概率论与数理统计课后习题及答案

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概率论与数理统计课后习题及答案第1章三、解答题1．设P(AB)=0，则下列说法哪些是正确的？(1)A和B不相容；(2)A和B相容；(3)AB是不可能事件；(4)AB不一定是不可能事件；(5)P(A)=0或P(B)=0(6)P(A–B)=P(A)解：(4)(6)正确.2．设A，B是两事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，问：(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为，又因为即所以(1)当时P(AB)取到最大值，最大值是=0.6. (2)时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3．已知事件A，B满足，记P(A)=p，试求P(B)．解：因为，即，所以 4．已知P(A)=0.7，P(A–B)=0.3，试求．解：因为P(A–B)=0.3，所以P(A)–P(AB)=0.3,P(AB)=P(A)–0.3,又因为P(A)=0.7，所以P(AB)=0.7–0.3=0.4，.5．从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法：法一：分两种情况考虑：+其中：为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：+其中：为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：+其中：为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：-法五：考虑对立事件：-其中：为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：其中：为没有一双配对的方法数所求概率为 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求：(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率．解：(1)法一：，法二：(2)法二：，法二：7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．解：设M1,M2,M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则 ,,8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：设M2,M1,M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则,,9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则.所以10．若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样本空间={(x，y)：0x，y1}事件A=“两数之和小于6/5”={(x，y)：x+y因此．图？ 11．随机地向半圆（为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率．解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间={(x，y)：}事件A=“原点和该点的连线与轴的夹角小于”={(x，y)：}因此．12．已知，求．解：13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；，，14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得由贝叶斯公式得15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由贝叶斯公式得16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能将此密码译出的概率为17．设事件A与B相互独立，已知P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，求.解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)将P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7代入上式解得P(B)=0.5，所以或者,由于A与B相互独立,所以A与相互独立，所以18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，已知P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙两人是独立射击目标，所以19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问：(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3；Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC=，且已知，求P(A)．解：因为ABC=，所以P(ABC)=0,因为A，B，C两两相互独立，所以由加法公式得即考虑到得2．设事件A，B，C的概率都是，且，证明：．证明：因为，所以将代入上式得到整理得3．设0<P(A)<1，0<P(B)<1，P(A|B)+，试证A与B独立．证明：因为P(A|B)+，所以将代入上式得两边同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到所以A与B独立.4．设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明是事件A与B独立的充分必要条件．证明：充分性，由于，所以即两边同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到所以A与B独立.必要性：由于A与B独立，即且所以一方面另一方面所以5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为.(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．(2)若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知由全概率公式得(1)他取得该资格的概率为(2)若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”.