高中数学函数知识点(详细)

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第二章函数一、函数1、函数的概念：函数是指从一个集合到另一个集合的映射关系，使得每个自变量都有唯一对应的函数值。其中，自变量的取值范围为函数的定义域，函数值的集合为函数的值域。2、函数的三要素：函数的三要素包括定义域、值域和对应法则。3、相同函数的判断方法：判断函数是否相同，需要满足两个条件：表达式相同且定义域一致。2、定义域：1）定义域的定义：定义域是指函数自变量的取值范围。2）确定函数定义域的原则：函数的定义域应该是使函数有意义的实数的全体构成的集合。3）确定函数定义域的常见方法：如果函数是整式，则定义域为全体实数；如果函数是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；如果函数是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数；如果函数是对数函数，则真数必须大于零；如果函数是指数或对数式，则底必须大于零且不等于1；如果函数是复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定；如果函数是指数为零底，则底不可以等于零，如x≠1(x≠0)；如果函数是实际问题中的函数，则定义域还要保证实际问题有意义。4）求抽象函数（复合函数）的定义域：如果已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则可以求出f(x)的定义域；如果已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1)，则可以求出f(1-3x)的定义域。3、值域：1）值域的定义：函数的值域是指与自变量相对应的函数值的集合。2）确定值域的原则：确定函数的值域需要先求出函数的定义域。3）常见基本初等函数值域：常见的基本初等函数包括一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和三角函数（正余弦、正切）。4）确定函数值域的常见方法：可以通过直接法来求出函数的值域，即从自变量的范围出发，推出函数值的取值范围。例如，对于函数y=x+1，由于x≥0，因此y≥1，所以函数y=x+1的值域为[1,+∞)。配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。对于形如F(x)=af(x)+bf(x)+c的函数，可使用配方法求其值域。例如，对于函数y=-x+4x+2（x∈[-1,1]），我们可以先将其化简为y=-(x-2)+6，然后根据x∈[-1,1]，得到x-2∈[-3,-1]，从而1≤(x-2)≤9。因此，-3≤-(x-2)+6≤5，即-3≤y≤5。因此，函数y=-x+4x+2（x∈[-1,1]）的值域为[-3,5]。分离常数法适用于分子、分母是一次函数得有理函数。例如，对于函数y=(1-x)/(2x+5)-(2x+5)/(1-x^2)，我们可以将其化简为y=-1/(2(x+5/2))+x/(1-x^2)，然后根据y≠-1，得到函数y=(1-x)/(2x+5)-(2x+5)/(1-x^2)的值域为{y|y≠-1}。换元法适用于通过代数代换将函数化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。例如，对于函数y=2x+1-2/x，我们可以令t=1-2x（t≥0），然后化简得到y=-t^2+t+1=-(t-1/2)^2+5/4。因此，当t=1/2时，y取得最大值5/4，无最小值。因此，函数y=2x+1-2/x的值域为(-∞,5/4]。判别式法适用于将函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=(a1x^2+b1x+c1)y^2+(a2x^2+b2x+c2)y+(a3x^2+b3x+c3)的形式，然后通过判别式Δ≥0来确定函数的值域。例如，对于函数y=(x^2-x+3)/(x-x^2+1)，我们可以将其化简为(y-1)x-(y-1)x^2+y-3=0，然后根据Δ=(y-1)^2-4(y-1)(y-3)≥0，解得1≤y≤(1+√5)/2或(1-√5)/2≤y<1。因此，函数y=(x^2-x+3)/(x-x^2+1)的值域为{y|1≤y≤(1+√5)/2或(1-√5)/2≤y<1}。函数的表示方法有解析法、列表法和图象法。其中，解析法是通过公式或式子来表示函数；列表法是通过列举函数在不同自变量取值下的函数值来表示函数；图象法是通过绘制函数的图象来表示函数。常见求函数解析式的方法有以下几种：①换元法：通过将函数中的自变量进行替换，将原来的函数转化为已知函数，从而求出函数的解析式。②解方程组法：通过列出函数的方程组，利用已知条件求解出函数的解析式。③待定系数法：通过设定函数的一般形式，利用已知条件求解出函数的系数，从而得到函数的解析式。④配变量法：通过将函数中的自变量进行变换，将原来的函数转化为已知函数，从而求出函数的解析式。⑤特殊值代入法：通过取特殊值代入函数中，利用已知条件求解出函数的解析式。⑥利用给定的特性求解析式：通过已知函数的奇偶性、周期性等特性，求解出函数的解析式。此外，还有一种常见的函数类型是分段函数，它在不同的自变量取值区间中有不同的对应关系，但仍然是一个函数，需要注意定义域和值域的问题。段区间上的图象是单调上升或单调下降的；如果函数yf(x)在某个区间上是增函数，则函数的图象随着自变量的增大而上升；如果函数yf(x)在某个区间上是减函数，则函数的图象随着自变量的增大而下降；2.函数的奇偶性(对称性质)（1）奇函数和偶函数若函数yf(x)对于任意xR都有f(x)f(x)，则称函数yf(x)为奇函数.若函数yf(x)对于任意xR都有f(x)f(x)，则称函数yf(x)为偶函数.（2）函数的图象奇函数在原点对称，即图象关于原点对称；偶函数在y轴对称，即图象关于y轴对称；3.