控制工程的基础理论

第一章绪论§1.概述自动控制的学科组成和学习自动控制的目的自动控制理论的发展过程§2.自动控制系统的基本概念自动控制系统的工作原理开环控制和闭环控制控制系统的基本组成控制系统的分类控制系统的基本要求自动控制系统实例分析§1.概述控制工程的学科组成和学习控制工程基础目的自动控制理论的发展过程控制工程的学科组成和学习控制工程基础目的自动控制理论的发展过程§2.自动控制系统的基本概念自动控制系统的工作原理开环控制和闭环控制控制系统的基本组成控制系统的分类控制系统的基本要求自动控制系统实例分析一.自动控制系统的工作原理控制系统:使受控对象的状态按照预期规律变化反馈控制的基本原理测量、反馈求偏差纠正偏差实例分析.1离心式飞球调速器发动机高压供油路喷油泵离心式飞球调速器实例分析恒温箱温度自动控制系统加热电阻丝温度计调压器～220V恒温箱人工控制系统ufTusT电热偶加热电阻丝给定信号电压放大器功率放大器执行电动机减速器调压器⊿u～220V比较恒温箱自动控制系统T实例分析恒温箱温度自动控制系统电压电压转角转角电压实例分析恒温箱温度自动控制系统§2.自动控制系统的基本概念自动控制系统的工作原理开环控制和闭环控制控制系统的基本组成控制系统的分类控制系统的基本要求自动控制系统实例分析开环控制系统：系统的输出端和输入端之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制没有影响。特点：系统简单，容易建造、一般不存在稳定性问题，精度低、抗干扰能力差。闭环控制系统：又称反馈控制系统，系统的输出端和输入端存在反馈回路，输出量对控制作用有直接影响。特点：精度高、抗干扰能力强、系统复杂，容易引起振荡。二.开环控制和闭环控制§2.自动控制系统的基本概念自动控制系统的工作原理开环控制和闭环控制控制系统的基本组成控制系统的分类控制系统的基本要求自动控制系统实例分析三.控制系统的基本组成+-给定元件典型的反馈控制系统框图串联校正元件执行元件控制对象反馈元件放大变换元件并联校正元件输入信号xi主反馈信号xb偏差信号e局部反馈主反馈输出信号扰动比较元件+-x0§2.自动控制系统的基本概念自动控制系统的工作原理开环控制和闭环控制控制系统的基本组成控制系统的分类控制系统的基本要求自动控制系统实例分析给定量的运动规律分（输入）：恒值系统、程序控制系统、随动系统系统线性特性分（模型）：线性、非线性参数是否变化分（结构）：时变、定常系统信号类型分（信号形式）：连续、离散、混合输入输出数量（信号数量）：单变量、多变量四.控制系统的分类§2.自动控制系统的基本概念自动控制系统的工作原理开环控制和闭环控制控制系统的基本组成控制系统的分类控制系统的基本要求自动控制系统实例分析稳、准、快稳定性：由于系统存在惯性，当系统的各个参数匹配不妥时，将会引起系统的振荡而失去工作能力。稳定性是系统工作的首要条件。准确性：输出量与给定量之间的偏差，随时间变化的程度，称动态精度偏差；调整过程结束后的偏差，称静态精度偏差。快速性：在系统稳定的前提下，消除偏差过程的快速程度。性能指标形式：时域性能指标频域性能指标综合性能指标（最优性能指标）五.控制系统的基本要求：§2.自动控制系统的基本概念自动控制系统的工作原理开环控制和闭环控制控制系统的基本组成控制系统的分类控制系统的基本要求自动控制系统实例分析六．自动控制系统实例分析要分析一个实际的自动控制系统，首先要了解它的工作原理，再画出组成系统的方框图。在画方框图之前，必须明确以下问题：(1)哪个是控制对象？被控量是什么？影响被控量的主扰动量是什么？(2)哪个是执行元件？(3)测量被控量的元件有哪些？有哪些反馈环节？(4)输入量由哪个元件给定？反馈量与给定量如何进行比较？(5)此外还有哪些元件（环节）?它们在系统中处于什么地位？起什么作用？例：液位控制系统液位控制系统的工作原理如图所示。被控对象：液体储罐。被控量：液体储罐的输出量——液位xo。扰动量：主要是Q2的变化。给定量：液体储罐中液位的希望高度xi。测量元件：液位变送器。控制装置：调节器。执行元件：调节阀。液位控制系统的原理图图1-13液位控制系统的原理方框图＋－课程结构.2重点和难点：自动控制系统的组成及工作原理；自动控制系统中的有关概念名词及术语。系统的基本要求；控制系统的分析和设计（综合）过程；系统原理框图。控制系统（线性）机械电气液压气压……数学建模微分方程传递函数实验数据状态方程……控制系统分析控制系统设计空间状态、鲁棒、最优控制、模糊、智能……现代设计分析方法综合校正经典设计分析方法时域分析频域分析时间响应对数分析奈氏分析根轨迹分析第二章控制系统的 数学模型

