2021年中考数学总复习：30 尺规作图问题

2021年中考数学总复习：专题30尺规作图问题

1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法.尺规作图可以

要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作已知线段的垂直平分线；

（4）作已知角的角平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法

写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。

4.中考要求

（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于己知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂

直平分线.

（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三

角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.

（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.

（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.

1

【例题1】（2020•台州）如图，已知线段48,分别以48为圆心，大于鼻4?同样长为半径画弧，两弧交于

点GD,连接4GAD,BC,BD,CD,则下列说法错误的是（）

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A.48平分B.CD平令4ACBC.ABVCDD.AB=CD

【对点练习】（2019•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A,

B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C,D,则直线CD即为所求.连结AC,BC,

AD,BD,根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

【例题2】（2020•辽阳）如图，在RI△力比1中，N4C8=90°,AC=2BC,分别以点4和8为圆心，以大于

Lib的长为半径作弧，两弧相交于点"和从作直线协；交4c于点、E,连接应，若四=3,则用的长

2

为.

【对点练习】（2019武汉）如图，劭是矩形四切的对角线，在物和劭上分别截取应；BF,梗,BE=BF；

分别以笈尸为圆心，以大于工功的长为半径作弧，两弧在//切内交于点G,作射线8G交朋于点R若

2

加=3,则点P到切的距离为.

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【例题3】（2020•武威）如图，在△/8C中，〃是a1边上一点，且BD=BA.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作//8C的角平分线交朋于点E；

②作线段""的垂直平分线交比■于点F.

（2）连接跖直接写出线段序和的数量关系及位置关系.

【对点练习】（2019•广东模拟题）如图，点〃在△胸的脑边上，且N/J叱NA.

（1）作/随的平分线应1,交比■于点用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）;

（2）在（1）的条件下，判断直线庞与直线/C的位置关系（不要求证明）.

专题点计点强化训练

一、选择题

1.（2020•河北）如图1,已知用尺规作它的角平分线.

如图2,步骤如下，

第一步：以6为圆心，以a为半径画弧，分别交射线为，比于点〃，E；

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第二步：分别以〃，£■为圆心，以。为半径画弧，两弧在/力弘内部交于点只

第三步：画射线眈射线以即为所求.

下列正确的是（）

1

A.a,b均无限制B.a>0,应1的长

C.a有最小限制，6无限制D.a20,庞的长

2.（2020•襄阳）如图，RtZL4比中,NW=90°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（)

A.DB=DEB.AB=AEC.ZEDC=ZBACD.ADAC=AC

3.（2020•贵阳）如图，Rt△力比'中，NC=90°,利用尺规在犯物上分别截取%BD,使.BE=BD；分别

1

以D,£为圆心、以大于5庞'的长为半径作弧，两弧在/烟内交于点反作射线步交〃'于点G.若CG=1,

P为47上一动点，则利的最小值为（）

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A.无法确定B.-C.1D.2

2

4.（2019•河北模拟题）如图，已知AABC（AC<BC）,用尺规在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要

求的作图痕迹是（）

5.（2019•湖南益阳）已知以N是线段16上的两点，AM=MN=2,NB=\,以点力为圆心，4V长为半径画弧;

再以点6为圆心，8”长为半径画弧，两弧交于点C,连接/C,BC,则△45C一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

6.（2019•湖南长沙）如图，Rt/\ABC中,/C=90°,Z5=30°,分别以点4和点8为圆心，大于248的

2

长为半径作弧，两弧相交于收M两点，作直线,如；交比1于点〃，连接则的度数是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

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7.（2019年贵州安顺模拟题）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出NA'O'B'=NA0B的依据

是（）

A.(SAS)B.(SSS)C.(ASA)D.(AAS)

二、填空题

8.（2020•苏州）如图，已知乙欣邠是一个锐角，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交〃伙〃”于点力、

1

B,再分别以点4、8为圆心，大于一/8长为半径画弧，两弧交于点C,画射线纥过点/作交射线

2

OC于点、D,过点〃作。2LOG交QV于点反设2=10,应=12,则sin乙姒A—.

9.（2019济南）如图，在Rt4/I优中，N£90°,以顶点3为圆心，适当长度为半径画弧，分别交45,BC

于点机N,再分别以点机人为圆心，大于去职的长为半径画弧，两弧交于点尺作射线9交"1于点〃若

/4=30°,则:a@=___.

SAABD

B

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10.（2019甘肃省兰州市）如图，矩形4腼，N为C=60°.以点/为圆心，以任意长为半径作弧分别交

加于点肌N两点，再分别以点M/V为圆心，以大于1物¥的长为半径作弧交于点尸，作射线1夕交回

2

于点色若BE=1,则矩形/及力的面积等于.

三、解答题（一）

11.（2020•陕西）如图，已知AOAB,NU45°.请用尺规作图法，在〃'边上求作一点产，使N

PBC=45°.（保留作图痕迹.不写作法）

12.（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法:

已知：ZAOB.

