3.1.1 椭圆及其标准方程(精练)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)（解析版）

3.1.1椭圆及其标准方程【题型1对椭圆的定义的理解与辨析】1、若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.因为，所以.故选：D2、设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆的长半轴长为3，由椭圆的定义可知，由，可得．故选：C3、已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，若，则（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】由，，得：，，∴.故选：B.4、如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（）A．7B．10C．12D．14【答案】A【解析】因为椭圆，，所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.故选：A.5、（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（）A．当时，点P的轨迹不存在B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆【答案】AC【解析】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确；对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确；对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误.故选：AC6、已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线【答案】C【解析】因为（当且仅当时，等号成立，所以，当且时，，此时动点的轨迹是椭圆；当时，，此时动点的轨迹是线段．故选：C．【题型2求椭圆的标准方程】1、与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为______．【答案】【解析】不妨设所求椭圆方程为：，，且焦距为，由已知条件可知，

①，将代入可得，

②，联立①②可得，，，故所求椭圆方程为：.故答案为：.2、焦点在坐标轴上，且经过点和两点的椭圆的标准方程为______．【答案】【解析】设椭圆方程为：，由得：，椭圆的标准方程为：.故答案为：.3、椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______．【答案】或【解析】由题意可设椭圆的标准方程为或，由题意可得，，故，故椭圆的标准方程为：或，故答案为：或4、已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由对称性，又，则，所以，，又，则，椭圆标准方程为．故选：B．5、求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）过点，且与椭圆有公共的焦点；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．【答案】（1）；（2）【解析】（1）方法一：设所求椭圆的标准方程为（）由，得，即．①又点在所求椭圆上，所以，②由①②得，，即所求椭圆的标准方程是．方法二：设所求椭圆的方程为．因为点在所求椭圆上，所以，解得，所以所求椭圆的标准方程为．（2）方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为（）．依题意有，得．由知，不符合题意，故舍去．当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（）．依题意有，得．所以所求椭圆的标准方程为．方法二：设椭圆的方程为（，，）．依题意有，解得．所以所求椭圆的方程为，故椭圆的标准方程为【题型3根据方程表示椭圆求参数的范围】1、已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（－3，1）B．（－3，5）C．（4，5）D．【答案】A【解析】由题设，，可得.故选：A2、“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则；所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充要条件.故选：A.3、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将方程化为，因为是焦点在y轴上的椭圆，可得，解得.故选：B.4、方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（

）A．B．C．或D．【答案】D【解析】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故选：D.5、“方程表示椭圆”的一个充分条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若方程表示椭圆，则解得或．对比选项，A符合题意.故选：A．6、“”是“方程表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵方程表示椭圆，∴解得或，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B．【题型4椭圆的焦点三角形问题】1、已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，所以，因此的周长为，故选：D2、已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为（）A．20B．18C．16D．9【答案】B【解析】由椭圆方程知，所以，．故选：B．3、已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆的方程可得，，，则，因为，则，即，即，解得，因此，.故选：D.4、已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．9【答案】A【解析】因为，因为，所以，又记，则，②2-①整理得：，所以故选：A5、已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，椭圆方程，可得，所以焦点，又由椭圆的定义，可得，因为，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故选:C．6、设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（）A．14B．17C．20D．23【答案】D【解析】设，由题意.易知，，则，，于是由余弦定理可得，即.故选：D.【题型5椭圆的轨迹问题】1、若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A2、已知为圆M上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径MP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆的圆心坐标为，半径为4．依题意知：，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，所求点的轨迹方程为．故选：．3、P为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得：，因为，，所以，所以动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故动点Q的轨迹方程为.故选：B.4、一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设动圆半径为，圆心为，根据题意可知，和，，，，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上椭圆，且焦点坐标为和，其中,，所以，故椭圆轨迹方程为:，故选：A.5、已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，所以，化简得到，整理得到，其中.故选：B.【题型6椭圆上的点到焦点和定点距离的和差最值】1、是椭圆的左焦点是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆的，如图，设椭圆的右焦点为，则；；由图形知，当在直线上时，，当不在直线上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，，当在的延长线上时，取得最小值，的最小值为．故选：C．2、已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（）A．3B．5C．D．13【答案】B【解析】因为椭圆，所以，，则椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得：，当点P在点处，取等号，所以的最大值为5，故选：B.3、已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（）A．B．13C．3D．5【答案】B【解析】如图所示：，故选：B4、已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，点为椭圆的左焦点，∴．∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，如图，设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆定义知，．∵，∴，当在线段上时，等号成立.即要求的最大值为，故选：D．5、已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值是__________．【答案】6【解析】椭圆的标准方程为，，，设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可知，当取得最大值时，最大，如图所示：因为，当且仅当，A，三点共线，且在线