§1.拉氏变换和反变换§2.控制系统的微分方程及线性化方程§3.传递函数及基本环节的传递函数§4.系统框图及其简化概述数学模型：描述系统的数学表达式。控制工程的基本方法：就是建立控制系统的数学模型，在此基础上对控制系统进行分析、综合。工程上常用的数学模型形式：微分方程、传递函数和状态方程等。建立数学模型就是应用不同学科中的一些定律及基本原理。在建立数学模型的过程中须解决模型的简化和模型的精度之间的矛盾。非线性系统线性化：对于某些非本质的非线性系统，在一定条件下可进行线性化处理，以简化分析。第二章内容重点：数学模型的概念及其作用；系统数学模型的建立方法；拉普拉斯变换和反变换；传递函数、函数结构图及其等效变换；同一系统数学模型的多样性及相互变换。难点：控制系统微分方程的建立；传递函数的概念；结构图等效变换的正确运用原理分析系统组成参数变化规律微分方程组传递函数微分方程消元法代数方程组框图变换拉氏变换函数框图元件结构图拉氏变换代数消元法物理系统系统原理框图恒温箱温度自动控制系统电压电压转角转角电压§1.拉氏变换和反变换

复变函数概念拉氏变换概念拉氏变换性质拉氏反变换用拉氏变换解常系数线性微分方程

一.复变函数概念复常数、复变量和复变函数c=a+jb

,共轭复数

复数表示法点表示向量表示:模：,辐角：θ（逆时针）三角表示指数表示0σωs0σωsPθ一.复变函数概念复数运算法则复数的加减复数的乘除复数的乘方

0σωss1s20σωsPθs1s2一.复变函数概念欧拉定理可由马克劳林级数(x0=0时的泰勒级数)分别将ejθ、cosθ和sinθ展开即可得到。其它还有极点、零点、留数、保角映射等概念在自动控制原理中应用§1.拉氏变换和反变换

复变函数概念拉氏变换概念拉氏变换性质拉氏反变换用拉氏变换解常系数线性微分方程

二.拉氏变换概念拉氏变换定义：拉氏变换存在的条件当时，f(t)=0。并在的任意有限区间上连续或分段连续；当时，不等式成立，式中M、a为确定的正实数。 则在半平面内f(t)的拉氏变换一定存在，且复变函数F(s)为解析函数。几个常用函数的拉氏变换单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：指数函数：二．拉氏变换概念

几个常用函数的拉氏变换正弦函数：幂函数：二．拉氏变换概念

§1.拉氏变换和反变换

复变函数概念拉氏变换概念拉氏变换性质拉氏反变换用拉氏变换解常系数线性微分方程

线性定理：延迟定理：位移定理：微分定理：

三．拉氏变换性质

积分定理：初值定理：终值定理：三．拉氏变换性质

§1.拉氏变换和反变换

复变函数概念拉氏变换概念拉氏变换性质拉氏反变换用拉氏变换解常系数线性微分方程

定义：（r为大于F(s)的所有奇点实部的实常数）计算方法：简单的可直接利用拉氏变换对照表查出。复杂的采用部分分式展开法。部分分式展开法：式中，一般的工程问题都符合这一条件四．拉氏反变换

部分分式展开法：设S1、S2、S3、…、sn为F（s）的极点（A（s）=0的根），它可以是实数也可能是复数，如果是复数则一定是成对共轭的。F（s）可表示为：

A(s)=0无重根

四．拉氏反变换（复数域中展开时）（实数域中展开时）系数确定：

或用通分后分子相应系数应相等来求各系数反变换：应用线性定理及位移定理

四．拉氏反变换

四．拉氏反变换

A(s)=0有重根系数确定：k2、k3…kn同上

反变换：

四．拉氏反变换

四．拉氏反变换Matlab运用符号：[]，；：%=（）num=[bmbm-1…b0]；den=[anan-1…a0]；[r,p,k]=residue(num,den),；%r：留数，p：极点，k：余式；重极点时:roots(den);%求den的根例：num=[4,3,9,11,12,3,5,8,2]；den=[6,4,7,9,3,1]；[r,p,k]=residue(num,den)；roots(den)

例：求的拉氏反变换

四．拉氏反变换

四．拉氏反变换

§1.拉氏变换和反变换

复变函数概念拉氏变换概念拉氏变换性质拉氏反变换用拉氏变换解常系数线性微分方程

对微分方程进行拉氏变换，微分方程转换为s变量的代数方程。整理代数方程，求拉氏反变换即可得微分方程得解。例：解方程，其中：，。五．用拉氏变换解常系数线性微分方程

例：解方程，其中：，。五．用拉氏变换解常系数线性微分方程

§2.控制系统的微分方程及线性化方程机械系统微分方程电气系统的微分方程液压系统的线性化微分方程建立系统微分方程的一般步骤一.机械系统微分方程三种元件弹簧（扭簧），线性阻尼器（旋转阻尼器），质量（转动惯量），kft(t)ft(t)xfxfm(t)ff(t)ff(t)mxJTJθTfθfJTtθkJTt机械系统微分方程力平衡方程∑f(t)=0平移系统：回转系统：mf(t)xfk平移系统JTθkJfJ回转系统机械系统微分方程机械式加速度计：

m相对于地面的位移为（y-x）当输入加速度恒定时，输出y也是常数所以，。得：ma=ky或mxfky加速度计原理图机械系统微分方程齿轮传动动力学分析MLMLeqTmTmJ1θ1z1T1T3T2T4TLTLeq

z3Z2z4J2J3Jeqθ1θ2θ3f1f2f3feq齿轮传动链原始轮系等效轮系

机械系统微分方程齿轮传动动力学分析

机械系统微分方程齿轮传动动力学分析令：等效转动惯量 等效阻尼系数 等效输出转矩则：MLMLeqTmTmJ1θ1z1T1T3T2T4TLTLeq

z3Z2z4J2J3Jeqθ1θ2θ3f1f2f3feq齿轮传动链原始轮系等效轮系

§2.控制系统的微分方程及线性化方程机械系统微分方程电气系统的微分方程液压系统的线性化微分方程建立系统微分方程的一般步骤二.电气系统的微分方程四种电气元件电阻电容电感线性放大器：虚短和虚断基尔霍夫定律电流定律

