2021考研数学三真题及答案解析(全)

2021研熬孕二成优林析

2021考研数学真题及答案解析

数学(三)

一、选择题(本题共1()小题，每小题5分，共5()分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求，把所选选项前的字母堞在答题卡指定位置上.)

⑴当XT0时.£(/-lW是/的

(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷(D)同阶但非等价无穷

【答案】C.小一小•

r优衣[中£(e'-iw]=2x(Z-l)-2x\所以『(/■肋是/高阶无穷小，正

【解析】因为3x->0时，

确答案为C.

矿一1

x■X*,在、=0处

"=0

(A)连续且取极大侦(B)连续旦取极小值.

(C)可导旦导数为0.(D)诃导n导数不为

【答案】D°-

LWWJ12373imj八x)=nm上=1=/(UJ,iW/(x)Ax=U优是荻：iUx

31=hm

因为hmmJ(u)=i„„-1守肌［广3尾，正确答U)°

(3)设函数/CY)=ai-/>lnx(n>0)有两个零点.姻二的U叉值范围是

a

(A)(e.+x).©叱)(DM产)

【答案】A【解析】令/(x)=ax-blnx=o,广(、)二〃修，令，(、)二。有驻点》/

x&f\

2h|=〃-・一・8hi—<0.

从而In->B可得->e>正确答案为A.'«'cia

aa

⑷设函数外可微，/(x+l,e*)=.\(.v+1)2,/(.v,.v2)=2.v2ln.r,5l!j#(l-1)=

(A)dv+如(B)dx-dy.(C)(fy・(D)-次

【答案】C.

【解析】/;'(•、+l・b)+g、力(X+1,矿)=(A+1>+2A(.V+1)

«(X.X2)+2lM*(x,x4)=4xInx+2x

2021>>;•研如学二成。林析

如)+如)=1•片(1,1)+2片(1,1)=2

联立可得如)=0,£'(14)=1,"(1』尸工'(1,1)函+万(1,1)妙•必，故正可答案为C.

(5)-次型，(斗，勺，可)=(可+呵)2+(七+天)2-(*—％)2的正惯性指数与负惯性指数依次为

(A)2,0.(B)l,l.(C)2,l.(D)l,2.

【答案】B

A

(解析］/(X1,X2,XJ)=+X2)2+(X,+.Y3)2-(X3-)2=+2XxX2+2.Y2X3+2xxX3

<011、

所以A=.故特征务项式为

X-l-1

\AE-A|=-1-2-1=(2+1)(4—3)/1

令上式等］•零,故特征值为7,3,0.故该：次型的1E惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B

\\

(6)设,4=(.0］、％。)为4阶正交矩阵.若矩阵8=&丁”=1,土表示任意常数，

-T

则^性方程&［Bx=fl的通解x=

(A)弓十。3

(C)a+a2++ka、.(D)a+a2+a,+ka.

【答案】D.

【解析】因为刀=01'@,%，久)为4阶止交矩阵.所以向量组aapa,.a4是一组标准正交向量

组.则>(3)=3,又BOA=a/a4=0,所以齐次线性方程组Hx=0的通解为ka,•而

B(a+a：+a3)=aT(a,+a、+aj=1=p故线性方程组8x=p的通解

严”［1,

x=a】+a/%+取其中•为任意常数故应选D

r1o-r

(7)己知矩阵」=2-11•若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使P4Q为对角

-12-5

矩阵，则尸•。可以分别取

2021»;•研数孕二成优林析

100<0n100100

(A)0106i3(B)2-10010

0°L00r-32L0°L

100a0100,12-3、

(C)2-10013(D)01090-12

厂1/

32100L13100✓

[答案JC[解析

10-1100rl0-110010-1100

(4£)=2i100—>0-13-210—>01-32-10

L-l2-500L2-6101000-32L

=(F.P).则尸=2-1

-32

10-1

01—3

000

，则0=013.故应选C.

100

(8)设夕为随机怕七f!O<P(B)<l>F列命题中不成立的是

(A)若P(A|B)=P(J),则P(.41B)=P(.4).

(B)lfP(.4W)>P(.4).则P(刁B)>P(l)

(C)gI句>P(AIB),则P(A\B)>P(.4)

(D)若P(A\A(JB)>P(J)>P(B).

【答案】D

PJ)

t解析】p(.mu必带费心''㈤"印)P如心如皿PG)P(JUA)~_P(JUA)~P(J)+P⑸-P(AB)

P(B)-P(AB)

WP(JIJu5)>P(JIJUB),国

flP(.4)>P(ff)-P(.-L8)f故正确答案为

（9）设（w,m,（羽，匕），•，（xq：）为来自总体的简单随机样本，令。=四一外，尹=2■支x,,F

Ay;,e=x-F则

•〃I»1u»1

(A)E(q)=".z)(q)=+%?

