环保工程师资格考试高等数学之四：无穷级数和微分方程

1.4无穷级数1.4.1数项级数1.4.2幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.4.3傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。1.4.1数项级数给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和。1.数项级数定义2.基本性质

性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质5：设收敛级数则必有可见:

若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.等比级数

(又称几何级数)(q称为公比).级数收敛,级数发散

.其和为3.几个重要级数的收敛性调和级数发散(常数p>0)p-级数*例1.判断级数的敛散性:解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛.(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,

(常数k>0),4.审敛法正项级数：

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=

0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0<l<∞时,的敛散性.例3.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散..

根值审敛法(Cauchy判别法)设

为正项级数,且则因此级数收敛.解:交错级数则各项符号正负相间的级数称为交错级数

.

(Leibnitz

判别法)

若交错级数满足条件:则级数收敛。绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数绝对收敛；则称原级数条件收敛.

绝对收敛的级数一定收敛.例5.

证明下列级数绝对收敛:证:

而收敛,收敛因此绝对收敛.判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛发散发散收敛收敛发散

1.Abel定理

若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式1.4.2幂级数*例6.已知幂级数在处收敛，则该级数在处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理，该幂级数在处绝对收敛，故在绝对收敛。例7.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为若的系数满足1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则的收敛半径为2.求收敛半径对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例8..求幂级数

3.求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围(P34例1-37)1.求傅立叶级数展开式2.求某个傅立叶系数3.求和函数在某些点的值1.4.3傅立叶级数的有关问题例9.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为(3)将f(x)展成傅里叶级数.解:(3)先求傅里叶系数1.5微分方程1.5.1微分方程的基本概念1.5.2解微分方程1.5.3微分方程应用1.5.1微分方程的基本概念一阶微分方程二阶微分方程1.判定微分方程的阶2.判定函数是否微分方程的解，通解或特解例1.

验证函数是微分方程的解.解:

是方程的解.1.5.2解微分方程1.一阶微分方程可分离变量，一阶线性2.高阶微分方程二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。*例2.

求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C为任意常数)因此可能增、减解.解*例3.利用一阶线性方程的通解公式得：例4.曲线族所满足的一阶微分方程是____.解:对两边求导，得即为所求一阶微分方程特征方程:实根

特征根通解二阶线性常系数齐次微分方程求解例5.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例6.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为*例7.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例8.解：因是一个特解，所以是特征方程的重根，故特征方程为：所对应微分方程为(2)若是特征方程的单根

特解形式为(3)若是特征方程的重根

特解形式为(1)若不是特征方程的根特解形式为的特解形式.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.特解形式为例9.例10.的特解形式.解:本题而特征方程为其根为特解形式为1.5.3微分方程应用1.利用导数几何意义列方程2.利用导数物理意义列方程3.利用牛顿第二定律求所满足的微分方程.*例11.

已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q解:

如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,

例12.成正比,求解:

根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时演讲完毕，谢谢观看！——“ifen”酒新品发布活动策划爱奋斗•爱生活目录010203040506活动概述“ifen”酒新品发布会“爱奋斗•爱生活”品酒晚宴“我爱奋斗”高校乐队演唱会活动执行活动费用活动概述2012年05月20日-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.活动时间湖南锦绣潇湘文化产业园活动地点新品发布会/品酒晚宴/高校乐队演唱会活动构架活动概述活动目的：提升代理商对ifen酒的认识，有效促进合作。通过新闻发布会的召开向外界传达强势品牌的印象和