∑i=0电压定律

∑u=0CuciRiiuLuRLaK0-+uoui二．电气系统的微分方程无源电路网络根据基尔霍夫定律和欧姆定律得简化后可得

CR1i2(t)i3(t)i1(t)R2ui(t)uo(t)无源电路网络有源电路网络

即：二．电气系统的微分方程

ui(t)K0-uo(t)i1(t)i2(t)RCA有源电路网络+电枢控制式直流电动机根据基尔霍夫定律得简化后可得通常电枢电感La较小，若忽略不计，则可得若电感La和电阻Ｒa均较小时，则可得二．电气系统的微分方程

TLaJRaθo(t)fiaemei(t)If=常数JJJ§2.控制系统的微分方程及线性化方程机械系统微分方程电气系统的微分方程液压系统的线性化微分方程建立系统微分方程的一般步骤三.液压系统的线性化微分方程线性化原理和方法线性化原理：将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，并略去高于一次的项，可得近似的线性差分方程。忽略的高阶项，得即

线性化方法列出非线性方程泰勒级数展开写出差分方程三．液压系统的线性化微分方程

例：液压伺服控制系统令：三．液压系统的线性化微分方程

pL0qL0x00pqxqL=f(x,pL)曲线MpspL=p1–p2p1p2qLqLAxy阀控液压缸液压伺服系统f⊿pq2q1d⊿p油缸的动力学方程为：流量连续性方程为：数学模型

三．液压系统的线性化微分方程

pL0qL0x00pqxqL=f(x,pL)曲线MpspL=p1–p2p1p2qLqLAxy阀控液压缸液压伺服系统f⊿pq2q1d⊿p线性化注意事项线性化是针对某一额定工作点的，工作点不同，则所得方程系数也往往不同；若将额定工作点看作为系统广义坐标的原点，即在差分方程中可认为其初始条件为零，即可将差分方程转化为一般函数形式，如系统是由线性方程和非线性方程叠加而成的，非线性部分线性化后转变为差分方程形式，则线性部分也必须为差分形式；增量越小，精度越高。当增量（工作范围）较大时，为了验证容许的误差值，需要分析泰勒级数中的余项；线性化只适用于非本质非线性系统。即在额定工作点周围的工作范围内没有间断点、折断点的单值函数。三．液压系统的线性化微分方程

§2.控制系统的微分方程及线性化方程机械系统微分方程电气系统的微分方程液压系统的线性化微分方程建立系统微分方程的一般步骤四.建立系统微分方程的一般步骤系统分析，确定输入变量和输出变量；系统简化假设；列出各部分方程，可考虑一个环节列一个方程；若有非线性方程，进行线性化；联立，消去中间变量。输出变量有关的项放在等式的左边，输入变量有关的项放在等式的右边，并按照导数的阶次依次排列。

§3.传递函数的概念

基本环节的传递函数传递函数的概念基本环节的传递函数

定义：当初始条件为零时，输出量有y(t)的拉氏变换Y(s)与输入量x(t)的拉氏变换X(s)之比 或一．传递函数的概念

传递函数的一般表示式 当初始条件为零时一．传递函数的概念

，an、bm（n,m=0,1,2,…）为实数传递函数的性质传递函数表示系统本身的动态特性，与输入量的大小和性质无关。传递函数不说明被描述系统的物理结构，只要动态特性相同，不同的物理系统可用同一传递函数表示。传递函数是复变量s的有理分式，对于实际系统。分母多项式中的最高幂次n代表系统的阶数，称为n阶系统。

一．传递函数的概念

§3.传递函数的概念

基本环节的传递函数传递函数的概念基本环节的传递函数

环节：从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些基本环节组成，能组成独立的运动方程的一部分称为一个环节。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，各环节不能有相互影响（无负载效应）。典型的基本环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节、延时环节等。二．基本环节的传递函数

比例环节：（又称放大环节）：输出量与输入量成正比的环节。二．基本环节的传递函数

微分环节：输出量正比于输入量微分的环节。二．基本环节的传递函数

积分环节：输出量正比于输入量的积分的环节二．基本环节的传递函数

惯性环节：含有储能元件，对于突变形式的输入信号，不能立即复现，输出总落后于输入。例

二．基本环节的传递函数

uiuoRC

一阶微分环节：微分环节和比例环节的并联时（又称比例微分控制）二．基本环节的传递函数

震荡环节：含有两种储能元件，因能量相互转换而使输出带有振荡性质二．基本环节的传递函数

mF(t)x(t)fk平移系统二阶微分环节：二．基本环节的传递函数

延时环节：输出滞后输入时间后不失真地复现输入二．基本环节的传递函数

四．传递函数相关的Matlab命令

g=tf(num,den)

