9.2正弦定理与余弦定理的应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第四册）（解析版）

9.2正弦定理与余弦定理的应用TOC\o"1-3"\h\u题型1测量距离问题 3题型2测量高度问题 9题型3测量角度问题（主要是航海问题） 17知识点一.实际测量中的有关名称、术语基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线.名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角坡角坡面与水平面的夹角破角为α，坡度为i,ℎl=tan坡度（坡比）坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，i知识点二.测量距离问题主要是指水平面上两个位置A，B不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决.例如当AB的长度不可直接测量时，AB的距离的求法分为以下三类.类型图形方法两点间不可达又不可视余弦定理两点间可视但不可达正弦定理两点都不可达先用正弦定理再用余弦定理知识点三.测量高度问题类型简图计算方法底部可达测得BC=a，∠BCA=C，AB=a·tanC.底部不可达点B与C,D共线测得CD=a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.点B与C,D不共线测得CD=a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.知识点四.角度问题测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量，通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.题型1测量距离问题【方法总结】当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB..【例题1】（多选）（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（

）A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向B．当天10:00时，该船距离观测点C2kmC．当船行驶至B处时，该船距观测点C2kmD．该船在由A行驶至B的这5min内行驶了6km【答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=CDsin∠故B正确.C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=22，故C不正确.D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－2×2×2即AB=6km，故D正确.故选：ABD．【变式1-1】1．（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，要在两山顶M､N间建一索道，需测量两山顶M､N间的距离.现选择与山脚B､C在同一平面的点A为观测点，从A点测得M点的仰角∠MAC=60∘,【答案】100【分析】在Rt△ACM中根据AM=ACcos60°求出AM，在Rt【详解】在Rt△ACM中，∠所以AM=在Rt△ABN中，∠所以AN=在△AMN中，∠MAN=45∘由余弦定理得：M=所以MN=100故答案为：1002【变式1-1】2．（2022春·上海黄浦·高一校考期末）如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD=10km，AB=14km，∠BAD=60°，∠BCD=135°，求两景点B与C的距离（精确到【答案】4.2km【分析】在△ABD中，结合余弦定理得BD=239km，【详解】解：根据题意，在△ABD中，AD=10km，AB=14km所以由余弦定理得：BD2=所以，cos∠ADB因为AD⊥CD，所以所以sin∠CDB所以，在△CDB中，∠BCD=135°，所以，BCsin∠CDB=所以，景点B与C的距离大约为4.2km【变式1-1】3．（2023·江苏·高一专题练习）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：sin15°=6A．2−3a B．3+34a 【答案】D【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，【详解】设表高为ℎ，则BC=ℎ⋅而sin15°=6−24，得故DB=(2+得ℎ=故选：D【变式1-1】4．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）某轮船以V海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60度.轮船从A处向北航行30分钟后到达B处，测得油井P在南偏东15度，且BP=103海里.轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达(1)求轮船的速度V；(2)求P,【答案】(1)202(2)40海里【分析】（1）利用三角形的性质以及正弦定理进行求解.（2）利用三角的性质以及余弦定理进行求解.【详解】（1）由题可知，在△APB中，∠PAB=120∘又BP=103，由正弦定理有：BPsin∠解得AB=102，所以故轮船的速度是202（2）由（1）有，BC=202，由题可知，所以在△PBC中，由余弦定理有：P所以P=1100+200所以PC=10所以P,题型2测量高度问题【方法总结】测量高度问题需要注意三个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题【例题2】（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为153A．20m B．30m C．203m D．303m【答案】D【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.【详解】sin15°=sin45°−30°由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝在△ACM中，由正弦定理得AMsin∠ACM＝所以CM＝AM·sin∠CAMsin∠在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝60×32＝30故选：D.【变式2-1】1．（2022春·河南周口·高一校考期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为(15−53)m，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°A．20m B．203m C．303【答案】D【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得天文台的高度.【详解】在直角三角形ABM中，AM在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°故∠由正弦定理，AMsin∠故MC在直角三角形CDM中，CD=∵sin15°=sin=∴CD=故选：D【变式2-1】2．（2022春·浙江·高一期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD=α，∠BDC=β，A．s⋅tanθsinC．s⋅sinθsin【答案】A【分析】运用正弦定理和锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】在△BCDBCsin∠在直角三角形ABC中，tan∠ACB故选：A【变式2-1】3．（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1:3,(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求宣传牌CD的高度．（结果保留根号）【答案】(1)2m(2)16−8【分析】（1）根据坡度比以及勾股定理即可求解，（2）根据锐角三角形的边角关系即可结合图形关系进行求解.【详解】（1）由于i=1:3,所以BH设BH=a,∴所以BH（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F,则在△ADE中，DE又BF=故宣传牌CD的高度为16−83【变式2-1】4．（2023·江苏·高一专题练习）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1:2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=(1)求该滑雪场的高度h；(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m【答案】(1)235m(2)甲种设备每小时的造雪量是15m3，乙种设备每小时的造雪量是【分析】（1）过B作BF∥AD，过A作AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，进而根据几何关系求得（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是【详解】（1）解：过B作BF∥AD，过A作AF⊥AD，两直线交于F，过B作根据题知∠ABF=∠DAB∵BC的坡度i=1:2.4，∴BE设BE=tm，则CE=2.4t解得t=100（负值已舍去），∴ℎ所以，该滑雪场的高度h为235m．（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是根据题意得：150x=500经检验，x=15是原分式方程的解，也符合题意，∴x所以，甲种设备每小时的造雪量是15m3，乙种设备每小时的造雪量是【变式2-1】5．（2022春·福建泉州·高一校联考期中）如图，某人身高1.73m，他站的地点A和云南大理文笔塔塔底O在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角∠MCE=22.8°（点E在线段MO上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO向塔前进100m到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角∠MDE=48.3（1）求塔高MO=（2）此人在线段AO上离点O________米，他直立看塔尖MN的视角最大？参考数据：sin22.8°sin48.3°【答案】

