第三章数字滤波

第三章数字滤波一、滤波器基本概念1.滤波器的定义对输入信号进行某种加工处理，以获得信号中的有用信息而去掉无用信息的一个装置或系统。2.滤波器分类

模拟滤波器：用无源（R、L、C）器件或有源器件（运算放大器）组成的一个物理装置或系统。

数字滤波器：将经过采样和模数转换得到的数字量，进行某种数学处理以获得信号中有用信息，去掉信号中的无用信息。S/HA/D数字处理D/A14.数字滤波器的优点数字滤波器是根据数学表达式由软件实现，有如下优点：◆特性一致性好◆不存在温度变化对滤波器性能的影响◆不存在阻抗匹配问题◆滤波器特性容易修改◆多路模拟量可以共享因此，主要讨论数字滤波器的原理与设计3.模拟滤波器的缺点模拟滤波器由硬件实现，有如下缺点：◆元器件特性差异对滤波器性能的影响◆温度对滤波器性能的影响◆滤波器特性修改很难◆输入阻抗、输出阻抗的匹配◆每路模拟量都需要，不能共享2二、连续时间系统的频率特性和冲激响应1.基本概念◆系统反映原因和结果关系的装置或运算可称为系统。一个系统可以用下图表示。◆线性系统满足下式的系统称为线性系统，即：输入为X1（t）时的输出输入为X2（t）时的输出若用算子符号T[·]来描述系统，则可表示为：T3◆时不变系统满足下式的系统称为时不变系统，即：上式表明：输入推迟一个时间t1，则输出也推迟一个时间t1,且波形不变。◆因果系统输出变化不会发生在输入变化之前的系统。◆稳定系统任意有界输入都不会产生无界输出的系统。绝大多数系统都是线性、时不变、稳定的因果系统。42.冲激函数δ(t)◆定义冲激函数δ(t)定义为：冲激函数表示法面积为1的矩形脉冲由上式可知：δ(t)是发生在t=0时具有单位面积的一个无限窄的脉冲。可以理解为面积为1的矩形脉冲在脉冲宽度α趋于0时的极限。◆性质任意函数f(t)与δ(t)相乘后，沿时间轴的积分为f(t)在t=0时刻的值，即：类似可得：发生在t1时刻的一个冲击◆δ(t)的频谱傅氏变换的定义：53.连续时间系统的频率特性连续系统的输入和输出在频域具有如下关系：输出的傅氏变换或频谱输入的傅氏变换或频谱系统的频率特性H(f)一般是复数，可表示为：幅频特性相频特性H(f)是对系统或滤波器的充分描述，任意输入信号可以分解为无限多个频率成分，通过H(f)得到对应每一个输入分量的输出，其总和就是对应任意输入信号的输出。因此，只要知道滤波器的频率特性就知道滤波器的行为。H(f)反映的是滤波器的频域特性，即通过H(f)可以清楚地看到滤波器滤除不需要频率成分的能力。不能直观地看到滤波器的输入和输出在时域的关系。4.连续时间系统的冲激响应◆定义当系统或滤波器的输入为冲激函数δ(t)时，其输出记为h(t),称为该系统的冲激响应，则可表示为：对于因果系统有：当t<0时，h(t)=0,对于时不变系统有：6结论：冲激响应h(t)对系统或滤波器的描述也是充分的任意输入信号可以用无穷个冲激之和来表示，即：变量t对于积分式来说是一个常数。积分式的值等于τ=t时x(τ)的值，即x(t)。因此，只要知道冲激响应h(t)，就可以求出任意输入时的输出。卷积积分5.冲激响应与频率特性之间的关系对上式两边进行傅氏变换可得：进行变量替换λ=t-τ，可得：可以证明卷积满足交换率，即：因此，可得：7因此有：时域卷积定理：结论：频率特性和冲激响应是一个傅氏变换对。频域卷积定理：例：具有矩形冲激响应的滤波器的滤波作用8◆滤波器的响应时间滤波器的输入从一个稳态到另一个稳态时，其输出要经历一个过渡过程的延时才能达到新的稳态输出，这种延时成为滤波器的响应时间。对于微机保护，这是一个重要指标。响应时间与滤波器的冲激响应有直接的联系。冲激响应的持续时间越长，滤波器的响应时间越长。结论：设计滤波器时，既要考虑频率特性，又要考虑响应时间。实际的冲激响应必定是偏向时间轴右侧，如图所示，因为必须满足当t<0时，h(t)=0的条件，根据延时定理，其傅氏变换如图所示，增加了一个相移特性φ(f)。