%transferfunctionmodels g=zpk(z,p,K)%Zero-Pole-GainModels [num,den]=zp2tf(z,p,K) [z,p,k]=tf2zp(num,den) Z=zero(g) P=pole(g)

§4.系统框图及其简化

框图结构系统构成方式及运算法则框图变换法则

结构框图和函数框图框图单元比较点（相加点）引出点（分支点）一．框图结构

G1(s)X(s)Y(s)++-§4.系统框图及其简化

框图结构系统构成方式及运算法则框图变换法则

串联连接二．系统构成方式及运算法则

G1(s)G2(s)G(s)=G1(s)G2(s)R(s)R(s)X(s)C(s)C(s)并联连接二．系统构成方式及运算法则

G1(s)G2(s)G(s)=G1(s)±G2(s)R(s)R(s)C1(s)C(s)C(s)+±C2(s)反馈连接闭环传递函数前向传递函数反馈传递函数开环传递函数二．系统构成方式及运算法则

G(s)H(s)R(s)C(s)+±B(s)E(s)§4.系统框图及其简化

框图结构系统构成方式及运算法则框图变换法则

引出点的变换法则引出点前移引出点后移三．框图变换法则

GAGAAGGAGAAGGGAGAAGAGAG1/GAA比较点变换法则加法交换律加法结合律三．框图变换法则

AA-B+C+-BA-B++CAA-B+C++CA+C+-BA+-BA-B+C+CAA-B+C+-BA-B++B比较点变换法则比较点前移比较点后移

三．框图变换法则

GAAG-B+-BAGGAAG-B+-B/GA-B/G1/GBGAAG-BG+-BAGGAAG-BG+-BA-BGBG比较点变换法则引出点前移越过比较点三．框图变换法则

A+-BA-BAA-B+-BA-B+-BA-B框图变换实例

G1(s)G3(s)G4(s)G7(s)G2(s)G5(s)Xi(s)+-+-X0(s)+-G6(s)AⅠⅡⅢA点右移消去回路Ⅰ消去回路Ⅱ消去回路Ⅲ框图变换实例

A点右移G1(s)G3(s)G4(s)G7(s)G2(s)G5(s)Xi(s)+-+-X0(s)+-G6(s)ⅠⅡⅢ1/G4(s)框图变换实例

消去回路ⅠG1(s)G7(s)G2(s)G5(s)Xi(s)+-+-X0(s)ⅡⅢ1/G4(s)框图变换实例

消去回路ⅡG1(s)G7(s)Xi(s)+-X0(s)Ⅲ框图变换实例

消去回路ⅢXi(s)X0(s)四．传递函数相关的Matlab num=conv(num1,num2)

sys=feedback(g,h,sign) simulink建模

第二章内容重点：数学模型的概念及其重要性；系统数学模型的建立方法；拉普拉斯变换和反变换；传递函数、函数结构图及其等效变换；同一系统数学模型的多样性及相互变换。难点：控制系统微分方程的建立；传递函数的概念；结构图等效变换的正确运用原理分析系统组成参数变化规律微分方程组传递函数微分方程消元法代数方程组框图变换拉氏变换函数框图元件结构图拉氏变换代数消元法物理系统系统原理框图第三章控制系统的时间响应分析

§1.时间响应及系统性能指标§2.一阶系统的时间响应§3.二阶系统的时间响应§4.高阶系统时间响应§5.稳定性及代数稳定判据§6.误差分析与计算§1.时间响应及其典型输入信号时间响应的概念典型实验输入信号瞬态响应指标一.时间响应的概念瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应：时间趋于无穷大时系统的输出。§1.时间响应及其典型输入信号时间响应的概念

典型实验输入信号

瞬态响应指标

二.典型实验输入信号选取实验信号的原则具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。形式应尽可能简单，便于分析处理。能使系统在最不利的情况下工作。二.典型实验输入信号典型实验信号阶跃信号单位阶跃信号二.典型实验输入信号典型实验信号斜坡信号单位斜坡信号二.典型实验输入信号加速度信号单位加速度信号二.典型实验输入信号脉冲信号实用脉冲信号 其中h为脉冲宽度，面积为1。理想单位脉冲信号（h→0）二.典型实验输入信号正弦信号§1.时间响应及其典型输入信号时间响应的概念

典型实验输入信号

瞬态响应指标

三.瞬态响应指标单位阶跃输入瞬态响应时的性能指标延迟时间td：第一次达到稳定态的一半所需的时间。上升时间tr：第一次达到稳定态所需的时间（输出产生振荡时）或从稳定态的10%上升到稳态值的90%所需的时间（无振荡时）C(t)Mp10.90.50.10trtptstdΔttr允许误差范围三.瞬态响应指标峰值时间tp：达到超调量的第一个峰值所需的时间。最大超调量Mp或σ%：超出稳态值（一般为1）的最大偏离量Mp，采用百分比表示时：

调整时间ts：第一次达到并保持在允许误差范围（一般为稳态值的Δ=5%或Δ=2%）内所需的时间。C(t)Mp10.90.50.10trtptstdΔttr允许误差范围§2.一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型

