指数函数和对数函数练习题集

指数函数和对数函数练习题集

第三章指数函数和对数函数1.正整数指数函数函数y=ax(a>0，a≠1，x∈N+)叫作正整数指数函数；形如y=kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数函数。2.分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn=am，我们把b叫作a的次幂，记作b=a^(m/n)。(2)正分数指数幂写成根式形式：a^(m/n)=n√(a^m)(a>0)；(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：a^(-m/n)=1/a^(m/n)(a>0，m、n∈N+，且n>1)；(4)0的正分数指数幂等于0，的负分数指数幂无意义。3.有理数指数幂的运算性质(1)a^m·a^n=a^(m+n)(a>0)；(2)(a^m)^n=a^(mn)(a>0)；(3)(ab)^n=a^n·b^n(a>0，b>0)。选择题：1.下列说法中：①16的4次方根是2；②当n为大于1的奇数时，a^n的运算结果是±a；③当n为大于1的偶数时，a^n只有当a≥0时才有意义。其中正确的是()A．①③④B．②③④C．②③D．③④2.若2<a<3，化简1/(2-a)-1/2(2-a)^2+1/3(3-a)^4的结果是()A．5-2aB．2a-5C．1D．-13.在-1/2，2/2，2-1/2中，最大的是()A．(-1/2)^2B．2/2C．2-1/2D．(2-1/2)^24.化简a^(3/2)·a^(-1/2)的结果是()A．aB．a^-1C．a^2D．a^35.下列各式成立的是()A．(1/2)^2=abB．2/3=b/aC．(2/3)^2=a/bD．a^2/b^2=3/4填空题：3-3C．a<b<c二、填空题7．10天8．(0,2)三、解答题10．(1)因为g(x)是单调增函数，所以u=g(x)也是单调增函数。而f(x)＝2u，即f(x)是u的伸缩变换，所以f(x)也是单调增函数。(2)对于y＝2x，当x>0时，y>1，所以2x－1>0，即x>1/2。同时，因为f(x)是单调增函数，所以当x>1/2时，有f(x)>f(1/2)=2g(1/2)=2/3。所以不等式的解集为x>1/2且f(x)>2/3。11．(1)因为f(x)是偶函数，所以f(0)=0。又因为f(x)是增函数，所以当x>0时，有f(x)>0。所以当x>0时，f(x)＞f(0)，即f(x)＞0。所以当x>0时，y＝f(x)+e－x＞e－x＞0。所以y=0的解在x＝0处，且只有一个解。(2)当x＝0时，y＝1，当x＞0时，y＞1，所以y＝1的解只有一个。又因为f(x)是偶函数，所以当x<0时，y＝f(x)+e－x＝f(－x)+e－(－x)＝f(－x)+e－x，即y也是一个对称轴在x=0处的偶函数。所以y＝1的解在x＝0处，且只有一个解。1.函数f(x)的定义域为[-∞,+∞]。2.函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1]。3.设t=2x，则t的取值范围为(-∞,+∞)。函数f(x)的值域为(-∞,+∞)。4.函数y=2x-x^2的图像大致是一个开口向下的抛物线。5.函数f(x)=(2x-1)/(x+2)。f[f(0)+4]的值为1/2。f(x)在R上是增函数。解不等式：-2<x<-1或x>1/2。6.指数式为2^2。7.a<c<b。8.x+√(x+1/2)=3，解得x=5/4。9.选项C，指数函数只有y=3^x和y=x^3中有指数。10.f(-1)=0。11.2x<x<1/2。12.f(-3)的值为-7。13.选项D，根据图像可知a<0，b>0。14.函数f(x)=(4x+1)/(2x-1)的图像是一个开口向上的双曲线。15.选项B，f(x)=2x/(x+2)，解得-2<x<-1或x>1/2。7.计算：0.064-(-)++0.012=________________.答案：0.064+0.012=0.0768.已知10m=4，10n=9，则10^(3m-n/2)=____________.答案：10^(3m-n/2)=10^(3m)/10^(n/2)=10^(3m)/√(10^n)=(10^m)^3/(10^n)^(1/2)=4^3/3^(1/2)=32√39.函数y=1-3x(x∈[-1,2])的值域是________。答案：当x∈[-1,2]时，函数y=1-3x的最大值为y(-1)=4，最小值为y(2)=-5，因此值域为[-5,4]。10.比较下列各组中两个数的大小：(1)3^2和3^3；(2)(1/3)^2和(2/3)^2；(3)3-2(3)和(3/2)-2；(4)π和(3)^(1/2)。答案：(1)3^3>3^2；(2)(1/3)^2<(2/3)^2；(3)3-2(3)=-3<(3/2)-2=-1/2；(4)π>(3)^(1/2)。11.函数f(x)=(x+1)/(x-1)的定义域为x≠1，值域为y≠0。请问是否正确？答案：不正确。当x=0时，f(x)=1，因此值域包括0。12.已知f(x)=ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值。答案：由题意可知，在区间[1,2]上，f(x)的最大值和最小值分别为f(1)=a/(a-1)和f(2)=2a/(a-1)。根据题意得到不等式：f(2)-f(1)>0，化简得到：a>2。因此，a的取值范围为a>2。13.