可得：因此，具有冲激响应的滤波器实际上是将输入信号移动的积分，积分区间的长度为T，能够完全滤除输入信号中频率为f=1/T及其整数倍的各种频率成分。将如图（a）所示的冲激响应带入下式：95.周期时间函数的傅氏变换和傅氏级数◆直流量的傅氏变换设f(t)=1，则：因为冲激函数δ(t)的傅氏变换为1，通过傅氏反变换可得：用变量置换，将t和f互换，可得：比较式（1）和式（2）的右侧，除了e的指数符号不同外，其它完全相同，由于积分的上下限为+∞和-∞，所以式（1）和式（2）右侧的积分值相同。结论：常数1的傅氏变换为频域的冲激函数δ(f)。◆复指数函数的傅氏变换对f(t)进行傅氏变换得：◆正弦和余弦信号的傅氏变换正弦和余弦信号可以表示为：10◆周期为T的任意函数的傅氏变换将fT(t)展开成傅氏级数：对上式两边进行傅氏变换，可得：结论：周期函数的傅氏变换的一般形式是一串间隔为基频f0的冲激，各冲激的强度为其各次谐波的幅度。◆一串等间隔冲激的傅氏变换δT(t)为无穷多个间隔为T、强度为1的冲激，其傅氏级数的各次谐波的复系数为：则δT(t)的傅氏变换为：结论：δT(t)的傅氏变换是在频域的一串等间隔冲激，其强度和间隔均为1/T。11三、离散时间系统的频率特性和单位冲激响应1.离散时间信号的频谱连续信号x(t)经过采样和模数转换后得到离散信号离散时域表示法冲激表示法仅在离散的时间域有定义，因此其傅氏变换定义为：采样信号可表示为：X*(t)的傅氏变换为：结论：x(nTs)与x*(t)的傅氏变换相同。12◆x*(t)与x(t)频谱之间的关系x*(t)是x(t)与一串间隔为Ts的均匀冲激δTs(t）的乘积，各冲激的强度是该采样时刻x(t)的瞬时值，可表示为：对上式两边进行傅氏变换，并应用频域卷积定理可得：X*(f)与X(f)的关系由图可知：X*(f)相当于X(f)以fs为周期，拓广成频率的周期函数。如果X(f)是限带的，并且满足：则X*(f)在-fs/2到fs/2的一个周期范围内的形状同X(f)一样，即：通过x(t)在各个时刻的值x(nTs),就可以求出X*(f),在-fs/2到fs/2范围内按下式积分就可以得到x(t)在任意时刻的值。13由于离散时间信号的频谱是周期性的，其傅氏反变换形式定义为：定义在连续域的采样信号x*(t)的傅氏反变换为：142.单位冲激序列和单位冲激响应◆单位冲激序列的定义与δ(t)的区别是，定义在离散域◆单位冲激响应一个离散系统对δ(nTs)的响应记为h(nTs)，称为该系统的单位冲激响应，用算子符号T表示为：任意的离散输入信号x(nTs)可以表示为一串相互错开、幅值受到调制的单位冲激序列之和，即：对应的输出可以用单位冲激响应表示为：上式右侧成为卷积和，记为：153.离散时间系统的频率特性一个单位冲激响应为h(nTs)的离散系统的输入输出可以表示为：对上式两端进行傅氏变换得：输入信号的傅氏变换或频谱单位冲激响应的傅氏变换或频谱上式可以表示为：就是离散系统的频率特性，其物理意义与连续系统的频率特性一样。冲激响应h(nTs)的Z变换称为系统的系统函数或传递函数。16四、Z变换及其性质1.Z变换定义离散信号为x(n)的Z变换定义如下：2.Z变换的基本性质◆线性性质设m(n)=ax(n)+by(n)，a、b为常数，则：◆位移性质设离散信号x(n)的Z变换为X(z)，则右移序列x(n-r)的Z变换为：右移序列x(n-r)的Z变换公式推导如下，根据Z变换的定义有：变量替换k=n-r17设离散信号x(n)的Z变换为X(z)，则左移序列x(n+r)的Z变换为：左移序列x(n+r)的Z变换公式推导如下，由Z变换的定义有：变量替换i=n+r◆卷积性质设m(n)是x(n)和y(n)的卷积，即：则：推导如下，由Z变换的定义有：18五、数字滤波器分类◆按脉冲响应时间分无限冲激响应滤波器(IIR):有限冲激响应滤波器(FIR):◆按运算结构分