求作：//m的平分线.

作法：（1）以点〃为圆心，适当长为半径画弧，交处于点材，交加于点、

（2）分别以点MN为圆心，大于士则的长为半径画弧，两弧在乙4必的内部相交于点C

2

（3）画射线0G射线3即为所求（如图）.

请你根据提供的材料完成下面问题.

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是—.（填序号）

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①SS5®弘卷445@/S4

（2）请你证明0C为/加8的平分线.

13.（2020•福建）如图，C为线段四外一点.

（1）求作四边形颇，使得中〃48,且5=2/8；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形加切中，AC,劭相交于点尺AB,必的中点分别为M,M求证：MP,从三点在同

一条直线上.

A'----------------------'B

14.（2020•北京）已知：如图，△49C为锐角三角形，AB=AC,CD//AB.

求作：线段BP,使得点尸在直线切上，且4於为C.

作法：①以点4为圆心，4C长为半径画圆，交直线⑦于C,。两点；

②连接秘

线段勿就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：'：CD//AB,

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ZABP=.

'：AB=AC,

.•.点8在。/上.

又,：点、C,P都在。4上，

4BPC=\ABAC()(填推理的依据).

1

NABP=^ZBAC.

15.（2020•达州）如图，点。在N4%的边比1上，以如为半径作。。，N4比1的平分线向/交。。于点。,

过点〃作DEVBA于点E.

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；

（2）判断。。与加•交点的个数，并说明理由.

16.（2019•六盘水模拟题）如图，在△46C中，利用尺规作图，画出△46，的外接圆或内切圆（任选一

个.不写作法，必须保留作图痕迹）

17.（2020大连模拟）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

（1）如图①，四边形4%》中，AB=AD,ZB=ZA画出四边形力夕（笫的对称轴优

（2）如图②，四边形4%苏中，AD//BC,NA=ND,画出a1边的垂直平分线〃.

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A

18.（2019•四川省达州市）如图，在a△48C中，//必=90°,47=2,8c=3.

（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹.

①作24%的平分线，交斜边AB于点D-,

②过点〃作比•的垂线，垂足为点发

（2）在（1）作出的图形中，求朦的长.

19.（2019•广东）如图，在回中，点〃是力台边上的一点.

（1）请用尺规作图法，在△4?。内,求作N4龙.使DE交.AC千E；（不要

求写作法，保留作图痕迹）

ADAF

（2）在（1）的条件下，若,-=2,求空的值.

DBEC

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20.（2019•广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知△46C,请根据“必夕基本事实作出△分汽，使△应&

21.（2019山东枣庄）如图，砌是菱形46（力的对角线，/期=75°,

（1）请用尺规作图法，作47的垂直平分线明垂足为笈交力〃于我；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接孙；求/应冲的度数.

22.（2019•湖北孝感）如图，RtAABC中,N〃A90°,一同学利用直尺和圆规完成如下操作：

①以点C为圆心，以龙为半径画弧，交4?于点G；分别以点6、8为圆心，以大于工"的长为半径画弧,

2

两弧交点｛，作射线）；

②以点8为圆心，以适当的长为半径画弧，交比•于点M,交四的延长线于点M分别以点以/V为圆心，以

大于工物；的长为半径画弧，两弧交于点只作直线秘交4C的延长线于点〃，交射线或于点£.

2

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题;

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(1)线段CD与团的大小关系是；

(2)过点〃作〃d四交四的延长线于点尸，若/£12,BC=5,求ta〃/幽,的值.

23.(2019平谷二模)下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

p*

夙1

已知：如图1,直线/和/外一点P.

求作：直线/的垂线，使它经过点A

作法：如图2,

(1)在直线1上任取一点4

(2)连接4只以点尸为圆心，4尸长为半径作弧，交直线/于点6(点48不重合);

(3)连接外，作乙小?的角平分线，交AB于点、压

(4)作直线PH,交直线1于点H.

所以直线方就是所求作的垂线.

根据小元设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

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（2）完成下面的证明.

证明：平分//阳，

,NAPH-.

'：PA=,

...鼠L直线？于〃（）（填推理的依据）

24.（2019•甘肃庆阳）已知：在a'中，但AC.

（1）求作：△46C的外接圆.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若笫的外接圆的圆心。到a1边的距离为4,BC=6,则为。=

25.（2019•广东广州）如图，（DO的直径48=10,弦力C=8,连接员.

（1）尺规作图：作弦如，使切=8。（点〃不与8重合），连接力〃；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求四边形48（力的周长.

四、解答题（二）

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26.己知线段a、b,画一条线段，使其等于a+».

ab

27.如下图，已知线段a和6,求作一条线段］〃使它的长度等于2a—6.

I_______-_________I,b,

28.求作一个角等于已知角乙姒"（如图1）.