轮材料有下列几种：

锻钢；铸钢；铸铁；非金属材料。（一）锻钢锻钢是制造齿轮的主要材料，一般用含碳量为0.1%~0.6%的碳素钢或合金钢。按照加工技术及承载能力，钢齿轮可以分为两类：1、轮齿工作表面硬度≤350HBS的齿轮这类齿轮的轮齿是在热处理（调质或正火）后进行精加工，因此其工作表面硬度就受到限制，通常在180~280HBS之间。这类齿轮常用的材料是45、35SiMn、42SiMn、40Cr、35CrMo及40MnB等。一对齿轮中，若两齿轮的材料和齿面硬度相同时，因小齿轮转速高，应力循环次数多，故寿命较短。为了使大、小齿轮的寿命接近，应使小齿轮的齿面硬度比大齿轮高25~50HBS。2、轮齿工作表面>350HBS的齿轮

这类齿轮的轮齿是在精加工后进行最终热处理的，其热处理方法常为淬火、表面淬火等。通常硬度为40~60HRC。在最终的热处理后，不可避免地回产生变形，必要时可用磨削或研磨的方法加以消除。这类齿轮常用的材料是20Cr、20CrMnTi或20Mn2B（表面渗碳淬火）；45、35SiMn、42SiMn、40Cr（表面淬火或整体淬火）等。齿面硬度大于350HBS的齿轮多为大量生产的及尺寸和重量要求较小的齿轮，例如航空发动机、机床、汽车几拖拉机中的齿轮。（二）铸钢

当齿轮较大（一般d>400~600mm）而轮坯不宜锻出时，可采用铸钢齿轮。常用的铸钢有ZG310~570、ZG340~640等。钢铸件由于铸造时收缩性大、内应力大，故应进行正火或回火处理以消除内应力。（三）铸铁

铸铁齿轮主要用于开式的低速齿轮传动中，其抗弯强度与抗冲击能力了都较低，因而铸铁齿轮尺寸较大。优质铸铁的弯曲强度及接触强度均较普通铸铁高，故有时用来代替铸钢。常用的铸铁有HT200、HT300以及球墨铸铁QT500-7等。（四）非金属材料

为了消除高速运转时齿轮传动的噪声，可采用非金属材料制造齿轮。常用的非金属材料有塑料、皮革等。制造齿轮的塑料有布质塑料、木质塑料以及尼龙等。这种齿轮多与另一个由锻钢或铸铁制造的齿轮配合使用，它们的承载能力较低。9-9轮齿的失效形式及计算准则一、轮齿的失效形式1、轮齿折断弯曲疲劳折断若轮齿单侧工作，弯曲应力是按脉动循环变化的；若轮齿双侧工作，则弯曲应力是按对称循环变化的。由于轮齿根部产生弯曲应力，并且在齿根的过渡圆角处具有较大的应力集中，因此在载荷重复作用下就会出现疲劳裂纹（图9-19）。随着裂纹的不断扩展，终于招致轮齿折断，这种折断称为弯曲疲劳折断。

用脆性材料（如铸铁、淬火钢）制成的齿轮，由于材料抗冲击和过载能力较差，因此，当受到过载或冲击时，常会引起轮齿的突然折断。此外，由于齿轮制造或安装不精确，以及轴的变形，而使载荷集中在齿的一端，也会造成轮齿局部折断。2、齿面磨粒磨损3、齿面点蚀

齿面点蚀是闭式齿轮传动的主要失效形式。轮齿工作时，其表面接触应力是按脉动循环变化的。当接触应力超过表面材料的接触疲劳极限时，齿面就会出现微小的疲劳裂纹。裂纹的蔓延扩展，导致齿面表层金属呈点状剥落，形成麻点状小坑，齿面这种疲劳损伤称为点蚀。

观察图9-19得知，疲劳点蚀3一般出现在齿根表面靠近节线1处。随着点蚀的不断扩展，致使啮合情况恶化，从而导致传动失效。4、齿面胶合胶合主要发生在高速重载齿轮传动中。为了防止胶合，必须采用粘度大的润滑油（低速传动）或抗胶合能力强的润滑油（高速传动）开式齿轮主要失效形式：1）齿面磨粒磨损；2）轮齿折断闭式齿轮主要失效形式：1）齿面点蚀；2）弯曲疲劳折断（二）计算准则

在工程实践中，对于一般用途的齿轮传动，通常只作齿根弯曲疲劳强度及齿面接触疲劳强度的计算。闭式齿轮：软齿面齿轮：按齿面接触疲劳强度的设计（确定齿轮的主要尺寸），再按齿根弯曲疲劳强度进行校核。硬齿面齿轮：按弯曲疲劳强度的设计，再按齿面疲劳强度校核。开式齿轮传动：因目前磨损还无法计算，故按弯曲疲劳强度计算出模数。考虑到磨损后轮齿变薄，一般把计算的模数增大10%~15%，再取相近的标准值。9-10直齿圆柱齿轮轮齿表面的

接触疲劳强度计算一、作用力分析

为作用于轮齿工作表面的法向力，其方向沿啮合线。可以分解为两个分力：圆周力径向力式中为小齿轮传递的转矩；为小齿轮节圆直径（mm）；为啮合角。圆周力的方向，在主动轮上和转动方向相反，在从动轮上和转动方向相同。径向力的方向有作用点指向轮心。二、轮齿的接触疲劳强度计算