非递归型数字滤波器:递归型数字滤波器:

特点：在有限冲击响应滤波器(FIR)和非递归型数字滤波器中，一般不存在输出对输入的反馈支路。◆数字滤波器的传递函数 输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比，即：非递归型数字滤波器的传递函数：递归型数字滤波器的传递函数：19◆数字滤波器的频率响应 滤波器的频率响应定义为：│=式中ω=2πf，f为输入信号的频率；幅频特性：相频特性：

20六、几种常用的数字滤波器1.差分滤波器差分滤波器可以表示为：y(n)=x(n)-x(n-k)，K≥1差分滤波器当前时刻输出y(n)与先行输出无关，属于非递归型数字滤波器。◆传递函数对上式进行Z变换可得：传递函数为：◆差分滤波器的幅频特性和相频特性将带入上式中，得差分滤波器的幅频特性和相频特性。幅频特性：相频特性：21◆差分滤波器的特性分析设需滤除m次谐波，将带入，应使即：将带入上式，可求得：即：差分滤波器特点：

※能够滤除直流分量；

※能够滤除所有的偶次谐波分量；

※能够滤除部分奇次谐波分量。222.加法滤波器加法滤波器可以表示为：y(n)=x(n)+x(n-k)，K≥1加法滤波器当前时刻的输出y(n)与先行输出无关，属于非递归型数字滤波器。

◆传递函数对上式进行Z变换可得：传递函数为：◆加法滤波器的幅频特性和相频特性将带入上式中，得加法滤波器的幅频特性和相频特性。幅频特性：相频特性：23◆加法滤波器的特性分析设需滤除m次谐波，将带入，应使即：将带入上式，可求得：即：加法滤波器特点：

※不能滤除直流分量；

※能够滤除所有的奇次谐波分量；

※能够滤除部分偶次谐波分量。243.积分滤波器积分滤波器可以表示为：y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+…+x(n-k)，K≥1积分滤波器当前时刻的输出y(n)与先行输出无关，属于非递归型数字滤波器。◆传递函数对上式进行Z变换可得：传递函数为：◆积分滤波器的幅频特性和相频特性将带入上式中，得积分滤波器的幅频特性和相频特性。幅频特性：相频特性：◆积分滤波器的特性分析设需滤除m次谐波，将带入，应使25将带入上式，可求得：即：※能够滤除所有的偶次谐波分量；※能够滤除部分奇次谐波分量。积分滤波器的幅频特性可为表示为：此时，上式的值为1，所以积分滤波器不能滤除直流分量。由可知，当积分滤波器特点：

※不能滤除直流分量；264.加减法滤波器加减法滤波器可以表示为：当前时刻的输出y(n)与先行输出无关，属于非递归型数字滤波器。◆传递函数对上式进行Z变换可得：传递函数为：◆加减法滤波器的幅频特性和相频特性当K为奇数或偶数时，加减法滤波器的特性不同。将带入上式中，得加减法滤波器的幅频特性和相频特性。幅频特性：相频特性：K为奇数时K为偶数时K为奇数时K为偶数时27◆加减法滤波器的特性分析(K为奇数)设需滤除m次谐波，将