已知f(x)=(ax-a-x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性。答案：对f(x)求导得到f'(x)=a^(1-x)，因此f(x)在x<1时单调递减，在x>1时单调递增，在x=1处取得极小值f(1)=-2a。1.52.A3.C4.x=95.D6.87.818.65619.a/b10.①log2(1/1000)=-3；②log2(2/3)=log22-log23=1-log23；③(1000/2)^(1/2-1)-1=2^(3/2-1)-1=2^1/2-1①6^(log26)=6^1=6；②10^(-1)=1/10；③3^1=311.A=x^(3/2)/(2y)12.D13.①x=2^(-21/53)；②log68=log6(6a)^(4/3)=4/3log6(6a)=4/3(1+log6a)=4/3+4/3log62；③log26=log2(3*2)=1+log2314.略§4对数(二)1.(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)loga(M/N)=logaM-logaN；(3)logaM^n=nlogaM2.logaN=logbN/logba；特别地，logab=1/logba一、选择题1.A2.B1.81的值为()A．9B．16C．81D．无法确定2.若log5·log36·log6x＝2，则x等于()A．9B．15C．25D．无法确定3.已知3a＝5b＝A，若11ab＋＝2，则A等于()A．15B．-15C．25D．2254.已知log89＝a，log25＝b，则lg3等于()A．2b/aB．a/bC．1/a+1/bD．1/a-1/b5.若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于()A．2B．4C．8D．166.填空题7.2log510＋(325－4125)÷25＝______________.8.(lg5)2＋lg2·lg50＝________.9.汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹.7.2log510＋(325－4125)÷25＝2log510＋(3－4)÷25＝2log510－1/25＝2log5(24/25)8.(lg5)2＋lg2·lg50＝2lg5+1=lg5259.汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹.答案无法确定，需要计算里氏级地震释放的能量与广岛原子弹的能量的比值。10.(1)lg(10/8)+lg3/4=lg(5/4)+lg3/4=lg15/4(2)3a/4b+7/3ab=9/4+7/3=143/1211.若a、b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值.设x=lga,y=lgb，则方程变为2x2-4x+1=0,2y2-4y+1=0解得x=(1+√2)/2,y=(1-√2)/2lg(ab)·(logab＋logba)=xy(x+y)=((1+√2)/2)((1-√2)/2)((1+√2)/2+(1-√2)/2)=112.下列给出了x与10x的七组近似对应值：组号一032二113三975四156五098六0010七1812x10x假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．()A．二B．四C．五D．七设第i组对应值错误，则10x(i-1)>12x(i),10x(i)<12x(i+1)由此得到：0.2<x(i)<0.3,0.5<x(i+1)<0.6只有第五组符合条件，因此答案为C．五13.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1位有效数字)(lg2≈0.3,lg3≈0.5)设经过n年后，剩余质量为x，则0.75^n=x取对数得到n=logx/log0.75≈4.8因此，约经过5年后，该物质的剩余量是原来的。10.求下列函数的定义域与值域：(1)$y=log_2(x-2)$；(2)$y=log_4(x^2+8)$。则$f(log_23)=\frac{1}{2}$。11.已知函数$f(x)=log_a(1+x)$，$g(x)=log_a(1-x)$，$(a>0，且a≠1)$。(1)设$a=2$，函数$f(x)$的定义域为$[3,63]$，求函数$f(x)$的最值。(2)求使$f(x)-g(x)>0$的$x$的取值范围。能力提升12.已知图中曲线$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$分别是函数$y=log_{a_1}x$，$y=log_{a_2}x$，$y=log_{a_3}x$，$y=log_{a_4}x$的图像，则$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$的大小关系是$a_4<a_3<a_2<a_1$。13.若不等式$\frac{1}{mx}<0$在$(0，+\infty)$内恒成立，求实数$m$的取值范围。$m<0$。二、选择题1.函数$y=log_ax$的图像如图所示，则实数$a$的可能取值是$a>1$。2.下列各组函数中，表示同一函数的是$y=x^2$和$y=(x)^2$。3.若函数$y=f(x)$的定义域是$[2,4]$，则$y=f(log_2x)$的定义域是$[\frac{1}{2},1]$。4.函数$f(x)=log_2(3x+1)$的值域为$(0，+\infty)$。