一阶系统的单位阶跃响应

一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统的单位脉冲响应

线性定常系统的重要特征

一.一阶系统的数学模型位置闭环反馈控制时：R(s)C(s)C(s)+-C(s)E(s)R(s)fkpxATLaJRaθo(t)fiaemei(t)If=常数JJJ若转动惯量J、电感La和电阻Ｒa均较小时：转角反馈§2.一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型

一阶系统的单位阶跃响应

一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统的单位脉冲响应

线性定常系统的重要特征

二.一阶系统的单位阶跃响应指数上升。t=0时斜率为T：时间常数，具有时间量纲，T越小，系统的响应越快t=T时，c(T)=0.632，故Ｔ为系统时间响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。允许误差范围为±5%时，t=３T。而允许误差范围为±２%时，t=４T。C(t)63.2%10.632t86.5%95%98.2%99.3%斜率=1/T二.一阶系统的单位阶跃响应Matlab解系统的时间响应num=[1]den=[3,1]g=tf(num,den)subplot(2,1,1)step(g)subplot(2,1,2)impulse(g)gridholdtitle(‘时间响应’)xlabel(‘时间’)ylabel(‘幅值’)x=0y=0text(x,y,’原点’)figure(1)plot(x,y)§2.一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位脉冲响应线性定常系统的重要特征三.一阶系统的单位斜坡响应速度误差：稳态速度误差：三.一阶系统的单位斜坡响应§2.一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型

一阶系统的单位阶跃响应

一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统的单位脉冲响应

线性定常系统的重要特征

四.一阶系统的单位脉冲响应§2.一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型

一阶系统的单位阶跃响应

一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统的单位脉冲响应

线性定常系统的重要特征

五.线性定常系统的重要特征线性定常系统，对输入信号积分（导数）的响应就等于系统对输入信号响应的积分（导数），积分常数由零输出初始条件确定。§3.二阶系统的时间响应二阶系统的数学模型

二阶系统的单位阶跃响应

二阶系统的瞬态响应指标一.二阶系统的数学模型无阻尼固有频率阻尼比xfkApmR(s)C(s)C(s)+-C(s)E(s)R(s)§3.二阶系统的时间响应二阶系统的数学模型二阶系统的单位阶跃响应重根时两个不等的负实根时一对共轭复根时二阶系统的瞬态响应指标二.二阶系统的单位阶跃响应重根时:临界阻尼情况无超调，无振荡。

二.二阶系统的单位阶跃响应

二.二阶系统的单位阶跃响应两个不等的负实根时:过阻尼情况

二.二阶系统的单位阶跃响应

无超调，无振荡，过度过程比临界阻尼长二.二阶系统的单位阶跃响应一对共轭复根时:欠阻尼情况

阻尼自然频率无阻尼自然频率ωn

jωθS1S20σ二.二阶系统的单位阶跃响应

衰减振荡，振荡频率为阻尼自然频率ωd，振幅为指数衰减，由系统参数ωn、ζ决定。随着ζ的减小，调整时间ts变短，但振荡变严重，一般阻尼比=0.4～0.8

二.二阶系统的单位阶跃响应

三.二阶系统的瞬态响应指标二阶系统的数学模型

二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的瞬态响应指标上升时间峰值时间最大超调量调整时间结论解题思路例三.二阶系统的瞬态响应指标欠阻尼状态时的瞬态响应指标上升时间tr

ωn

↑，ζ↓，tr↓三.二阶系统的瞬态响应指标峰值时间tp

第一个峰值,k=1为阻尼振荡周期的Td一半，它的变化趋势与上升时间相同。ωn

↑，ζ↓，tp↓三.二阶系统的瞬态响应指标最大超调量Mp

Mp只是ζ的函数，与ωn无关，ζ↓，Mp↑，ζ=1时，Mp=0。ζ=0时，Mp=1三.二阶系统的瞬态响应指标调整时间ts

包络线包络线时间常数 当允许误差范围为0.02时 当允许误差范围为0.05时

ωn

↑，ζ↑，ts↓三.二阶系统的瞬态响应指标结论二阶系统的瞬态指标由ζ和ωn共同决定。增大无阻尼自然频率ωn，可提高系统的快速响应性能，而不会改变超调量。增大阻尼比，可减小最大超调量，减弱系统的振荡性能，使系统的相对稳定性增加，但会使系统的快速性变差，当允许误差范围为时调整时间在ζ=0.7左右时最小。一般综合考虑系统的稳定性和快速性能，选择在ζ=0.4～0.8的范围内。称ζ=0.707为最佳阻尼比。

三.二阶系统的瞬态响应指标解题思路

物理系统数学模型两阶标准型系统特征参数性能指标三.二阶系统的瞬态响应指标例：图为一个机械振动系统。当有F=3N的力（阶跃输入）作用于系统时，系统中质量m作如图所示的运动，根据这个响应曲线，确定原质量m、粘性阻尼系数f和弹簧刚度系数k的值。

yfkApmF三.二阶系统的瞬态响应指标数学模型由响应曲线的稳态值为1cm可求出k

k=3(N/cm)=300(N/m)三.二阶系统的瞬态响应指标由最大超调量Mp=0.095(cm)和峰值时间tp=2(s)求ζ、ωn

得：ζ=0.6得：ωn=1.96(rad/s)三.二阶系统的瞬态响应指标通过二阶系统的标准形式由ζ、ωn求得m和f

§4.高阶系统的时间响应闭环主导极点 在高阶系统得闭环极点中，如果距虚轴最近的闭环极点，其周围没有零点，而且其它闭环极点与该极点的实部之比超过五倍以上，则这种极点称为闭环主导极点。高阶系统的瞬态响应特性主要由闭环主导极点决定。如存在一对主导极点，则该高阶系统可以近似按二阶系统来分析。

