2021中考数学重难点：新定义型问题

一、选择题

1.从-1,1,2,4四个数中任取两个不同的数（记作以，瓦）构成一个数组MK=｛诙,1｝（其中1=1,2...S,

且将｛外,从｝与｛仇,痣｝视为同一个数组），若满足：对于任意的Mi=（ai，瓦｝和Mj=｛ai,与｝（为，1至S,1</<5）

都有出+明勾+如贝I」S的最大值（）

A.10B.6C.5D.4

【答案】C

【解析】1+1=0,-1+2=1,-1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,

・♦”+"共有5个不同的值.

又•••对于任意的M=｛4，如和必=｛s，bj｝（用,\<i<S,1</<S）都有研降勾地,

的最大值为5.

故选：C.

2.a是不为1的有理数，我们把，称为«的差倒数，如2的差倒数为，=-1,-1的差倒数，、

1-a1-21-（-1）

=工，已知0=5,。2是切的差倒数，。3是。2的差倒数，。4是。3的差倒数…，依此类推，。2019的值是（）

2

A.5B.-1c.AD.A

435

【答案】D

【解析】分析根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019

除以3,根据余数的情况确定出与42019相同的数即可得解.

a2=---=」_-=--L,

1-a11-54

114

的一二-----1—一,

S1-（-1）5

1

44=---

1-a3

...数列以5,-1,9三个数依次不断循环，

45

：2019+3=673,

.__4

・.42019———»

5

故选：D.

—（^>0）

3.定义新运算：p㊉g='，例如：3㊉5=3,3㊉（一5）=一则y=2㊉x（x却）的图象是（）

p,m55

q

【答案】D

【解析】分析根据题目中的新定义，可以写出y=2㊉X函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题

得以解决.

—(^>0)

q

P®q=<

--(^<0)

Iq

-(x>0)

;.y=2㊉,

2

——(x<0)

、x

故选：D.

二'填空题

4.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.

示例：即4+3=7

则(【)用含x的式子表示m=

(2)当y=-2时，〃的值为.

【答案】3x;l

【解析】(I)根据约定的方法可得:

=x+2x_3x；

故答案为：3x；

(2)根据约定的方法即可求出〃

,r+2x+2x+3=m+n=y.

当y=-2时，5x+3=-2.

解得x=-\.

.'.n=2x+3--2+3=1.

故答案为：1.

5.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为GO,即当〃为非负整数时，若〃-0.5%<"+0.5,则(x)=〃.如

(1.34)=1,(4.86)=5.若(0.5x7)=6,则实数x的取值范围是.

【答案】13sx<15

【解析】依题意得:6-0.5<0.5x-1<6+0.5

解得13<x<15.

故答案是：13夕<15.

6.对于实数a,〃，定义运算如下：〃◎%=(a+Z))2-(4-6)2.若(加+2)◎(而-3)=24,则m=.

【答案】-3或4

【解析】根据题意得[(胆+2)+(zn-3)]2-[(w+2)-(w-3)产=24,

(2/n-1)2-49=0,

(2m-1+7)(2m-1-7)=0,

2m-1+7=0或2，"-1-7=0,

所以〃?i=-3,加2=4.

故答案为-3或4.

7.定义：a%=豆，则方程2*(x+3)=1*(2x)的解为

b

【答案】x=l

【解析】2*(x+3)=1*(2%),

2=1

x+32x

4x=x+3,

x=I,

经检验：X=1是原方程的解，

故答案为：X=l.

8.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形.根据规定判断下面

四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形：③对角线互相垂直，且两组邻边分

别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0,1）,（0,-1）,P是二次函数y=h的图象

4

上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y=-1于点Q,则四边形PMNQ是广义菱形.其中正确的

是.（填序号）

【答案】①②③

【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；

④设点—m2'）,则Q（m，-1）,

4

=222=2

••^^+（1w-l）lfm+lI-也=»+1,

•.•点户在第一象限，

.•.心=。2+1，

4

：.MP=PQ,

又,：MN〃PQ,

：.四边形PMNQ是广义菱形.

④正确；

故答案为①②③;

9.探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是

11

22

11

五33

1111

4444

11111

55555

1111

66sfi6

1111111

777777

1111111

88888R88

••

111111111

nrnnnnnnn

【答案】1

【解析】由题意“分数墙”的总面积=2x_L+3xJ_+4x_L+...+”x工=”-1,

234

故答案为n-\.

10.已知点P（x0,%）到直线），=丘+。的距离可表示为d=3/匕对，例如：点（0,1）到直线y=2x+6的

距离d=|2X?+6T.!=也.据此进一步可得两条平行线y=X和y=X-4之间的距离为

7./11+.1O22-

【答案】2夜

【解析】当x=0时，y=x=0,即点(0,0)在直线y=xI,

因为点(0,0)到直线y=x—4的距离为：d='=-j==2^2»

JiL12Jo

因为直线y=x和y=工一4平行，

所以这两条平行线之间的距离为272.

故答案为20.

11.阅读材料:设a=（xi，力），b=（无2,”），如果a〃b＞则xi92=wyi，根据该材料填空，已知a—（4,

3）,b—（8,m）,且a〃b，则"i=.

【答案】6

【解析】Va=（4,3）,b=（8,m）,且彳〃E，

，4/n=3x8,

•.=6；

故答案为6；

12.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、

2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系.在

建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点

的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1,2,5）,点B的坐标可表示为

（4,1,3）,按此方法，则点C的坐标可表示为.

oAAAAAAA/\s

876543210

<-

【答案】（2,4,2）

【解析】根据题意得，点C的坐标可表示为（2,4,2）,

故答案为：（2,4,2）.

13.已知：[幻表示不超过x的最大整数.例：[4.8丰，[-0.8]=-1.现定义：{x}=x-[x,例:

{1.5*1[1=5],则{3.9}+{-1.8}-{1}=.

【答案】0.7

【解析】根据题意可得：{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=0.7,

故答案为：0.7

14.一般地，如果乂4=。(«>0),则称x为。的四次方根，一个正数”的四次方根有两个.它们互为相反数,

记为土垢，若吼，=10,则，〃=.

【答案】±10

【解析】

"4=104,

**•"7=±10.

故答案为：±10

15.已知=那么/(一1)=.

【答案】0

【解析】当x=-l时，/(-1)=(-1)2-1=0.

故答案为：0.

16.阅读材料：定义：如果一个数的平方等于-1,记为户=-1,这个数，•叫做虚数单位，把形如a+hi(a,

人为实数)的数叫做复数，其中。叫这个复数的实部，人叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式

的加、减、乘法运算类似.

例如计算：(4+i)+(6-2z)=(4+6)+(1-2)«=10-i；

(2-i)(3+i)=6-3i+2i-a=6-/-(-1)=7-h

(4+i)(4-z)=16-Z2=16-(-1)=17；

(2+i)2=4+4，+尸=4+4-1=3+4，

根据以上信息，完成下面计算：

(1+2，)(2-/)+(2-/)2=.

【答案】7-i

【解析】(1+2力(2-J)+(2-02=2-i+4Z-2产+4+产-4/

=6-i-i2

=6-i+\

=7-i.

故答案为：7-i.

17.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中，我们

会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现

在我们来研究另一种特珠的自然数-