5.函数$f(x)=log_a(x+b)(a>0且a≠1)$的图像经过$(-1,0)$和$(0,1)$两点，则$f(2)=log_a10$。6.函数$y=log_a(x-2)+1(a>0且a≠1)$恒过定点$(3,1)$。1.第一题没有明显的格式错误，不需要删除段落。可以将选项改写为：C.a<b<c和D.b<a<c。2.已知函数y=f(2x)的定义域为[-1,1]，则函数y=f(log2x)的定义域为(1,2]。3.函数f(x)=loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)=3，则有f(2)>f(-2)。4.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为2。5.已知函数f(x)=log(1+x)/(1-x)，若f(a)=b，则f(-a)等于-b。6.函数y=3x(-1≤x<0)的反函数是y=log3x(x>0)。7.b≤1/2。8.a∈(0,1/4]∪[4,∞)。9.a∈(0,1)∪(2,∞)。10.a∈(0,1/3]∪[1/2,∞)。11.(1)a=1/2；(2)m∈(-∞,-2)∪(-1,0)。12.a∈(0,1)∪[2,∞)。13.m>n。1.x-1的定义域是(1,+∞)。2.在区间(0,1)，单调递减的函数序号是③②。3.若f(x)=loga(x+b)，且f(3)=2,f(-2)=0，则b等于1。4.若函数f(x)=(2x^2+x)/(a>0,a≠1)在区间(0,1)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(0,+∞)。5.若函数f(x)=loga(|x|)，且f(a+1)>f(2)，则a>4。6.不等式f(log1/3x)<0的解集为(1/√2,2)。7.若loga(ab)=1/7，则logab=7/8。8.log215=a+b，因此a=log236，b=log210，代入得log215=log236+log210-log24。9.若f(x)=loga(1/x)，则f(a)=-1，因此f(a+6)=loga(1/(a+6))=-1-loga(a+6)。10.由于log4(x+a)<1等价于x+a<4，因此B的取值范围是(-a,3-a)。由于A∩B=∅，因此要求(-2,+∞)∩(-a,3-a)=∅，即-2>3-a或者3-a>2，解得a<-1或者a>1。因此实数a的取值范围是a<-1或者a>1。11.抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内的空气少于原来的一半，则至少要抽几次？（lg2≈0）能力提升：假设容器内原来有100单位的空气，每次抽出60％，剩下40％，即40单位的空气。设抽了n次后，容器内剩下x单位的空气，有：40％×40％×40％×...×40％（共n次）×100％＝x％化简得：0.4^n×100＝x又因为要使容器内的空气少于原来的一半，即剩下50单位的空气，有：x＜50代入上式得：0.4^n×100＜50化简得：n＞lg25≈1.4所以，至少要抽两次。12.设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x^2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集。能力提升：首先，求函数f(x)的最小值。因为f(x)＝loga(x^2－2x＋3)，所以：x^2－2x＋3＞0解得：x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)又因为f(x)是对数函数，所以当且仅当x^2－2x＋3＝1时，f(x)取到最小值。解得：x＝1所以，f(x)的最小值为0。接着，解不等式loga(x－1)>0。因为a>1，所以：x－1＞0解得：x＞1所以，不等式loga(x－1)>0的解集为x∈(1，＋∞)。13.已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1。（1）比较[f(0)＋f(1)]与f(2)的大小；（2）探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)对任意x1＞0，x2＞0恒成立。能力提升：（1）因为f(x)＝loga(1＋x)，所以：f(0)＋f(1)＝loga1＋loga2＝loga2f(2)＝loga3因为a>1，所以loga2＜loga3，即[f(0)＋f(1)]＜f(2)。（2）因为a>1，所以f(x)是增函数。设m＝x1－1，n＝x2－1，则：f(x1－1)＝loga(x1)，f(x2－1)＝loga(x2)因为f(x)是增函数，所以：f(m)＋f(n)＜f(m＋n)即：loga(x1)＋loga(x2)＜loga(x1x2)化简得：x1x2＜(x1＋1)(x2＋1)展开并化简得：x1＋x2＞1所以，[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)对任意x1＞0，x2＞0恒成立。)时，销售量增加的百分比相同，求最佳的礼品价值是多少元？解答：6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1=－和l2=2x，其中x为销售量(单位：辆)。若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是()答案：C。