§4.高阶系统的时间响应

§5.稳定性及代数稳定判据稳定性的定义判别线性系统稳定性的基本准则代数稳定判据一.稳定性的定义定义：系统在一定的干扰作用下，偏离了稳定的平衡状态，在干扰消除后，能以足够的精度逐渐恢复到原来的状态的能力。它是系统固有的特性。稳定不稳定临界稳定（数学稳定，工程不稳定）ttt二.判别线性系统稳定性的基本准则传递函数一般形式二.判别线性系统稳定性的基本准则输入脉冲信号时 （假设无重根）

si(i=1,2,…,n)的实部应全部为负的。二.判别线性系统稳定性的基本准则即稳定系统的闭环传递函数特征方程所有根必须全部具有负实部。或者说系统的传递函数的极点全部位于s复平面的左半部。如有实部为零的根，则出现临界稳定状态（振荡）;如有零根存在，则出现常数项，则出现临界稳定状态（无振荡），相当于系统偏离了平衡状态，所以工程上也认为系统不稳定。二.判别线性系统稳定性的基本准则基本准则： 系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根全部在s复平面的左半平面。如果有根在右半平面，系统不稳定，如果有根在虚轴上，系统处于临界稳定状态（振荡），如果有根在原点上，系统偏离平衡点，也为临界稳定。三.代数稳定判据通过对特征方程的系数进行分析来判断系统的稳定性的方法。必要条件：ai>0 bi>0 ci>0，di>0充分条件：罗斯-赫尔维茨稳定判据 三.代数稳定判据罗斯（Routh）稳定判据求罗斯计算表……三.代数稳定判据罗斯稳定判据第一列各数的符号全为正，则说明无正实部的根，系统稳定。否则系统不稳定，第一列各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。第一列出现零的情况时，用一个小的正数ε代替０进行计算后，再令ε→0+求极限来判别第一列系数的符号。实际上在无符号变化是表示有一对虚根存在，有符号变化时则同上。如出现一行全零时，此时存在一些对称（大小相等，符号相反）的根（包括实根和共轭虚根，系统处于临界稳定状态）。则用上一行的系数组成一个辅助方程，对方程求导后得到的系数代替原为零的各项，再继续。解辅助方程得的根即为特征方程根的一部分。三.代数稳定判据赫尔维茨（Hurwitz）稳定判据列赫尔维茨行列式三.代数稳定判据赫尔维茨稳定判据主行列式及其主对角线上的各子行列式均大于零时，则方程无正根，系统稳定。……§6.误差分析和计算

误差与稳态误差的基本概念误差计算一.误差与稳态误差基本概念误差稳态误差给定稳态误差扰动引起的稳态误差

一.误差与稳态误差基本概念误差与偏差希望输出信号误差G(s)H(s)R(s)C(s)+-B(s)E(s)1/H(s)+-E1(s)Cr(s)一.误差与稳态误差基本概念偏差对于单位反馈则两者相同。G(s)H(s)R(s)C(s)+-B(s)E(s)1/H(s)+-E1(s)Cr(s)一.误差与稳态误差基本概念误差：瞬态误差和稳态误差稳态误差： 稳态误差包括给定稳态误差ess和扰动误差essd。

一.误差与稳态误差基本概念给定稳态误差：给定输入信号作用下的稳态误差，表征了系统的精度。显然给定稳态误差与开环传递函数及输入信号有关。

一.误差与稳态误差基本概念扰动引起的稳态误差 在扰动信号作用下产生的误差，表征了系统的抗干扰能力。外部扰动稳态误差：在外部干扰信号作用下产生的误差。内部扰动稳态误差：系统内部扰动引起的误差，在精度要求较高的场合下应加以考虑。线性系统总的稳态误差等于输入信号和干扰信号分别作用时产生的稳态误差的代数和。二.误差计算

系统的类型静态误差系数和稳态误差计算二.误差计算系统的类型可见稳态误差和时间常数无关，而与开环增益及开环传递函数中的积分环节的个数λ有关。二.误差计算系统的类型 把系统按开环传递函数中积分环节的个数λ进行分类：λ=0，无积分环节，称为0型系统。λ=1，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统。λ=2，有两个积分环节，称为Ⅱ型系统。一般Ⅲ型及Ⅲ型系统很难稳定，所以在工程上一般不采用。

二.误差计算静态误差系数和稳态误差计算

静态位置误差系数Kp

：单位阶跃信号（）时的稳态误差称为位置误差。

阶跃响应：0型系统具有稳态误差，当开环增益足够大时，稳态误差可以足够小，但由于过高的开环增益会使系统不稳定，所以也不能太高；对于Ⅰ型及以上的系统，稳态误差为零。二.误差计算静态误差系数和稳态误差计算