已知由全概率公式又由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生.又知所以所求概率为由于三次检验是独立进行的，所以8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问(1)火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？(2)都不被击毁的概率等于多少？解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.已知所以(1)火炮被击毁的概率为坦克被击毁的概率为(2)都不被击毁的概率为9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率．解：Ai=“甲第i局获胜”，Bi=“乙第i局获胜”，Bi=“丙第i局获胜”，i=1,2,….，已知，由于各局比赛具有独立性，所以在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为丙得冠军的概率为甲、乙得冠军的概率均为第二章2一、填空题：1.，2.，k=0，1，…，n3.为参数，k=0，1，…4.5.6.7.8.9.X-112pi分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。10.分析：每次观察下基本结果“X≤1/2”出现的概率为，而本题对随机变量X取值的观察可看作是3重伯努利实验，所以11.,同理，P{|X|3.5}=0.8822.12..13.，利用全概率公式来求解：二、单项选择题：1.B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导F(-a)=2.B，只有B的结果满足3.C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证4.D，，可以看出不超过2，所以，可以看出，分布函数只有一个间断点.5.C,事件的概率可看作为事件A（前三次独立重复射击命中一次）与事件B（第四次命中）同时发生的概率，即.三、解答题（A）1．(1)X123456pi分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有（这里指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为多算了一次）或种，故,其他结果类似可得.(2)2．X-199pi注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然.3．，所以.4．(1)，(2)、、；5．(1)，(2)，(3).6．(1).(2).7．解：设射击的次数为X，由题意知，其中8=400×0.02.8．解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，则指示灯发出信号的概率；9.解：因为X服从参数为5的指数分布，则，，则10.(1)、由归一性知：，所以.(2)、.11.解（1）由F(x)在x=1的连续性可得，即A=1.（2）.（3）X的概率密度.12.解因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以若方程有实根，则，即，所以有实根的概率为13.解:(1)因为所以(2)，则，经查表得，即，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。(3)，则，即，经查表知，故，即；14.解：所以，；由对称性更容易解出；15.解则上面结果与无关，即无论怎样改变，都不会改变；16.解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以Y的分布律是Y0149pY0123pZ的分布律为17.解因为服从正态分布，所以，则，，当时，，则当时，所以Y的概率密度为；18.解，，，所以19.解：，则当时，，当时，，20.解:(1)因为所以(2)，因为，所以（3）当时，，当时，，所以，因为，所以四．应用题1．解：设X为同时打电话的用户数，由题意知设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则，其中查表得k=5.2．解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-，记X为10块组件中不能正常工作的个数，则，5小时后系统不能正常工作，即，其概率为3．解：因为，所以设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则，(1).(2).4．解：当时，是不可能事件，知，当时，Y和X同分布,服从参数为5的指数分布QUOTE≤y<2时Y也服从指数分布，知，当时，为必然事件,知，因此，Y的分布函数为；5．解：(1)挑选成功的概率；(2)设10随机挑选成功的次数为X，则该，设10随机挑选成功三次的概率为：，以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。（B）1.解：由概率密度可得分布函数，即，易知；2.解：X服从的均匀分布，，又则，-11P所以Y的分布律为3.解：，；4.证明：因是偶函数，故，所以.5.解：随机变量X的分布函数为，显然，，当时，是不可能事件，知，当时，，当时，是必然事件，知，即。6.（1）当时，即时，，当时，即y>1时，，所以；（2），当时，为不可能事件，则，当时，，则，当时，，则，根据得；（3），当时，，当时，，所以；7.(1)证明：由题意知。，当时，即，当时，，当时，，故有，可以看出服从区间（0，1）均匀分布；（2）当时，，当时，，当时，，由以上结果，易知，可以看出服从区间（0，1）均匀分布。第三章1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1|=2/31/2=/3同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3;P{X=2,Y=1}=1/3(X,Y)的分布律用表格表示如下：YX1211/31/321/302解：X，Y所有可能取到的值是0,1,2(1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i|=C3iC82×C2j∙或者用表格表示如下：YX01203/286/281/2819/286/28023/2800(2)P{(X,Y)A}=P{X+Y1}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/143解：P(A)=1/4,由P(B|A)=QUOTEPABPA=PAB14=12得由P(A|B)=得QUOTEPABPB=12(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则P{X=0,Y=0}=QUOTEP(AB)=P(A∪B)=1-PA∪B=1-P(A)-P(B)+P(AB)=5/8P{X=0,Y=1}=P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8P{X=1,Y=0}=P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/84.