带入，应使即：将带入上式，可求得：即：加减法滤波器(K为奇数时)特点: ※能够滤除直流分量；

※能够滤除所有的偶次谐波分量；

※能够滤除部分奇次谐波分量。28◆加减法滤波器的特性分析(K为偶数时)设需滤除m次谐波，将带入，应使即：将带入上式，可求得：即：加减法滤波器(K为偶数时)特点：

※不能滤除直流分量；

※能够滤除部分偶次谐波分量；

※能够滤除所有奇次谐波分量。295.简单滤波器的级联由M个滤波器串联构成的滤波器的传递函数为：幅频特性为：相频特性为：第i个滤波器的传递函数30七、非递归型数字滤波器设计非递归型数字滤波器是将输入信号与滤波器的单位冲激响应做卷积和而实现的一类滤波器，即：几点说明：◆卷积和的上下限分别为k=0和N，对于因果系统，在k<0时，h(nTs)必为0；◆单位冲激响应必须是有限长，否则意味着有无限的运算量，无法实现；◆非递归滤波器必定是有限冲激响应滤波器，其输出只与输入有关。设计方法：◆先在连续域进行，根据频域提出的要求，找到一个合适的傅氏变换对H(f)和h(t)，称为设计样本；◆对h(t)按系统的采样频率采样，得到h(nTs)的各系数值；◆按（1）式实现数字滤波器。1.基本要求1在对h(t)进行采样时，必须满足：则所设计的数字滤波器的频率特性在-fs/2到fs/2范围内将和H(f)的形状完全相同，即达到设计要求；否则将出现频率混叠，设计的数字滤波器的特性与设计样本有差异。微机保护一般需要低通和50Hz带通滤波器，上述条件一般都满足。31需证明：在-fs/2到fs/2范围内，只要和H(f)相同，且数据采集系统对输入信号的采样不产生频率混叠，即满足：则该数字滤波器的输出y(nTs)就是同一个信号x(t)经过作为设计样本的模拟滤波器后输出的采样值。证明如下：设样本模拟滤波器的输出为：数字滤波器的输出为：若在对x(t)采样时不产生频率混叠，则有：代入上式可得：在-fs/2到fs/2范围内，只要和H(f)相同，就有：结论：可以用数字滤波器来模拟模拟滤波器322.基本要求2非递归型数字滤波器的单位冲激响应必须是有限长，但根据频域的要求，样本的冲激响应是无限长。因此，在设计非递归数字滤波器时就要截断，从而使设计的滤波器的频率特性偏离设计样本。①余弦50Hz带通滤波器◆图（a）和（b）是一对傅氏变换对，时域为一个50Hz的余弦函数，频域则是冲激函数。图（a）是理想的50Hz带通滤波器特性，无法实现。◆为了用非递归方法近似实现这个理想特性，采用图（c）所示的矩形时间函数p(t)与图（a）所示的理想特性相乘，将其截断成图（d）所示的有限长特性。◆矩形时间函数p(t)的频率特性如图（e）所示。根据频域卷积定理可得：33◆特性分析※具有50Hz带通特性，在0～100Hz间有一个主瓣，在高频段有许多旁瓣，能完全滤除所有的50Hz的整数倍的高次谐波。※主瓣的宽度决定于截取的长度，p(t)的长度越长，图（e）中的主瓣就越窄，图（f）中的主瓣也越窄，即滤波器的选择性越好，p(t)的长度趋向无穷大时，（f）的特性就趋近理想特性。◆数字滤波器实现求h(nTs)的有限个系数：只需要p(t)进行采样，就可求得，对p(t)采样相当于用一串均匀冲激与图(d)相乘。冲激函数可以看成矩形脉冲的极限，取h(0Ts)=1/2，因为矩形脉冲无限缩小时，不连续点的右侧面积始终为1/2。取Ts=5/3ms,可得h(nTs)如下表。频率特性为图（f）与均匀冲激串的卷积，如下图（b）所示。34②正弦型50Hz带通滤波器滤波器的冲激响应是用20ms的矩形窗函数去截断一个负的正弦函数，如图（a）所示。当Ts=5/3ms时，h(nTs)的值如下表所示。特点：余弦型50Hz带通滤波器对50Hz信号的相移为零，而正弦型50Hz带通滤波器的相移为π/2。说明：分析一个已知的FIR滤波器的特性，不需要知道它的连续域样本，一般是直接根据已知的h(nTs)各系数，用离散信号的傅氏变换求出，或先用Z变换求出H(Z)，再用取代Z而得到滤波器的频率特性。35八、递归型数字滤波器设计1.非递归型数字滤波器的缺点◆为了达到频率提出的要求，常常要求冲击响应是无限长；◆在实际中常近似地用时窗函数来截断，但想逼近样本，所要求的长度比较长，如正弦、余弦50Hz带通滤波器需要20ms；◆进一步提高选择性，长度还要加长，使运算量增大。对于某些实时应用，可能跟不上节拍，或对硬件提出更高的要求。2.递归型数字滤波器递归型数字滤波器可按下式实现：各系数ak和bk决定滤波器的特性，上式没有直接显示出滤波器的单位冲激响应，因此不能从h(nTs)推出其频率特性。对上式进行傅氏变换可得：整理可得：363.递归型数字滤波器的特点◆递归型滤波器一般是无限冲激响应滤波器，简称为IIR◆在实际中，IIR并不意味着无限长的响应时间。例如：按指数衰减的曲线经其衰减时间常数的3倍以后，可以认为已衰减为0，而理论上t→∞时其极限才为零。◆递归型滤波器的单位冲激响应是客观存在的，可以通过滤波器的频率特性求傅氏反变换得到。◆与非递归型数字滤波器相比，在达到同样的逼近样本特性的条件下，递归型数字滤波器的运算量一般要小得多。4.递归型数字滤波器实现方法递归型数字滤波器的实现就是如何根据频域的样本确定各系数ak和bk确定系数ak和bk递归型数字滤波器的频率特性：375.递归型数字滤波器设计举例设已知样本模拟滤波器的频率特性为：这是一个一阶巴特沃思（Butterworth）滤波器，其单位冲激响应为：阶跃函数可以用一个RC电路来构成，如下图所示。满足：α=1/RC冲激响应幅频特性由图可知，这是一个IIR滤波器。对h(t)采样可得：两边求傅氏变换得：与比较可得：M=0,a0=1,N=1,可得：38九、用零极点配置法设计数字滤波器1.N阶线性时不变系统的差分方程一个N阶线性时不变系统可用常系数线性差分方程表示为：对上式进行Z变换可得：传递函数为：上式可以表示为连积形式：令，得：39◆滤波器的零点

