第十章含有耦合电感电路

重点

1.互感和互感电压

3.有互感电路的计算2.耦合电感的串联、并联和T形去耦等效方法。

4.空心变压器和理想变压器原理第十章含有耦合电感的电路耦合——是指电路中某一条支路的电压或电流与另一条支路的电压或电流相关联。

磁耦合——载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象耦合电感元件——是通过磁场相互联系、相互约束的若干电感元件的集合，是磁耦合电感线圈的电路模型。

具有磁耦合的两个或以上的线圈，称为耦合线圈。

10-1互感一、互感和互感电压+–u11+–u21i11121N1N2当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通，同时有部分磁通穿过临近线圈2。这部分磁通称为互感磁通。两线圈间有磁的耦合即互感。当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。当i1、u11、u21方向与符合右手定则时，根据电磁感应定律和楞次定律。当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有L1：线圈1的自感系数；M21：线圈1对线圈2的互感系数。单位：Hu11：自感电压；u21：互感电压。：磁通链同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通22，12

。i2为时变时，线圈2和线圈1两端分别产生感应电压u22

，u12

。Φ21

和Φ12称为耦合磁通或互感磁通。+–u12+–u22i21222N1N2由于两个线圈的互感属于相互作用，因此，对任意两个相邻的线圈总有：M12=M21=M。互感的大小反映了一线圈在另一线圈中产生磁通的能力。当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：在正弦交流电路中，其相量形式的方程为

互感的性质①从能量角度可以证明，对于线性电感

M12=M21=M②互感系数M只与两个线圈的几何尺寸、匝数、相互位置和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有MN1N2（LN2）定义为两线圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何平均值。二、耦合系数工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合程度，而引入耦合系数。——表示两个线圈磁耦合的紧密程度。F11≥F21，F22≥F12k=1时，称全耦合；无漏磁通，即F11=F21，F22=F12。

k=0时，则M=0,两线圈之间无耦合。K与线圈的结构，相互的几何位置，空间的磁介质有关。0≤k≤1。三、互感线圈的同名端具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对自感电压，当u,i

取关联参考方向，i与

符合右螺旋定则，其表达式为上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。对线性电感，用u,i描述其特性，当u,i取关联方向时，符号为正；当u,i为非关联方向时，符号为负。i1u11对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或同时流出，若所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。**引入同名端可以解决这个问题。(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。同名端表明了线圈的相互绕法关系。确定同名端的方法：(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。**i1△△+–u11+–u21110N1N2–+u31N3s

同名端的实验测定：i11'22'**RSV+–电压表正偏。如图电路，当闭合开关S时，i增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。i11'22'**11'22'3'3**i1**i2练习：四、由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。(参考前图，标出同名端得到下面结论)。i1**u21+–M互感电压前的“+”或“-”号的确定i1**M由同名端及i、u参考方向确定。+u21-互感电压的极性与产生它的变化电流的参考方向对同名端一致。i1**M-u21+互感电压的方向与端电压的参考方向一致，互感电压前应取“+”号，反之取“-”号。+u2-+u2-i1**L1L2+_u1+_u2i2M**L1L2+_u1+_u2i2Mi1时域形式：**jL1jL2+_jM+_在正弦交流电路中，其相量形式的方程为i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M注意：有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。(1)一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；(2)互感电压的符号有两重含义。同名端；参考方向；互感现象的利与弊：利用——变压器：信号、功率传递避免——干扰克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。一、互感线圈的串联顺串（异名端相接）i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–10-2含有耦合电感电路的计算去耦等效电路反串（同名端相接）i**u2+–MR1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–互感不大于两个自感的算术平均值。在正弦激励下：**+–R1R2jL1+–+–jL2jM例:图中电路原已稳定。已知R=20，

L1=L2=4H，

k=0.25,US=8V。t=0时开关闭合，求t>0时的i(t)和u(t)。解：先求出互感1.同名端在同侧i=i1+i2解得u,i的关系：二、互感线圈的并联**Mi2i1L1L2ui+–互感小于两元件自感的几何平均值。2.同名端在异侧i=i1+i2解得u,i的关系：**Mi2i1L1L2ui+–三、互感消去法1.去耦等效(两电感有公共端)**jL1123jL2jMj(L1–M)123j(L2–M)jM整理得(a)同名端接在一起(同名端为共端）去耦等效电路**jL1123jL2jMj(L1+M)123j(L2+M)-jM整理得(b)非同名端接在一起（异名端为共端）

这种等效变换得出的T型电路已消除了两个线圈的互感作用，称为互感消除法。这种等效电路称为互感线圈的T型去耦等效电路。2.受控源等效法jL1jL2+––++–+–**jL1jL2jM+–+–

例1试求图中所示一端口网络的等效电路。解：电感串并联公式求得总电感为例1:Lab=5HLab=6H解M=3H6H2H0.5H4Hab9H7H-3H2H0.5HabM=4H6H2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3H10-3

空心变压器**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX

变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接源，另一线圈接负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。1.空心变压器电路原边回路副边回路2.分析方法（1）方程法分析**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX令

Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)回路方程：Z11：称为原边回路自阻抗；Z22：称为付边回路自阻抗；Z12=Z21=jωM

称为原付边回路互感阻抗解方程：（2）等效电路法分析+–Z11原边等效电路原边回路:原边回路的输入阻抗为输入阻抗由两部分组成：Z11=R1+jωL1，即原边回路的自阻抗；

Zl——反映了副边回路对原边回路的作用,称为反映阻抗，或称引入阻抗。

Zl与Z22的性质相反。这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。从能量角度来说:电源发出有功=电阻吸收有功=

I12(R1+Rl)I12R1消耗在原边；I12Rl靠原边电源供给，消耗在副边，由互感传输。不论变压器的绕法如何，恒为正,这表示电路电阻吸收率，它是靠原边供给的。副边电路：+–Z22—原边对副边的引入阻抗。副边吸收的功率：

副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。例1.

L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,解：空心变压器原边等效电路。**jL1jL2jM+–R1R2RL+–Z11例2.

已知US=20V,原边引入阻抗Zl=10–j10.求:

ZX并求负载获得的有功功率.此时负载获得的功率：解：**j10j10j2+–10ZX+–10+j10Zl=10–j101.理想变压器的三个理想化条件

理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。（2）全耦合（1）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大（电阻效应为零）（3）参数无限大

以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。§10.4理想变压器i11'22'N1N22.理想变压器的模型**n:1+_u1+_u2理想变压器模型i1i2用相量表示有：3.理想变压器的主要性能（1）变压关系（2）变流关系i1**L1L2+_u1+_u2i2M考虑到理想化条件：0n:1理想变压器模型（3）变阻抗关系**+–+–n:1Z+–n2Z从