河南省郑州市铁道中等专业学校高三数学理下学期期末试题含解析

河南省郑州市铁道中等专业学校高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为()（A）18

（B）24

（C）

36

（D）

48参考答案：C3.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（

）A.③④ B.①② C.②④ D.①③④参考答案：A【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.4.已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由条件可得得x02+y02＞4，再利用点到直线的距离公式求得圆心C（0，0）到直线l的距离d小于半径，可得结论．【解答】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02＞4，求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C相交，故选：C．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．5.运行如图所示的程序框图，则输出数值的个位数字是(

)A.1 B.7 C.9 D.3参考答案：C6.如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A、16B、24C、34D、48参考答案：A7.在实数集上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是________．参考答案：(－，)略8.设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．2参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=2x﹣y化为y=2x﹣z，﹣z相当于直线y=2x﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域：将z=2x﹣y化为y=2x﹣z，﹣z相当于直线y=2x﹣z的纵截距，由可解得，A（5，2），则过点A（5，2）时，z=2x﹣y有最大值10﹣2=8．故选B．9.化简：

.参考答案：.10.设集合，，，则（

）A.{0,1,2,3}

B.{4,5}

C.{1,2,4}

D.{0,4,5}参考答案：D，，，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=a（x+2）2﹣1（a≠0）的图象的顶点A在直线mx+ny+1=0上，其中m?n＞0，则的最小值为

．参考答案：8【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据二次函数求出顶点坐标，然后代入直线方程可得2m+n=1，然后中的1用2m+n代入，2用4m+2n代入化简，利用基本不等式可求出最小值．【解答】解：由题意可得顶点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．12.设向量，，满足，且，则，则=_____________．参考答案：略13.对任意不等式恒成立,则实数的取值范围是

．参考答案：试题分析:设,则,,故原不等式转化为,即,所以,即.故应填答案.考点：换元法及绝对值不等式的求解和运用．14.已知，命题：，，命题：，，若命题为真命题，则实数的取值范围是_____．参考答案：或【分析】根据不等式恒成立化简命题为，根据一元二次方程有解化简命题为或，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题：“，”为真；则，解得：，若命题：“，”为真，则，解得：或，若命题“”是真命题，则，或，故答案为：或【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.15.设集合U={0，1，2，3}，A={x|x2﹣x=0}，则?UA=．参考答案：{2，3}【考点】补集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】先化简集合A，再求A在U中的补集．【解答】解：∵集合U={0，1，2，3}，A={x|x2﹣x=0}={x|x=0或x=1}={0，1}，∴?UA={2，3}．故答案为：{2，3}．【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．16.《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V＝×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)参考答案：317.若直线l:与抛物线:相切于点，则以点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的标准方程为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，

他们的健康状况如下表：健康指数210-160岁至79岁的人数120133341380岁及以上的人数918149其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”。（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率.。参考答案：解：（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，

所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．

（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，

健康指数不大于0的老龄人共有70人，

由分层抽样可知，

被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．

设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，

健康指数不大于0的老龄人为B．

从这五人中抽取3人，结果有10种：

（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），

其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：

（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），

∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．略19.如图所示，在四边形中，，，，，.（1）求的值（2）求线段的长度.参考答案：（1）在中，，故…………2分所以

………………4分（2）在中，由正弦定理得，

解得，故…………8分又…………10分所以………………12分20.已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈?．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．21.设函数．（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设，是的导函数．

①若对任意的，求证：存在使；②若，求证：．参考答案：（1）由题意，对恒成立，因为，所以对恒成立，因为，所以，从而．

……3分（2）①，所以．

若，则存在，使，不合题意，

所以．

……5分

取，则．

此时．

所以存在，使．

……8分②依题意，不妨设，令，则．

由（1）知函数单调递增，所以．

从而．

……10分

因为，所以，

所以．

所以．

……12分

下面证明，即证明，只要证明．

设，所以在恒成立．

所以在单调递减，故，从而得证．

所以，即．

……16分22.已知点在椭圆C:上，是椭圆的一个焦点.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)椭圆C上不与P点重合的两点D,E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M,N两点，求证：以MN为直径的圆被直线截得的弦长是定值.参考答案：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为，且．

………………1分因为，

所以，，

……3分所以椭圆的方程为．

…4分（Ⅱ）证明：由题意可知，两点与点不重合．因为，两点关于原点对称，所以设，，．