函数的周期性若存在常数T(T0)，对于函数yf(x)的定义域上的任意x，都有f(xT)f(x)，则称函数yf(x)是以T为周期的函数，T称为函数的周期.例：ysinx，ycosx，ytanx都是以π为周期的函数.改写：1.分段函数的定义域时，需要确保区间端点不重不漏。2.复合函数指的是，当y=f(u)（u∈M）且u=g(x)（x∈A）时，y=f[g(x)]=F(x)（x∈A），称为f、g的复合函数。3.函数图象问题包括熟悉各种基本初等函数的图象，以及图象变换，如平移、对称和翻折。需要注意的是，带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法、平方法和图象法。4.函数的定义域需要根据具体函数进行求解。5.函数的值域需要根据具体函数进行求解。6.函数的单调性是函数的局部性质，增减函数和单调区间的定义需要根据具体函数进行求解。函数的图象特点包括单调上升或单调下降。7.函数的奇偶性指的是函数关于原点或y轴的对称性质。奇函数在原点对称，偶函数在y轴对称。8.函数的周期性指的是函数在一定区间内的重复性。函数的周期需要根据具体函数进行求解。在一个单调区间上，增函数的图像从左到右是上升的，减函数的图像从左到右是下降的。单调区间和单调性的判定方法有三种，分别是定义法、图象法和复合函数的单调性。其中定义法需要任取区间内的两个点，作差并判断正负，最终得出函数在给定区间上的单调性。图象法可以从图像上观察函数的升降情况。复合函数的单调性与构成它的函数的单调性密切相关，遵循“同增异减”的规律。需要注意的是，函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能将单调性相同的区间合并为一个区间。常用的结论包括：函数y=-f(x)和函数y=f(x)的单调性相反；函数f(x)和f(x)+c（c为常数）具有相同的单调性；当c>0时，函数f(x)和cf(x)具有相同的单调性，当c<0时，它们具有相反的单调性；若f(x)不等于0，则函数f(x)和1/f(x)具有相反的单调性；在公共区间内，增函数加增函数为增函数，减函数加减函数为减函数，增函数减减函数为增函数，减函数减增函数为减函数；若f(x)>0，g(x)>0，并且f(x)和g(x)都是增（或减）函数，则f(x)×g(x)也是增（或减）函数；若f(x)<0，g(x)<0，并且f(x)和g(x)都是增（或减）函数，则f(x)×g(x)也是增（或减）函数。举例来说，对于函数y=loga(ax-x)，在闭区间[2,4]上是否存在实数a使其为增函数？当a>1时，只需满足g(x)=ax-x在闭区间[2,4]上为增函数即可，从而得到a>1/2。当0<a<1时，只需满足g(x)=ax-x在闭区间[2,4]上为减函数即可，但此时无解。因此，当a属于区间(1,∞)时，函数y=loga(ax-x)在闭区间[2,4]上为增函数。如果$f(x)>0$且在定义域上是增函数，则$f(ax+b)$也是增函数，其中$a>0$且$b$为任意实数。常见函数的单调性包括一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数$y=x$以及$f(x)=x^n(n>1)$和$f(x)=k^x(k>1)$。可以利用函数的单调性来求函数的最值，首先确定函数的定义域，将复合函数分解为基本的初等函数，然后分别判断其单调性，根据同增异减判断。例如，求函数$f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$在区间$[2,6]$上的最大值和最小值。函数的奇偶性是指对于函数$f(x)$的定义域$D$内的任意一个$x$，若$-x\inD$且$f(-x)=f(x)$（或$f(-x)=-f(x)$），则$f(x)$就是偶函数（或奇函数）。偶函数的图象关于$y$轴对称，奇函数的图象关于原点对称。判断函数奇偶性的步骤包括确定函数的定义域并判断其是否关于原点对称，确定$f(-x)=-f(x)$或$f(-x)=f(x)$是否成立，作出相应结论。注意，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。若不对称，则函数是非奇非偶函数；若对称，则再根据定义判定，或由变式$f(-x)\pmf(x)=0$或$f(-x)/f(x)=\pm1$来判定，可以利用定理或借助函数的图象判定。函数奇偶性的重要结论包括具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；若$f(x)$和$g(x)$是定义域分别为$D_1$和$D_2$的奇函数，则在$D_1\capD_2$上，$f(x)+g(x)$是奇函数，$f(x)\cdotg(x)$是偶函数；奇$\pm$奇=奇，奇$\cdot$奇=偶，偶$\pm$偶=偶，偶$\cdot$偶=偶，奇$\cdot$偶=奇；若$f(x)$是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的；若$f(x)$的定义域关于原点对称，则$F(x)=f(x)+f(-x)$是偶函数，$F(x)+G(x)$是奇函数；若$f(x)$既是奇函数又是偶函数，则$f(x)=0$；复合函数的奇偶性：内层是偶函数，则$y=f[g(x)]$是偶函数；内层是奇函数，外层是奇函数，则$y=f[g(x)]$是奇函数；外层是偶函数，则$y=f[g(x)]$是偶函数。a+b/2对称。若函数f(x)为偶函数，则其图象关于y轴对称；若函数f(x)为奇函数，则其图象关于原点对称。例：设周期函数f(x)的最小正周期为2，且f(x)在[0,2]上的表达式为f(x)=x(x-2)，求f(x)在[0,6]上的表达式。解：由题可知，f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期为2。又因为f(x)为二次函数，所以可以判断其为偶函数。因此，在[0,2]上，f(x)=x(x-2)关于y轴对称，可得f(x)=-(x-2)(x-4)在[-2,0]上也成立。