网射岩封塑蛔部祈晔、瀚0晰'冲阳韩(15*50).0呻•咪=4花册印0府习叩汞制£1)

9=(i-JT(7"r""…’一7"【出楠】

9[Xfi]早加)

9Z,顼甲Xg.中

瞄=1而(~j~*%-g-=rp「J倾】

a乙

-【激新

-nxs

.W

二叫而倘》一。3水八⑻

CT

尊珥芝群拐国最辛W洛最辨果£计'&§・、，毋,照W9计随卓)隔互再、二

>0+[0-70P

VAOTT=A,O=T+T=®7疝瞒tz

:分直3)田9+负飞冲£=0)7叫瑾M

曲。+[0-[

七(土)£(方土)=0)7斡封潟沼【事

到】

V[5KSJ

ZZ8t

•-(a)Y(o)-(a)y(v)

¥用41刊溢部Y西饵。似恒P'【•£-irP*€-iWilWtz

物贫廿米山取4E={£=X}J={z=x)</>—=(i=x/^«g-a(oi)

'3如.一g七二Q才)A8_(J)(7+(x)(7=(A_*)a=(?)Q

0=z#VI=(x)y-(x)3=(J-A”)V=(0)0

V

量r我二所那诽[一区柄'助&董J我二旭衲印坷'AH少罪不我二再.「XXM【出档】S[«g]

U

'7m=w,次)g

u

飞7—=0)。'。。0)3(。)

U

每孑匚g〃W=(w

劳构qyi厂！玖怕金ROM

2021必•研效孕二成推解析

rr=r—sin

【解析】V=时&$1»)冰=时〉sWrrxdx

(14)差分方程Ay,=;■的通解为.【答案】y=N•+亍=：尸一9+<7,C为任巷常故.

【解析】>=C,/=—(at+b),(r+1X«(/+1)+!>)-t(ar+I)=r,2ar+a+b=

t.：〃一；，+(?、(?为任意常数.

2x

-1

(15)多项式/(.、)=中二3项的系数为

【答案】5【解析】

2x

-112-1-1

-1

=r-X-/1-2x11

x3-12-1

-1,v

所以展开式中含F项的有-?,-4.v3.即尸项的系数为.5

(16)甲乙两个金子中各装仃2个红球和2个白球，先从甲危中任取一球，观察颜色后放入乙盒

中，画从乙盒中任球.令X,】•分别表示从甲盒和乙命中收到的红球个数，则X与y的相关系数

【答案】二

(0,0)(0,1)(10)(1』)、0101、

F~

【解答】联合分布率(X.】2_1_2-,x-11

‘广

105510i22)<22)

COV(X、F)=T,£«=八。丫=A，即如

三、解答题(本题共6小题，共70分.清将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤♦)

(17)(本小题满分10分)

1±

己liin[oarctan—+(1+存在.求”的ttl.>,\

【答案】a=l(i-e).

7Te

【解析】.要想极限存在，则左右极限相等：又由J皿aarctan-+(1+|.\j)x

2021»;•研效孕二成优林析

limtzaictan-1(1+卜时

a(e)

从而注+…强*即4r

(18)(本小题满分12分)求函数/(x,y)=21n|.x|*'A~A/r的极值.

【答案】(-L0)处取极小值2：(1,0)处取极小(fil-21n2.

【解析】

2七一1—)

产e—广即2—2ly=

小a。0

得驻点G1.0),(-,0)

/_(4A+l)A-3(2x24-x-l-r)

x'

-2y

a.

x5

(3)花点(-1.0)处，A=3,B=0.C=l.JC-B2=3>0,J>0故/(x,y)在(TO)处取极小值2；

驻点(j,0)处.A=24,B=0.C=4.AC-B2=3>0,A>0

故/(匚j・)在(；，0)处取极小值；・21112

(19)(本小题满分12分)

设有界区域。是X2+y2=1和直线丫=乂以及：V轴在第一象限国城的部分，计算二重枳分肛

〃(>丁)她.

D

【答案】le2-ie+1.

848

「V)如二?J,cos2街可y55：r*二：信。S泌就

二信。320倒”"55/湖

\j^—!F(COS8+sinOT*b«E,3)dwcos0+sin«》

Jo(cosO+smo)o

:-----------------rIredt

(cos8+sin0)Jo

_\}_____r_I]

(cos8+sina).(cos0+sin8)'

6

2021»;•研败学二成推慌析

••上式女点幺已5“扩满涡

其中(*认,)-排[广-广.x・&»=#-，+f

.原式=匕-士+L=Le:-Le+L.

842人848

(20)(本小题满分12分)

设〃为正整跖y=>;⑴是微分方程个，'一(〃+1)心0满足条件以⑴二一一的解.〃伽+1)

⑴求〉；(V)：

(2)求级数？>；(、)的收敛域及和函数

»■!

【答案】(1)>;(.!)=]!—广；⑵收敛域[T[],5(.*)=[°—')蜒1一”)+、心(-〃).n(w+l)[l,x

⑴y_O+i)y=0得j=cjL=b,将)“)二----带入，有c=-----xn(n+1)

n(w+1)

(2)£---------X*的收敛域为[一1,1]

n(n+1)

设----£土=Q—x)ln(lr)+x,"(Tl)n«lz，(+1)wl〃wl〃+1

乂因为S(A)在卜14|if续.所以S(l)=limS(.r)=1.

x-#r

所以S(x)=「7L\

l>x=l

(21)(本小题满分12分)

21O,

设电阵」=120仅有两个不同的特征俱一若义相似于对角炬阵，求々，。的值.并求可

、1ab

逆矩阵p.W为对角矩阵.

A-2-1

【解析】FU|A£-j|=-1A-2=(A-b)(人•3)(人-1)=0

-1-ak-b

当b=3时，由.4相似对角化可知，.爪根所对应特征值至:少存在两个线性无关的特征向砍，则

'1-10、

(3£-J)=-l10知，H=-l,

-1-。0,

2021»；•研勉孕二试。M析

此时.*二石=3所对应特征向虽为/