由于在齿根部分靠近节线处最易出现疲劳点蚀，因此，轮齿齿面的接触疲劳强度计算近似地以节点处为准。由图9-22可得接触疲劳强度的验算公式、设计公式对于啮合角的一对钢齿轮，验算公式为在设计时，一般需确定传动的中心距。设，为齿宽系数，设计公式为mm如配对齿轮的材料改变时，应将上两式中的335和48作如下改变：钢对灰铸铁时改为290及44；钢对球墨铸铁时改为320几47；灰铸铁对灰铸铁时改为258及40。由公式可知，当一对齿轮的材料、传动比及齿宽系数一定时，由轮齿表面接触强度所决定的承载能力，仅与中心距有关，即与的乘积有关，而与模数或齿数的单独一项无关。齿宽系数ψa的选取

由接触疲劳强度计算公式可知，齿宽系数ψa愈大，则中心距a愈小，但齿宽b大，若结构的刚性不够，齿轮制造和安装不准确，则容易发生沿齿宽载荷分布不均的现象，致使轮齿折断。ψa的数值一般可按下列推荐值选取：轻型减速器ψa=0.2~0.4中型减速器ψa=0.3~0.6重型减速器ψa=0.8特殊情况下ψa可达1~1.2齿轮对轴承对称布置时ψa可取大值；反之。取小值；悬臂布置时应取下限值。§9-11直齿圆柱齿轮轮齿的

弯曲疲劳强度计算

在计算轮齿弯曲强度时，可以把轮齿看作一个悬臂梁。当轮齿开始（或终止）啮合时，法向力作用在齿顶上（图9-23）。可以分解为使轮齿受弯曲的分力和使轮齿受压缩的分力。产生的压缩应力一般较小，通常略去不计，轮齿的计算应根据力所产生的弯曲应力来计算。轮齿弯曲疲劳强度计算公式设BC为轮齿的危险截面，它的宽度为s1，它与力的距离为l。则危险截面上的弯曲应力为令

为齿形系数弯曲疲劳强度的验算公式、设计公式

齿形系数值只与齿形有关（即与压力角、齿顶高系数以及齿数有关），而与模数无关（因为及均与成正比）。验算公式为：设计公式为：

齿宽系数的选取参阅上一节。在满足弯曲强度的条件下，宜选取较大的齿数，因齿数增多，则齿轮的重合度大，传动平稳，摩擦损失小、制造费用低。在对于齿面硬度≤350HBS的闭式传动，最好取；对于开式传动及齿面硬度≥350HBS的闭式传动，宜适当减少齿数，但一般不小于17（标准齿轮）。应用设计公式计算模数时，应将、中较大的数值代入计算，这样可使大、小齿轮的弯曲强度均得到满足。下列两对标准正常齿制的齿轮中，哪一对齿轮的接触疲劳强度大？哪一对齿轮的弯曲疲劳强度大？

1）Z1

＝20，Z2

＝40，m=4mm

2）Z1

＝40，Z2

＝80，m=2mm9-12斜齿圆柱齿轮传动一、斜齿圆柱齿轮的形成原理

直齿圆柱齿轮实际齿轮齿廓侧面的形成如图9-25所示，平面S沿母线MM切于齿轮的基圆柱上。当平面S在基圆柱上作纯滚动时，其上任一平行与母线的直线AA将展出一渐开线曲面，此曲面即齿轮的齿侧面，它与轮轴垂直面交线即为渐开线。直齿圆柱齿轮齿廓侧面的形成斜齿圆柱齿轮齿廓的形成

当平面S沿基圆作纯滚动说，其上与母线成一倾斜角度的直线AA上任一点的轨迹都是圆的渐开线，而整个直线AA的轨迹为一渐开线的螺旋面，此即斜齿圆柱齿轮的齿廓侧面。直线AA与母线MM见的家教称为基圆柱上的螺旋角βb。斜齿圆柱齿轮的齿廓在任何啮合位置时，其接触线都是与轴线不相平行的斜线，如图9-27所示。从两齿开始啮合时起，齿的接触线长度由零逐渐增长，以后又逐渐缩短直到脱离啮合。外啮合平行轴斜齿圆柱齿轮啮合条件：1）两轮的模数和压力角相等；2）两轮分度圆上的螺旋角的大小也必须相等而方向相反，即一为左旋而另一为右旋（旋向判断！）啮合特点：斜齿圆柱齿轮的优缺点优点

啮合情况好，齿廓误差对传动的影响较小；重合度大，工作平稳；与直齿圆柱齿轮相比较，当精度相同时，允许的速度较高。缺点

斜齿圆柱齿轮在工作中产生轴向力Fa（如图9-28a），往往要用角接触轴承来承受这个轴向力。

采用人字齿轮（图9-28b）就可以消除轴向力的影响。人字齿轮的左右两侧轮齿对称，故两侧所产生的两个轴向力相互平衡。人字齿轮的优点是强度高、传动平稳，达的缺点是制造较困难。宜用于传递大功率，常用在轧钢机、矿山机械等重型机械中。（二）斜齿圆柱齿轮的齿距、模数及重合度端面t，端面模数mt

，齿距pt法面n，法面模数mn，法面齿距pn刀具的进刀方向垂直于法面，因此齿轮的法向模数与刀具模数相同。故mn为标准模数。由于斜齿圆柱齿轮的穿与轮轴的方向成一螺旋角，所以使齿轮传动的啮合弧增大了一段。与斜齿轮端面齿廓相同的直齿圆柱齿轮的重合度为，则斜齿圆柱齿轮的重合度为B为齿轮宽度b为齿宽当量齿数zv

为了选