高数 第八章 第一节 向量及其线性运算

数量关系

—第八章第一局部向量代数第二局部空间解析几何在三维空间中:空间形式

—点,

线,

面根本方法—坐标法;向量法坐标,方程〔组〕空间解析几何与向量代数

四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算

第八章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2

,或

a,规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.假设k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,那么称此k个向量共面.记作－a;二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法那么:平行四边形法那么:运算规律:交换律结合律三角形法那么可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此定理1.

设a为非零向量,那么(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.那么a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b与a同向,设又有b＝

a,“”那么例1.设M为解:ABCD对角线的交点,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥bⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规那么组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的根本概念Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);坐标轴:坐标面:八个卦限zyx01.

空间直角坐标系八个卦限zyx0.

1.

空间直角坐标系八个卦限zyxⅡⅢⅠⅣⅤⅥⅧ0MxyNz(x,y,z)M(x,y,z)点的坐标.

1.

空间直角坐标系0zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z)坐标和点

M1.

空间直角坐标系.0zyx0NM点到坐标面的距离M点到原点的距离M点到坐标轴的距离PQ到z轴:到x轴:到y轴:M(x,y,z)d1d2d3...1.

空间直角坐标系.x0zyM点的对称点关于xoy面:(x,y,z)(x,y,-z)关于x轴:(x,y,z)(x,-y,-z)Q0关于原点:(x,y,z)(-x,-y,-z)1.

空间直角坐标系.M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M

那么沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r

可用向径OM

表示.四、利用坐标作向量的线性运算设那么平行向量对应坐标成比例:例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得例3.两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如下图及实数得即说明:由得定比分点公式:点

M为AB的中点,于是得中点公式:五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模与两点间的距离公式那么有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与例4.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例5.

在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.两点和解:求2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作方向余弦的性质:例7.两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例8.设点A位于第一卦限,解:角依次为求点A的坐标.那么因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x