改写：某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，销售量为x辆，利润分别为l1=－1万元和l2=2x万元。若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是多少万元？答案：C。7.一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．答案：30。改写：一种计算机病毒在开机时占据2KB的内存，每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍。如果该病毒在开机后经过多少分钟占据了64MB的内存（1MB＝210KB），则答案为多少？答案：30。8.近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆。房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．答案：y=80×(1+0.05)^(2020-2010)=137.76。改写：小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是什么？答案：y=80×(1+0.05)^(2020-2010)=137.76。9.用模型f(x)=ax+b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系。统计表明，当每季度投入1亿元时利润y1=1亿元，当每季度投入2亿元时利润y2=2亿元，当每季度投入3亿元时利润y3=2亿元。又定义：当f(x)使[f(1)－y1]^2＋[f(2)－y2]^2＋[f(3)－y3]^2的数值最小时为最佳模型。(1)当b＝0，求相应的a使f(x)=ax+b成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4亿元时利润y4的值。答案：(1)a=1；(2)y4=3。改写：某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系可以用模型f(x)=ax+b来描述。统计表明，当每季度投入1亿元时利润y1=1亿元，当每季度投入2亿元时利润y2=2亿元，当每季度投入3亿元时利润y3=2亿元。又定义：当f(x)使[f(1)－y1]^2＋[f(2)－y2]^2＋[f(3)－y3]^2的数值最小时为最佳模型。(1)当b＝0时，求相应的a使f(x)=ax+b成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4亿元时利润y4的值。答案：(1)a=1；(2)y4=3。10.根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)=1，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)=－t＋343(0≤t≤40，t∈N)。求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值。答案：17150元。改写：根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)=1，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)=－t＋343(0≤t≤40，t∈N)。求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值是多少元？答案：17150元。11.某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p=10+0.5t，该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q=－t＋40(0<t≤30，t∈N)。求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？答案：日销售金额最大为1700元，第20天是日销售金额最大的一天。改写：某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p=10+0.5t，该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q=－t＋40(0<t≤30，t∈N)。求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天。答案：日销售金额最大为1700元，第20天是日销售金额最大的一天。12.某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N)时，销售量增加的百分比相同，求最佳的礼品价值是多少元？答案：2元。改写：某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N)时，销售量增加的百分比相同。求最佳的礼品价值是多少元？答案：2元。1.写出礼品价值为n元时，利润y（元）与n的函数关系式；然后设计礼品价值，以使商店获得最大利润。利润是指收入减去成本，因此利润与售价之间的关系为：利润=售价-成本。设礼品售价为n元，成本为c元，则利润为y=n-c。由于商店希望获得最大利润，因此需要使售价最大，成本最小。可以通过市场调研和供应链优化等手段来确定最佳的售价和成本，从而获得最大利润。2.已知