静态速度误差系数Kv：单位斜坡输入信号（）时的稳态误差称为速度误差。

斜坡响应：0型系统不能跟踪；Ⅰ型系统可以跟踪但有一定的误差；Ⅱ型及以上的系统能精确跟踪斜坡输入，稳态误差为零。二.误差计算静态误差系数和稳态误差计算

静态加速度误差系数Ka：单位加速度输入信号（）时的稳态误差称为加速度误差。

加速度响应：0型和Ⅰ型系统不能跟踪；Ⅱ型系统可以跟踪但有一定的误差；Ⅲ型及以上的系统能精确跟踪加速度输入，稳态误差为零。二.误差计算稳态误差计算表

系统类型输入信号阶跃斜坡加速度位置稳态误差系数：

速度稳态误差系数：加速度稳态误差系数：位置稳态误差：速度稳态误差：加速度稳态误差：0型∞∞Ⅰ型0∞Ⅱ型

00二.误差计算注意：位置误差、速度误差和加速度误差是指系统的输入信号分别为阶跃信号、斜坡信号和加速度信号时，系统产生的输出误差（偏差）。对于线性系统，稳态误差具有叠加性质。求正弦输入信号的稳态误差可用频率特性的定义求得幅值稳态误差只对稳定系统有意义。二.误差计算例：单位反馈的闭环系统，开环传递函数为： 试求当输入信号为r(t)=1(t)+t+t2时系统的给定稳态误差ess。二.误差计算解：首先检验系统的稳定性：用劳斯判据

6.8s+17--------------------------------------------------------------------------------------------------------9.52e-008s^6+7.246e-005s^5+0.0101s^4+0.2487s^3+s^2+6.8s+17经检验可得系统稳定闭环极点：1.0e+002*-5.8824-1.4279-0.2671-0.0020+0.0519i-0.0020-0.0519i-0.0295二.误差计算稳定性：用时间响应二.误差计算由于是线性系统，具有叠加性质，因此系统误差为各输入信号，，产生的稳态误差的代数和。即：系统为Ⅱ型，所以由表知：或：得：二.误差计算式中K为开环增益，将开环传递函数转化为尾1的标准型后可得：

K=17

给定稳态误差:课程结构重点：时间响应的概念；一阶系统、二阶系统的数学模型和典型时间响应的特点、特征参数、动态性能计算方法；稳定性基本概念；代数判据（一种）；系统型别及其与系统的关系；误差计算。难点：二阶系统的特征参数及其对系统响应的影响；欠阻尼时的二阶系统的瞬态响应分析；稳定性基本概念及特殊情况下的代数稳定判据；终值定理的应用。课程结构系统数学模型(闭环传递函数)输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换系统时间响应系统性能指标（快速性能）传递函数定义拉氏反变换代数稳定判据误差计算绝对稳定性准确性能系统开环传递函数代数判据几何判据奈氏判据对数判据赫尔维茨判据罗斯判据稳定性判据系统闭环传递函数无右极点绝对稳定性相对稳定性系统稳定性相角裕量幅值裕量奈氏图伯德图频率特性系统闭环传递函数第四章控制系统的频率特性分析§1.频率特性的基本概念

§2.频率特性的表示法及基本环节的频率特性

§3.控制系统的频域指标

§4.几何稳定判据

§5.相对稳定性

§1.频率特性的基本概念频率响应概念频率特性的性质频率响应概念定义：频率响应是指控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦响应。即系统稳定状态时输出量的振幅和相位随输入正弦信号的频率变化的规律。频率响应概念正弦输入信号时，输出信号的变化规律频率响应概念频率响应概念正弦输入信号时，输出信号的变化规律输出的稳态信号是同频率的正弦信号；输出稳态正弦信号的幅值及相对于输入信号的相位变化是输入信号频率ω的函数；称为系统的频率特性，当令传递函数G(s)的s=jω时即可得之。系统频率特性可唯一地确定系统的性能，因此只需对系统的频率特性进行分析，即可得到系统的相关性能。

频率响应概念频率特性各种复数表示法直角坐标表示法三角表示法指数表示法频率特性的性质幅频特性和相频特性是系统的固有特性，与外界因素无关；一般系统的频率特性具有低通滤波的作用频率特性随频率变化，是因为系统中含有储能元件，他们在进行能量交换时，对不同的信号使系统有不同的特性。§2.频率特性的表示法

及基本环节的频率特性频率特性的表示法基本环节的频率特性奈氏图和博德图的绘制方法和步骤Matlab绘制奈氏图和博德图频率特性的表示法幅相频率特性图:奈魁斯特（Nyquist）图，简称奈氏图极坐标系频率特性的表示法对数频率特性图:

博德（Bode,伯德）图半对数坐标系幅值为对数坐标(dB)、相位为角度值坐标与频率(采用对数分度)的横坐标所形成坐标系横坐标:分度，但只标频率值,为不等分坐标。如横坐标两点满足ω2/ω1=10的关系，则距离为一个“十倍频程”，以dec表示分贝频率特性的表示法对数幅相频率特性图（尼柯尔斯（Nichols）图）Matlab绘制奈氏图和博德图nyquist(g)bode(g)nichols(g)基本环节的频率特性比例环节