解：(1)由归一性知：1=-∞+∞(2)P{X=Y}=0(3)P{X<Y}=01(4)F(x,y)=即F(x,y)=05.解：P{X+Y1}=6解：X的所有可能取值为0,1,2,Y的所有可能取值为0,1,2,3.P{X=0,Y=0}=0.53=0.125;、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125P{X=1,Y=1}=,P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=2}=0.53=0.125,P{X=2,Y=3}==0.53=0.125X,Y的分布律可用表格表示如下：YX0123Pi.00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25P.j0.1250.3750.3750.12517.解：8.解：(1)所以c=21/4(2)9解：(X,Y)在区域D上服从均匀分布，故f(x,y)的概率密度为10解：当0<x1时，即，11解：当y0时，当y>0时，所以，12解：由得13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi0.040.070.09(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)-100-101-101Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律为Z012PkW-101Pj0.160.530.3114解：由独立性得X，Y的联合概率密度为则P{Z=1}=P{XY}=P{Z=0}=1-P{Z=1}=0.5故Z的分布律为Z01Pk0.50.515解：同理，显然，，所以X与Y不相互独立.16解：(1)利用卷积公式：求fZ(z)=(2)利用卷积公式：17解：由定理3.1（p75）知，X+Y~N(1,2)故18解：(1)(x>0)同理，y>0显然，，所以X与Y不相互独立(2).利用公式19解：并联时，系统L的使用寿命Z=max{X,Y}因X~E(),Y~E(),故串联时，系统L的使用寿命Z=min{X,Y}(B)组1解：P{X=0}=a+0.4,P{X+Y=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=a+bP{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a由于{X=0|与{X+Y=1}相互独立,所以P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1}即a=(a+0.4)(a+b)(1)再由归一性知：0.4+a+b+0.1=1(2)解(1),(2)得a=0.4,b=0.12解:(1)(2)利用公式计算3.解：(1)FY(y)=P{Yy}=P{X2y}当y<0时，fY(y)=0当y0时，从而，(2)F(-1/2,4)=P{X-1/2,Y4}=P{X-1/2,X24}=P{-2X-1/2}=4.解：P{XY0}=1-P{XY=0}=0即P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0由概率的非负性知，P{X=-1,Y=1}=0，P{X=1,Y=1}=0由边缘分布律的定义，P{X=-1}=P{X=-1,Y=0}+P{X=-1,Y=1}=1/4得P{X=-1,Y=0}=1/4再由P{X=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=1/4得P{X=1,Y=0}=1/4再由P{Y=1}=P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}=P{X=0,Y=1}知P{X=0,Y=1}=1/2最后由归一性得：P{X=0,Y=0}=0(X,Y)的分布律用表格表示如下：YX01P{X=i}-11/401/4001/21/211/401/4P{Y=j}1/21/21(2)显然，X和Y不相互独立，因为P{X=-1,Y=0}P{X=-1}P{Y=0}5解：X与Y相互独立，利用卷积公式计算6.解：(X,Y)～Ｕ(G)设F(x)和f(s)分别表示S=XY的分布函数和密度函数F(s)=P{XY<s}s<0时，Fs(s)=0s0时，所以，于是，S=ＸY概率密度为7.解：由全概率公式：FU(u)=P{Uu}={X+Yu}=P{X=1}P{X+Yu|X=1}+P{X=2}P{X+Yu|X=2}=P{X=1}P{1+Yu}+P{X=2}P{2+Yu}=0.3FY(u-1)+0.7FY(u-2)所以，fU(u)=0.3fY(u-1)+0.7fY(u-2)8.解：(1)(2)如图所示，当z<0时，FZ(z)=0;当z2时，FZ(z)=1当0z<2时:综上所述，所以Z的概率密度为：9.解：(1)(2)(3)10.解：(1)P{Z1/2|X=0}=P{X+Y1/2|X=0}=P{Y1/2}=1/2(2)由全概率公式：FZ(z)=P{Zz}=P{X+Yz}=P{X=1}P{X+Yz|X=1}+P{X=0}P{X+Yz|X=0}=P{X=-1}P{X+Yz|X=-1}=P{X=1}P{1+Yz}+P{X=0}P{Yz}=P{X=-1}P{-1+Yz}=1/3[FY(z-1)+FY(z)+FY(z+1)]从而，fZ(z)=1/3[fY(z-1)+fY(z)+fY(z+1)]=11.解：如图，当z<0时，FZ(z)=0;当z1时，FZ(z)=1当0z<1时:综上得：12Z的概率密度为12解：当z<0时，FZ(z)=0;当z0时，所以，Z的概率密度为第四章4三、解答题1.设随机变量的分布律为X–202pi求，，．解：E(X)==+0+2=-0.2E(X2)==4+0+4=2.8E(3X+5)=3E(X)+5=3+5=4.42.同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi的分布律为记掷8颗骰子所掷出的点数为X，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验，E(Xi)=1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6E(X)=8×21/3=283.