69.13m

63.59【分析】（1）根据题意在△CDM中，由正弦定理可求CM的值，进而求解ME的值，即可根据MO（2）由（1）可求CE的值，可求DE=CE−CD=60m，∠NDE=45【详解】（1）∵∠MCE=22.8°，∴∠DMC在△CDM中，由正弦定理得，CM又CD=100∴CM∴ME所以，MO=（2）由（1）知，CE=∴DE∵∠NDE∴NE设此人应在线段AO上的F处，FO=xm，直立时，眼睛处于则tan∠MGE=67.4∴tan∠MGN=67.4当且仅当x=67.4×60x所以，他站在线段AO上到点O的距离为为63.59m处时，看塔尖MN故答案为：69.13m；63.59【变式2-1】6.济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1m)【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根据正弦定理，eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴BD＝eq\f(ABsin60°,sin20°)＝eq\f(15.2×sin60°,sin20°)≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5×sin80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38m.题型3测量角度问题（主要是航海问题）【方法总结】测量角度问题需要注意三个问题测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；3.在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。【例题3】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________．【答案】eq\f(\r(21),14)【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).【变式3-1】1．（2022春·山东东营·高一统考期末）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东15∘方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东60∘方向上，测得塔顶P的仰角为60∘(1)求巡逻船的航行速度;(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时灯塔底部C位于D处的南偏东什么方向⋅【答案】(1)6(3(2)灯塔底部C位于D处的南偏东45°方向.【分析】（1）直角△BCP中可得BC=2，△ABC中∠（2）△BCD中应用余弦定理可得CD=6（1）在直角△BCP中，tan∠PBC=在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=从A到B共花20分钟，故巡逻船的航行速度v（2）在△BCD中，由余弦定理可得：CD=在△BCD中，由正弦定理得：CDsin∠DBC而CD>CB，则∠CDB所以此时灯塔底部C位于D处的南偏东45°方向．【变式3-1】2．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为20海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向．以20海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以203【答案】护航舰航行的方位角为75°，所需时间为1小时．【分析】设护航舰靠近货船所需时间为t小时，根据余弦定理得2t2−【详解】解：设护航舰靠近货船所需时间为t小时，营救地点为B，可得AB=203t在△ABC中，由余弦定理可得AB∴(203t)∴t=1或t=−1在△ABC中，根据正弦定理得：BCsin∠∴sin∠CAB=BC∴∠CAB【变式3-1】3．（2022春·陕西榆林·高一榆林市第一中学校考期末）如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.【答案】(1)小艇至少以每小时9km的速度才能追上运动员.(2)小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角为90°.【分析】（1）设小艇以每小时vkm的速度从B处出发，t小时后与运动员在D处相遇，在△ABD中利用余弦定理可得v与（2）根据（1）的结果可计算出AD、(1)解：如图，设小艇以每小时vkm的速度从B处出发，沿BD方向行驶，t小时后与运动员在D在△ABD中，AB=75,AD=15t，BC由余弦定理求得BD则v2整理得：v2当1t=425时，即t=即小艇至少以每小时9km的速度从B处出发才能追上运动员.(2)解：当小艇以每小时9km的速度从B处出发，经过时间t=故BD=9×254又sin∠BAD=35，由正弦定理得故∠ABD即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角为90°.【变式3-1】4．（2022春·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校联考阶段练习）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37∘，测得基站顶端

(1)求出山高BE（结果保留一位小数）；(2)如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MD=xm，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x参考数据：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°≈0.7，sin127°≈0.8.【答案】(1)151.5m；(2)x=1003m时，视角【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理求出BC，即可求出BD（2）根据题意得出tan∠AMB=tan(β(1)解：由题知∠ACB在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB所以BC≈在Rt△BDC中，sin∠BCD=BD所以山高BE=(2)解：由题知∠AMD=β，∠BMD=在Rt△AMD中，tanβ则tan∠AMB=tan(β−α当且仅当x=30000x即x【变式3-1】5．（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5公里，与小岛D相距为35公里．已知角A为钝角，且sin(1)求小岛A与小岛D之间的距离；(2)记∠CDB为α，∠CBD为β，求【答案】(1)2(2)2【分析】(1)在△ABD(2)在△BCD中，先利用正弦定理求出sin【详解】（1）由题意可知：AB=BC=5因为角A为钝角，sinA=3在△ABD中，由余弦定理得，A所以AD2+8AD−20=0所以小岛A与小岛D之间的距离为2．（2）在△BCD中，由正弦定理BCsinα所以sinC=sin(π−A因为BC<BD，所以α为锐角，所以因为sin(αcos(α所以sin(2=sinα【变式3-1】6．（2023·江苏·高一专题练习）根据指令r,θr≥0,−180°<θ≤180°，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点4,4；(2)机器人在完成该指令后，发现在点17,0处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（参考数据：cos82°≈2【答案】(1)4(2)机器人最快可在7,0处截住小球，指令为5,−98°.【分析】（1）根据r,（2）利用余弦定理列方程，结合判别式以及“指令”求得正确答案.【详解】（1）依题意可知r1=42+所以指令为42（2）设A17,0,B4,4，设机器人的速度为设机器人在C处截住小球，时间为t，BCAB=17−42由余弦定理得vt2整理得3vt解得vt=5（2vt=10）或vt当BC=vt=5所以机器人最快可在C7,0此时r2cos∠OBC=32+25−492×42所以θ2故指令为5,−98°.【变式3-1】7．（2023·全国·高一专题练习