0jVUK奈氏图基本环节的频率特性积分环节

基本环节的频率特性奈氏图

-90º基本环节的频率特性博德图

ω=1时通过0dB，斜率为-20dB/dec的直线基本环节的频率特性微分环节

基本环节的频率特性奈氏图

90º基本环节的频率特性博德图

ω=1时通过0dB，斜率为+20dB/dec的直线积分环节博德图与微分环节关于横轴对称基本环节的频率特性惯性环节

基本环节的频率特性奈氏图

圆心在（1/2，j0）半径为1/2的园。V<0，为半圆0º～-90º基本环节的频率特性博德图对数幅频特性低频渐近线高频渐进线对数相频特性

频率每变化10倍频程斜率是-20dB/dec转角频率高频渐进线与低频渐近线相交基本环节的频率特性博德图

基本环节的频率特性一阶微分环节

基本环节的频率特性奈氏图

0º～90º基本环节的频率特性博德图对数幅频特性低频渐近线：横坐标轴高频渐进线：斜率20dB/dec对数相频特性

转角频率一阶微分的博德图与惯性环节关于横轴对称基本环节的频率特性博德图

基本环节的频率特性振荡环节

基本环节的频率特性当ω＝ωｒ时系统将产生谐振(|G(jω)|极值）谐振峰值和谐振频率：谐振频率

时才会出现谐振

基本环节的频率特性谐振峰值

基本环节的频率特性奈氏图

基本环节的频率特性博德图对数幅频特性低频渐近线高频渐进线：对数相频特性

转角频率斜率-40dB/dec谐振

基本环节的频率特性博德图

基本环节的频率特性二阶微分环节

基本环节的频率特性奈氏图

基本环节的频率特性博德图对数幅频特性低频渐近线：高频渐进线：对数相频特性

斜率40dB/dec转角频率基本环节的频率特性博德图

基本环节的频率特性延时环节1U(ω)V(ω)0奈氏图奈氏图和博德图的绘制方法和步骤奈氏图将传递函数转化为由典型环节组成的形式（串联）,并写出频率特性；起点终点与坐标轴交点：分别令实、虚部为零，得相交频率和虚、实部。参考幅值、相位、虚部、实部的变化趋势。时间常数（分子、分母部分）对相角的影响(大者先影响，在1/T附近有大的变化)。中间补点修整λ为积分环节的个数K*为开环根轨迹增益（首一型）奈氏图和博德图的绘制方法和步骤博德图将传递函数转化为由典型环节组成的形式（串联）列出各环节的转角频率，从小到大排列画初始段：斜率为-20×λ的斜线，零分贝线的交点频率等于从第一个转角频率开始沿轴向右，每经过一个转角频率斜率变更一次。惯性环节为－２０dB/dec，振荡环节为－4０dB/dec等修正渐近线（一般ζ＝０.３８～０.７１之间时可不进行修正），得精确曲线对数相频特性曲线为各典型环节的相频特性曲线的叠加

反之可由博德图求传递函数（最小相位系统）奈氏图和博德图的绘制方法和步骤例：由博德图求传递函数，画奈氏图（最小相位系统）-20-40-6000-90º-180º-270ºω1ω2L1ImRe0§3.控制系统的频域指标开环频率特性和闭环频率特性频率特性的性能指标最小相位系统系统辩识频率响应指标和瞬态响应指标之间的关系开环频率特性和闭环频率特性系统的闭环频率特性可由开环频率特性通过三频段法近似求得低频段为0dB线中频段采用描点法获得高频段同开环频率特性频率特性的性能指标截止频率和带宽：幅值下降到零频幅值的－３dB时的角频率ωb，０～ωb称为系统的带宽ωBW。带宽越宽，响应越快，但高频干扰越大谐振峰值Ｍｒ和谐振频率ωｒ：Ｍｒ越大阻尼比越小越易振荡。反映了系统的相对稳定性。一般取（即）时，阻尼比为剪切率：截止频率处的斜率，表征了辨别信号的能力其它还有系统相对稳定性的指标：增益裕量、相位裕量等，在下章中介绍最小相位系统复平面s的右半部没有零点和极点的传递函数称为最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称最小相位系统。最小相位系统相位滞后最小系统辩识通过实验的方法获得系统的频率特性曲线（一般为BODE图），通过系统辩识得到系统得到系统的频率特性对于实验BODE曲线采用水平线、-20dB/dec、-40dB/dec等线段作近似，之后根据所得的近似BODE图写出系统得频率特性，再根据系统谐振情况及从相频特性曲线所获得的非最小相位环节和延时环节的信息进行修正。频率响应指标和瞬态响应指标之间的关系（二阶系统为例）

§4.几何稳定判据几何判据是根据闭环系统的开环传递函数的奈氏图或博德图来判断系统的稳定性及稳定性储备奈魁斯特稳定判据对数判据

§4.几何稳定判据奈魁斯特稳定判据 当在[s]平面上ω从-∞变化到+∞时，在[GH]平面所的奈氏曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数为N０=PR-ZR，其中PR为开环右极点个数，ZR为闭环右极点的个数。

0jω+∞-∞ω=0ω→-∞ω→+∞0σ[s][GH](-1,j0)r=∞§4.几何稳定判据奈魁斯特稳定判据 系统稳定（闭环右极点个数为零ZR=0）的充要条件为：ZR=PR-N０=0 ω从０变化到+∞时,ＺR＝ＰR－２Ｎ

0jω+∞-∞ω=0ω→+∞0σ[