某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的．(1)某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．(2)某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望．解：(1)设借阅甲种图书的人数为X，则X~B(n,p1),所以E(X)=np1(2)设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y,则Y~B(n,p),记A={借甲种图书}，B={借乙种图书}，则p=｛A∪B｝=p1+p2-p1p2所以E(Y)=n(p1+p2-p1p2)4.将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)．解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E(X)=1.5.设，且，求E(X)．解：由题意知X～P（），则X的分布律P=，k=1,2,...又P=P,所以解得，所以E(X)=6.6.设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在？解：因为级数，而发散，所以X的数学期望不存在.7.某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为求一天的平均耗电量．解：E(X)==6.8.设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为求这种家电的平均寿命E(X)．解：由题意知，随机变量X的概率密度为当>5时，，当5时，0.E(X)=所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.9.在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为求X的数学期望E(X)．解：E(X)==1/410.设随机变量X的概率密度如下，求E(X)．解：.11.设，求数学期望．解：X的分布律为，k=0，1，2，3，4，X取值为0，1，2，3，4时，相应的取值为0，1，0，-1，0，所以12.设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：，（k>0，常数），求W的数学期望．解：V的分布律为，所以13.设随机变量(X,Y)的分布律为YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y)，E(X–Y)．解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+2×(1/28+0+0)=7/14=1/2E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+2×(3/28+0+0)=21/28=3/4E(X-Y)=E(X)-E(Y)=1/2-3/4=-1/4.14.设随机变量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)=15.某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律X1011121314pi0.20.30.30.10.1所得利润（以元计）为,求E(Y)，D(Y)．解：E(Y)=E［1000(12-X)］=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1]=400E(Y2)=E［10002(12-X)2］=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1+（12-14）2×0.1]=1.6×106D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106-4002=1.44×10616.设随机变量X服从几何分布，其分布律为其中0<p<1是常数，求E(X)，D(X)．解：令q=1-p,则D(X)=E(X2)-E(X)=2q/p2+1/p-1/p2=(1-p)/p217.设随机变量X的概率密度为，试求E(X)，D(X)．解：E(X)=D(X)=E(X2)=18.设随机变量(X，Y)具有D(X)=9，D(Y)=4，，求，．解：因为，所以=-1/6×3×2=-1,19.在题13中求Cov(X，Y)，XY．解：E(X)=1/2,E(Y)=3/4,E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14,E(X2)=02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+22×(1/28+0+0)=4/7,E(Y2)=02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+22×(3/28+0+0)=27/28,D(X)=E(X2)-［E(X)］2=4/7-(1/2)2=9/28,D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=27/28-(3/4)2=45/112,Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=3/14-(1/2)×(3/4)=-9/56,XY=Cov(X，Y)/()=-9/56()=-/520.在题14中求Cov(X，Y)，XY，D(X+Y)．解：,21.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．解：，所以Cov(X，Y)=0，XY=0，即X和Y是不相关.当x2+y2≤1时，f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以X和Y不是相互独立的22.设随机变量(X,Y)的概率密度为验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．解：由于f(x,y)的非零区域为D:0<x<1,|y|<2x,,,所以Cov(X，Y)=0，从而，因此X与Y不相关.所以，当0<x<1,-2<y<2时，，所以X和Y不是相互独立的.四、应用题.1.某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量Y（件）服从参数的指数分布，问若要获利的数学期望最大，应该生产多少件产品？