二次型的矩阵处理

二次型的矩阵处理第1页，课件共23页，创作于2023年2月一二次型的矩阵表示形式1二次型可以用矩阵表示若记＝(注意这里aij=aji)第2节二次型的矩阵处理第2页，课件共23页，创作于2023年2月对如上的二次型矩阵表示形式，显然矩阵A完全决定了二次型f，注意矩阵A的特点，

aij=aji,(i,j=1,2,…,n)即A为对称矩阵。其实任给一个方阵A，即不要求A对称，则

f=xTAx,都是一个二次型。比如

第3页，课件共23页，创作于2023年2月2二次型与矩阵的关系对二次型xTAx，它由A完全确定，如此则二次型的一些特性应能在矩阵A中有所反应。但注意到如不对矩阵A加以限制，则一个二次型可以对应不同的方阵，反之，不同的方阵也有可能定义同一二次型。这种不惟一性将导致关系的无法传递（即无法建立映射），从而应予以克服。若要求A为对称矩阵，则任一二次型都可惟一地对应于一个对称矩阵；反之任一对称矩阵可惟一对应于一个二次型，且这种对应是一一映射关系，这样就克服了不惟一性问题。对二次型xTAx，若A为对称矩阵，则称A为二次型f的矩阵，称f为对称阵A的二次型。对称阵A的秩就叫做二次型f=xTAx的秩。第4页，课件共23页，创作于2023年2月例：写出如下二次型的矩阵1)2)3)第5页，课件共23页，创作于2023年2月3可逆线性变换的矩阵表示

二次型主要是化标准形问题，即通过如下的可逆线性变换将二次型化为只含平方项的标准形式。对上述可逆的线性变换，若记C=(cij)，则上述变换可写成矩阵形式

x=Cy.其中矩阵C可逆。反之，若矩阵C

可逆，则x=Cy

为可逆的线性变换。第6页，课件共23页，创作于2023年2月4二次型结论向矩阵结论的转化在第一节我们只使用二次型的知识论证了任一二次型都可以通过可逆的线性变换化为标准形。本节前面的论述则指明二次型及其线性变换可表示成矩阵的形式。基于二次型通过可逆变换能够化成标准形及其矩阵表示形式，我们可以得到：对任一二次型xTAx,其中AT=A，存在x=Cy,C可逆，使得

xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy为二次形的标准形，其中B=CTAC为对称矩阵，故为标准形的矩阵，从而一定是对角矩阵。第7页，课件共23页，创作于2023年2月对上面内容的描述，若只考虑矩阵内容，则可得如下结论：定理：对任意的对称矩阵A，总存在可逆的矩阵C，使得CTAC为对角形矩阵。这样由于表示式

f=xTAx的存在，使得我们完成了二次型知识到矩阵知识的转化。

上述分析还表明二次型变换前后的矩阵有如下关系

B=CTAC.定义：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使B=CTAC，则称矩阵A与B合同，或称A合同于B，记作AB。定理：对称矩阵一定与对角矩阵合同。第8页，课件共23页，创作于2023年2月矩阵的合同是一种等价关系：反身性：2)对称性：3)传递性：定理：合同的矩阵有相同的秩。证明：…

对二次型，由于经可逆的线性变换前后的矩阵是合同的，从而其秩也是一样的，又由于二次型矩阵的秩又称为二次型的秩，因此可说，可逆的线性变换不改变二次型的秩。第9页，课件共23页，创作于2023年2月二二次型的正交标准化对实对称矩阵,我们有定理：设A为n阶对称阵，则必有正交阵U，使U-1AU=UTAU=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵。在前面我们使用数学归纳法证明了二次型是可以通过可逆的线性变换化为标准形，但这里有两个问题比较麻烦，其一是证明过程的表述形式过于繁杂；其二是确定所说的可逆的线性变换也不是简单易得的。

问题：真对如上关于对称矩阵的结论，能否用于二次型的可化为标准形证明，以及确定所求的可逆的线性变换？第10页，课件共23页，创作于2023年2月定理：对任意的n元实二次型f=xTAx，其中A=AT为f的矩阵，则存在可逆正交变换x=Uy，可化二次型为标准形。证明：因为A为n阶对称阵，则必有正交阵U，使U-1AU=UTAU=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵。从而有f=xTAx=(Uy)TA(Uy)=yTUTAUy=yT(UTAU)y=yT

Λy由于Λ是对角矩阵，从而正交变换Uy将二次型化为标准形。证毕。注意：这里给出了二次型可化为标准形的矩阵证明方式；并同时指出了所求的可逆的线性变换。第11页，课件共23页，创作于2023年2月例：求一个正交变换x=Py，把如下的二次型化为标准形。解：二次型f的矩阵为A的特征多项式为第12页，课件共23页，创作于2023年2月第13页，课件共23页，创作于2023年2月对上述基础解系再先正交化，然后再单位化即可得到构造正交矩阵的正交单位向量p2,p3,p4；问题：能否直接构造出正交的基础解系？知识是死的，人是活的，有灵性的。第14页，课件共23页，创作于2023年2月对已是正交的基础解系单位化，从而所得的正交变换为且有f=

第15页，课件共23页，创作于2023年2月三二次型化标准形问题的进一步分析及初等变换法在上例中，我们给出了二次型化标准形问题的正交变换法。但上例的求解过程表明，这种方法也并不简单。比如试用正交变换法化如下的二次型为标准形解：二次型的矩阵为它的特征多项式为该多项式无有理根。第16页，课件共23页，创作于2023年2月由于当A的特征多项式没有有理根，从而只能是无理根。此时该多项式的的因式分解没有一般的方法可循，这构成一个实际的困难，即无法确定特征值。

问题：我们目标是什么？终极目标是求特征值吗？将二次型化为简单的标准形式，目标并不在于求特征根，因此求特征值与特征向量或许没有必要。我们再来看定理定理：对任意的n元实二次型f=xTAx，其中A=AT为f的矩阵，则存在可逆正交变换x=Uy，可化二次型为标准形。

做多了第17页，课件共23页，创作于2023年2月在用配方法证明二次型可经可逆的线性变换化为标准形的结论中，我们只使用了二次型如下的的一般记法并没有涉及到矩阵知识。但如前所述，二次型与对称矩阵存在一一对应关系，因此二次型可经可逆线性变换化为标准形的结论在对称矩阵上必有所反应。即对称矩阵应有相应的性质对此作出解释。＝第18页，课件共23页，创作于2023年2月由定理，若A为对称矩阵，知必存在可逆的矩阵C，使得

CTAC为对角矩阵。因可逆的矩阵可表示为初等矩阵的乘积，从而存在初等矩阵,使得代入上式则有：即存在初等矩阵使得上式为对角矩阵。又若P为初等矩阵，则PTAP

相当于先对A作了一个列初等变换，又作了一个行初等变换，并且是成对的。因此上式又表明，只需对A作一系列成对的初等变换，就可以变成对角形，我们只需记录下全部的列变换或全部的行变换，就得到了矩阵C或CT。第19页，课件共23页，创作于2023年2月初等变换法化二次型为标准形(A,E)