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2021年中考数学压轴题

1.(1)如图1,在矩形ABCQ中，AB=2,BC=5,ZMPN=90°,且NMPN的直角顶点

在8c边上，BP=1.

P力1

①特殊情形：若过点A,NP过点D,则而=_5_.

②类比探究：如图2,将NMPN绕点P按逆时针方向旋转，使PM交AB边于点E,PN

PE

交AO边于点凡当点E与点8重合时，停止旋转.在旋转过程中，而的值是否为定值？

若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

(2)拓展探究：在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=BC=2,AD±AB,0A的半径为

EC

1,点E是0A上一动点，CFLCE交AO于点F.请直接写出当aAEB为直角三角形时正

的值.

解：⑴ZAPB+ZDPC=90a,ZDPC+ZPDC=90a,

4APB=2PDC,

.—BPsRdCDP,

.PAAB21

"PD~CP~5-1-2

1

故答案为：

②点E与点8重合时，四边形EB阴为矩形，

PE1

则而=5为定值;

第1页共5页

(2)①当NAEB=90°时，

(I)当点E在点A的左侧时，如图3,

过点E、F分别作直线8c的垂线交于点G,H,

由（1）知：ZECB=ZCFH=a,

AB=2,AE=\,则NA8E=30°,

则£B=ABcos300=V3,

GB=EBcos60°=坐，同理EG=*

Fc_GC_2+空

cosacosa

FH=AB=2,

贝I」FC=­cosa=co-sa

ECV3

则nt==1+—；

FC4

(ID同理当点E在点A的右侧时,

r,ECV3

则元

②当NEAB=90°时,

(I)当点E在4的左侧时，如图4,

D

GB=E4=1,EG=FH=AB=2,

第2页共5页

则BE=V5,GC=3,

EC=y/EG2+GC2=V13,

FC?o__

tanZEGC=祝=Q=tana,贝!IFC=V13,

3

则——=一，

FC2

(ID当点E在点4的右侧时，

EC1

同理可得：—=

FC2

故：登的值为1+乎或1-字或;或"

FC4422

2.己知，如图，48是。。的直径，点C为。。上一点，OF上BC于点、F,交。。于点£,

AE与BC交于点H,点。为0E的延长线上一点，且NOO8=NAEC.

(1)求证：5。是。。的切线；

(2)求证：CE1=EH*EA；

5Q

(3)若。0的半径为矛sinA=胃，求3H的长.

2。

•/ZODB=ZAEC,ZAEC=ZABC,

：.ZODB=ZABC,

,:OF.LBC,

：.ZBFD=90°,

第3页共5页

；・/ODB+NDBF=90°,

AZABC+ZDBF=90°,

即NC3D=90°,

：.BDA.OB9

・・・班）是。。的切线；

(2)证明：连接AC如图2所示:

图2

•・・OFLBC,

：.BE=CE,

；・/CAE=/ECB,

・：4CEA=4HEC,

/.△CEH^AAEC,

.CEEA

••=~~~，

EHCE

.".CE1=EH'EA；

(3)解：连接BE,如图3所示:

图3

：AB是。。的直径,

第4页共5页

AZAEB=90Q,

5a

Y。。的半径为一，sinN84E=V，

2n

3

：.AB=5f8E=AB・sinN3AE=5x1=3,

：

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