（设m,n,均为已知）.解：设生产x件产品时，获利Q为销售量Y的函数y0<y<xx 2.设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m元，卖不掉而退回则每日赔偿n元，若每日卖报人买进r份报，求其期望所得及最佳卖报数。解：设真正卖报数为Y,则，Y的分布为设卖报所得为Z,则Z与Y的关系为当给定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))达到最大.(B)组题1.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数X的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率．解：(1)X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布律为，k=0,1,2,3.即X0123pi因此(2)设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于，，，构成完备事件组，因此根据全概率公式，有==2.随机变量X的概率密度为，对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y2的数学期望解：依题意，Y~B(4,p),p=P{X>}=所以E(Y)=4p=2，D(Y)=4p(1-p)=1，E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=1+4=53.设随机变量U在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量试求：(1)和的联合分布律；(2)．解：(1)P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1且U≤1}=P{U≤-1}=，P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1且U>1}=0，P{X=1,Y=-1}=P{-1<U≤1}=，P{X=1,Y=1}=P{U>-1且U>1}=P{U>1}=，所以和的联合分布律为XY-11-11/41/2101/4(2)和的边缘分布律分别为X–11pi1/43/4Y–11pi3/41/4所以E(X)=-1/4+3/4=1/2，E(Y)=-3/4+1/4=-1/2，E(XY)=1/4-1/2+1/4=0，E(X2)=1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4，Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=24.设随机变量X的期望E(X)与方差存在，且有，，证明．证明：首先证明E（Y）存在(1)若随机变量X为离散型随机变量，分布律为：则由E(X)存在知，绝对收敛，且记,则绝对收敛，所以E（Y）存在，,(2)若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则：5.设离散型随机变量X的分布律为，且E(X)，E(X2)，D(X)都存在，试证明：函数在时取得最小值，且最小值为D(X)．证明：令，则，，所以，又，所以时，取得最小值，此时6.随机变量X与Y独立同分布，且X的分布律为X12pi2/31/3记，(1)求(U，V)的分布律；(2)求U与V的协方差Cov(U，V).解：(1)(X,Y)的分布律YX1214/92/922/91/9(X,Y)（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）pij4/92/92/91/9U1222V1112VU1214/9024/91/9(2)E(U)=4/9+2×5/9=14/9，E(V)=(4/9+2/9+2/9)+2×1/9=10/9，E(UV)=4/9+2×4/9+4×1/9=16/9,Cov(U，V)=16/9-140/81=4/817.随机变量X的概率密度为令为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求Cov(X，Y)．解：8.对于任意二事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1，称作事件A和B的相关系数．(1)证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零．(2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明．证明:(1),即(2)考虑随机变量X和YX服从0-1分布:X01pi1-P(A)P(A)Y服从0-1分布:X01pi1-P(B)P(B)可见,随机变量Ｘ和Ｙ的相关系数由两随机变量的相关系数的基本性质有第五章5三、解答题1.设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且X～P()，，试利用契比谢夫不等式估计的下界。解：因为X～P()，由契比谢夫不等式可得2.设E(X)=–1，E(Y)=1，D(X)=1，D(Y)=9，XY=–0.5，试根据契比谢夫不等式估计P{|X+Y|3}的上界。解：由题知==0Cov===-1.5所以3.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．解：设i个元件寿命为Xi小时，i=1,2,,16，则X1，X2，...，X16独立同分布，且E(Xi)=100，D(Xi)=10000，i=1,2,,16，，由独立同分布的中心极限定理可知：近似服从N(1600,1.610000)，所以==1-0.7881=0.21194.某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）．解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X，则X~B（1000，0.6），则E(X)=600，D(X)=240，根据题意应确定最小的n，使P{X≤n}=99.7%成立.则P{X≤n}所以，取n=643。即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。5.某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P{84<X<95}．解：依题意,X~B（100，0.9），则E(X)=90，D(X)=9，6.在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率．