变分法的基本问题

变分法的基本问题第1页，课件共19页，创作于2023年2月路径值集合（实线）允许的路径集合（曲线）泛函的概念通常函数：从实数到实数的映射。泛函：从路径（曲线）到实数的映射。第2页，课件共19页，创作于2023年2月目标泛函的概念连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息：无限小的一条弧（1）开始时间（2）开始状态（3）弧的前进方向存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧(曲线)到弧值(实数)的影射，表示为：目标泛函就是弧值之和：第3页，课件共19页，创作于2023年2月例：垄断企业的利润函数垄断企业的动态需求函数：垄断企业的总收益函数：垄断企业的总成本函数：垄断企业的总利润函数：加总T期的总利润函数，得到目标泛函：如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：第4页，课件共19页，创作于2023年2月第一节欧拉方程变分法的基本问题最大化或最小化一、欧拉方程的推导第5页，课件共19页，创作于2023年2月变为：第6页，课件共19页，创作于2023年2月一、欧拉方程的推导（2.14）步骤1首先用来表示V，并求导：我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式：莱布尼兹法则：对于函数第7页，课件共19页，创作于2023年2月步骤2和令和。于是我们得到：把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到：（2.15）根据分部积分公式：以上推导得到：第8页，课件共19页，创作于2023年2月步骤3由于是任意的，因此可以得到：对于所有或对于所有欧拉方程（2.17)以上推导得到：对推导得到的进行整理：第9页，课件共19页，创作于2023年2月步骤4因为F是一个具有三个自变量的函数所以偏导数也是具有三个同样自变量的函数。把它代入(2.18)式，即，得：以上推导得到欧拉方程：欧拉方程的另一种形式第10页，课件共19页，创作于2023年2月具有边界条件：例1求下列泛函的极值曲线。根据欧拉方程，可得：根据直接积分，得因此，极值曲线为：第11页，课件共19页，创作于2023年2月具有边界条件：例2求下列泛函的极值曲线。根据欧拉方程，可得：根据直接积分，得第12页，课件共19页，创作于2023年2月10yt01根据水平终结线的横截条件：代入水平终结线横截条件。和（在t=T处）通解为第13页，课件共19页，创作于2023年2月一、多个状态变量的情况第二节欧拉方程的推广当给定问题中具有个状态变量时，泛函变为：并且对于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。个变量的欧拉方程组为：对于所有这几个方程与边界条件一起,可以确定解第14页，课件共19页，创作于2023年2月二、高阶导数的情况那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:考虑一个含有的高阶导数的泛函，即：并且都有一对初始条件和终结条件,即共有个边界条件。可以转化为含有个状态变量及其一阶导数的一个等价函数：第15页，课件共19页，创作于2023年2月一、社会损失函数第三节通货膨胀和失业之间的折衷与的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示：预期通胀率的形成被假定为自适应的：其中，表示预期通货膨胀率。其中，为实际收入，为理想实际收入，为实际通货膨胀率。社会损失函数为：由（2.40)式和(2.41)式，得：重新整理，得：（2.42)式代入(2.40)式，得：（2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数：第16页，课件共19页，创作于2023年2月二、问题三、解路径满足二阶导数：政策制定者的目标：最大化和被积函数为：F的一阶导数：第17页，课件共19页，创作于2023年2月公式（2.19）给出了具体的必要条件：其中由于这个方程是齐次的，它的特解是0，它的通解是它的余函数：[通解]