品牌强势运作的信息。借助新闻发布会的召开传递产品信息和品牌价值，形

成事件传播。活动概述活动意义：新闻发布会的意义在于能够激发和巩固代理商积极销售的信心，

同时可以对于ifen酒品牌的上市做一个正式的通告，

借以带动业界对于ifen酒的认同和认识和关注，是对

于ifen酒的整个传播体系的推动和帮助。以新闻与活动的结合表现形式确立ifen酒目标群体中的显赫地位新品发布会爱奋斗•爱生活

——2012ifen酒新品发布会发布会主题-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.锦绣潇湘“芙蓉国剧场”发布会地点15:30——17:20发布会时间新品发布会特色互动环节：ifen销售达人赛场外场内连线互动：在活动开展前期，在长沙步行街开展小型户外活动——ifen酒销售达人赛，然后将现场火热疯抢的画面剪辑成视频，在发布会上进行播放，让经销商看到ifen酒受广大市民（年轻消费者）的追捧。第一次连线：将现场疯抢的画面拍摄下来，随即采访一下消费者，问其为何要买酒，对酒的印象等。第二次连线：要求摄像拍摄出现场产品售罄的状态。表现形式：安排两百位学生扮演消费者到现场配合工作，现场随即采访消费者的购买心得。微电影VCR展播主持人开场新品发布会发布会流程：

蝶舞九天女子时尚电声组开场来宾签到（微电影VCR热场）第一次场外连线：让经销商看到场外热闹疯抢的状况与ifen酒品牌展示，从而给经销商留下好的印象，让他们看到该产品的市场前景。颜总致辞（宣布政策）第二次连线新品发布会发布会流程：现场调酒演示（品酒师点评）第一次连线第二次场外连线：此次连线需看到产品即将售罄的状态，以求再次打动在坐经销商的心，让产品热销，好销，有市场等一切优秀品质进入经销商的心，从而使经销商从心动变为行动。签约仪式“ifen酒”荣耀现世新品发布会发布会流程：

经销商代表发言此环节后附详细流程

合影自由洽谈签约仪式500万奖金现场助阵，活动至高潮。新品发布会1、“ifen酒”荣耀现世：嘉宾触摸LED点光球，特制酒保箱绽放,同时烟雾升起.冷焰火四射，ifen酒在绽放的仪器中荣耀现世。新品发布会2、“ifen酒”500万重奖销售机制建立：“ifen”酒业老总亲自向经销商代表颁发“ifen酒”500万销售奖励机制承诺书。新品发布会3、“ifen酒”品酒塔：这里我们用传统的香滨灌注香滨塔,改成“ifen”灌注,体现另外一种引用模式，同时，音乐响起，两位模特手捧“ifen”走秀。新品发布会新品发布会会场布置：易拉宝签到台喷绘、海报新品发布会新品发布会网络直播：我们与湖南最权威的媒体网络之一“文明在线”合作，全程紧密跟踪直播新品发布会。新品发布会新品发布会主持人：湖南电视台魏哲浩侯文ifen品酒晚宴爱奋斗•爱生活

——2012ifen品酒晚宴晚宴主题-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.湘府韩城（岳麓区阜埠河路）晚宴地点17:20开始晚宴时间ifen品酒晚宴晚宴酒店简介：长沙湘府韩城湘府韩城韩系餐厅是一家经国家相关部门批准注册的合法企业,湘府韩城韩系餐厅以经营主营餐饮美食服务为主，以合理的价格、优良的服务与众多用户及企业建立了长期的合作关系。湘府韩城韩系餐厅位于岳麓区阜埠河路(近湖南大学天马学生公寓)。大众点评网5星好评！ifen品酒晚宴晚宴酒店布置：开始用餐17:4517：20—17:40ifen品酒晚宴晚宴流程：

领导致祝酒词17:40—17:45来宾就坐ifen高校乐队演唱会我爱奋斗

——2012高校乐队演唱会演唱会主题-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.-ThemeGalleryisaDesignDigitalContent&ContentsmalldevelopedbyGuildDesignInc.锦绣潇湘“青春广场”演唱会地点19:00—22:30演唱会时间ifen高校乐队演唱会高校乐队演唱会『新闻卖点』：为了更有效的通过新闻发布向外界传达强势品牌和公益

的形象。借助“公益活动”的外衣依托新闻发布才能更高效率传递产品信息和品牌价值，形成事件传播。因此，本次“ifen”杯高校乐队演唱会将特别成立爱心助学岗工程，为家庭贫困，却积极生活，爱好音乐的大学生提供暑期爱心就业岗。ifen高校乐队演唱会高校乐队演唱会『活动组织』：乐队组织比赛制度

评比制度：专业评委5人打分，每位评委最多10分；媒体团