在上式中，当时，，表示对于选定的频率成分，滤波器的输出为零，因此，称为滤波器的零点。◆滤波器的极点在上式中，当时，，表示对于选定的频率成分，滤波器的输出为无穷大，因此，称为滤波器的极点。极点应设置在单位圆内，即：p越接近1，的值越小，滤波器对极点频率的输出越大，但滤波器的稳定性降低。2.用零、极点配置法设计非递归型数字滤波器N阶线性时不变系统的传递函数为：令，得非递归型数字滤波器的传递函数为：表示为连积形式：由上式可知：非递归型数字滤波器只有零点，没有极点，所以又称为全零点滤波器。40◆零点配置 原则：为使滤波器的系数为实数，零点按共轭复数成对设置。设对m次谐波设置零点，则滤波器的传递函数为：谐波次数基波角频率采样间隔时间设采样频率为600Hz，可求得直流分量、基波、2次谐波….6次谐波滤波器的传递函数如下表。滤波器传递函数直流分量基波2次谐波3次谐波4次谐波5次谐波6次谐波例：设采样频率为600Hz，设计一个滤波器，要求保留基波分量，将直流分量和其它各整次谐波滤除。解：在直流、2次、3次、4次、5次、6次谐波出设置零点，将这些滤波器串联，得滤波器的传递函数为：41对应的差分方程为：该滤波器的幅频特性为：滤波器幅频特性423.用零、极点配置法设计递归型数字滤波器N阶线性时不变系统的传递函数为：当，构成的数字滤波器的当前输出不仅与历史输入有