由于f(x)的周期为2，所以在[2,4]上，f(x)=f(x-2)=-(x-4)(x-6)。在[4,6]上，f(x)=f(x-4)=x(x-2)。综上所述，f(x)在[0,6]上的表达式为：f(x)=x(x-2)，0≤x<2-(x-2)(x-4)，2≤x<4-(x-4)(x-6)，4≤x<6x(x-2)，6≤x≤81.若满足$f(x+a)=-f(b-x)$的函数的图像关于点$(\frac{a+b}{2},\frac{1}{2})$对称。2.点$(x,y)$关于$y$轴的对称点为$(-x,y)$，函数$y=f(x)$关于$y$轴的对称曲线方程为$y=f(-x)$。3.点$(x,y)$关于$x$轴的对称点为$(x,-y)$，函数$y=f(x)$关于$x$轴的对称曲线方程为$y=-f(x)$。4.点$(x,y)$关于原点的对称点为$(-x,-y)$，函数$y=f(x)$关于原点的对称曲线方程为$y=-f(-x)$。5.函数$y=f(x+a)$与函数$y=f(b-x)$关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称。对称轴的求法为$x=\frac{b-a}{2}$，$y=f(x+a)$与$y=f(b-x)$的对称轴的求法为$a+x=\frac{b}{2}$，即$x=\frac{b-a}{2}$。6.已知函数$f(x-1)=x^2-4x$，求函数$f(x)$，$f(2x+1)$的解析式。7.已知函数$f(x)$满足$2f(x)+f(-x)=3x+4$，则$f(x)=\frac{3x+4-f(-x)}{2}$。8.设$f(x)$是$\mathbb{R}$上的奇函数，且当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)=x(1+3x)$，则当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)=-x(1+3x)$。$f(x)$在$\mathbb{R}$上的解析式为$f(x)=\begin{cases}x(1+3x),&x\geq0\\-x(1+3x),&x<0\end{cases}$。9.求下列函数的单调区间：⑴$y=x^2+2x+3$，$y$在$(-\infty,-1]$上单调递减，在$[-1,+\infty)$上单调递增；⑵$y=-x^2+2x+3$，$y$在$(-\infty,1]$上单调递增，在$[1,+\infty)$上单调递减；⑶$y=x^2-6x-1$，$y$在$(-\infty,3]$上单调递减，在$[3,+\infty)$上单调递增。10.函数$y=-x^3+1$的单调性：$y'=-3x^2<0$，即$y$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增。11.设函数$f(x)=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+x)$，判断它的奇偶性并证明：$f(-x)=\frac{1}{2}(\frac{1}{-x}+(-x))=-f(x)$，即$f(x)$是奇函数。12.一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系：-若判别式$\Delta=b^2-4ac>0$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$有两个不等实根，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不等实根，一元二次不等式$ax^2+bx+c>0$的解集为$x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$，其中$x_1,x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根。-若判别式$\Delta=0$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$有一个重根，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有一个重根，一元二次不等式$ax^2+bx+c>0$的解集为$x\in(-\infty,x_0)\cup(x_0,+\infty)$，其中$x_0$是方程$ax^2+bx+c=0$的唯一实根。-若判别式$\Delta<0$，则二次函数$y=ax^2+bx+c$无实根，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$无实根，一元二次不等式$ax^2+bx+c>0$的解集为$x\in\mathbb{R}$。1.一元二次方程的实根分布对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其中$a>0$，$b^2-4ac>0$，它的实根$x_1$和$x_2$的分布可以通过比较标准$K$来判断。其中$K$是一个实数。如果方程有两个相等的实根$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$，那么它们都等于$-\frac{b}{2a}$。如果方程没有实根，则实数集$\mathbb{R}$中不存在满足方程的解。如果方程有两个不相等的实根$x_1<x_2$，那么它们的分布满足$x_1<K<x_2$。2.实根分布与二次函数的图象方程一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实根分布可以通过二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象方程来判断。如果$b^2-4ac>0$，则二次函数的图象与$x$轴有两个交点，分别为$x_1$和$x_2$。此时，$x_1<x_2$。如果$b^2-4ac=0$，则二次函数的图象与$x$轴有一个交点