解：设柜台替第i位顾客服务的时间为Xi，i=1,2,3100.则Xi，i=1,2,3100独立同分布，且E（Xi）=1.5，D(Xi)=1，所以即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013.7.已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买该种配件多少件？解：设此生产厂商每月至少应购买n件该种配件，其中合格品数为X，则X~B(n，0.8),0.997=P{X10000}=QUOTEy≥xQUOTEy-npnp(1-p)≤10000-npnp(1-p)，解得n=12655QUOTE≥12655即此生产厂商每月至少应购买12655件改种配件才能满足以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。8.已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．解：记每页印刷错误个数为，i=1，2，3，…300，则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（Xi）=0.2，D(Xi)=0.2所以9.设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产，记X为100台机床中需开工的机床数，则X~B(100，0.64),E（aX）=64a，D(aX)=100×0.64×0.36a2，所以10.某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．解：设当年内投保老人的死亡数为X，则X~B(10000,0.017)。保险公司在一年内的保险亏本的概率为所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01四、应用题1.某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额760元内的概率．解：设每位顾客的消费额为Xi，i=1,2,…400,且Xi~U(20，100)，则，由独立同分布的中心极限定理,所以2.设某型号电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均寿命为20小时，具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件，已知每个元件进价为110元，试问在年计划中应为此元件作多少元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应（假定一年工作时间为2000小时）．解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110个元件，记第件的寿命为Xi小时，i=1，2，3···,m/110，且Xi~E(20)，所以E（Xi）=20，D(Xi)=400，==0.95，所以所以m=12980即在年计划中应为此元件作12980元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应.3.据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有1个孩子、有2个孩子的概率分别为0.05，0.8，0.15．若该村共有400对夫妻，试求：(1)400对夫妻的孩子总数超过450的概率；(2)只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率．解：(1)设第k对夫妻孩子数为Xk，则Xk的分布律为Xk012p0.050.80.15则，故即400对夫妻的孩子总数超过450的概率为0.1357(2)设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则Y~B(400,0.8)，即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938．（B）1.设随机变量的概率密度为，m为正整数，证明：（提示：利用Chebyshev不等式）．证明：E（X）=f(x)d=，由切比雪夫不等式==2.设为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布如下表所示，证明服从Chebyshev大数定律．Xn0pk1/41/21/4证明：，又因为独立且同分布，所以服从切比雪夫大数定律.3.设随机变量序列独立同分布，，又存在（n=1,2,…），证明：．（提示：利用Chebyshev大数定律）证明：因为随机变量序列独立同分布，所以也独立同分布，存在由Chebyshev大数定律，第六章（A）、解答题1.已知总体X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是X的一个样本，求(1)X1，X2，…，Xn的联合分布律;(2)的分布律;(3)三解：因为X的分布律为且X1，X2，…，Xn均于X独立同分布，所以（1）X1，X2，…，Xn的联合分布律为（2）因为，所以.（3）因为，所以2.从总体N(52，6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，计算样本均值落在50.8到53.8之间的概率．解：因为X~N(52，6.32)，所以，3.某种灯管寿命X（以小时计）服从正态分布X～N(，2)，为来自总体X的样本均值．(1)求与的偏差大于的概率．(2)若未知，2=100，现随机取100只这种灯管，求与的偏差小于1的概率．解：因为X～N(，2)，，所以(1)(2)因为2=100，n=100，，所以4.在天平上反复称量重量为w的物体，每次称量结果独立同服从N(w，0.04)，若以表示n次称重的算术平均，则为使，n至少应该是多少？解：X1，X2，…，Xn为称重的结果，则X1，X2，…，Xn相互对立且均服从N(w，0.04)，于是，欲使，须使，即解得查表得由于是递增函数，须使解得n>15.366,故n至少为16.5.从正态总体中抽取样本X1，X2，…，X10(1)已知=0，求；(2)未知，求．解：（1）因为Xi～N(0，0.52)，，即,令，则由于查表知，所以.(2)）因为Xi～N(，0.52)，即，所以,,=，查表知，所以6.已知X~t(n)，求证X2~F(1，n)．证明：因为X~t(n)，存在Y～N(0，1)，Z～2(n)，Y与Z独立，使，由于，，且Y2与Z独立，所以.第七章7（A）三、解答题1.设总体服从几何分布，分布律为，()求的矩估计量．解：因为，所以X的一阶矩用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到所以的矩估计量为2.求均匀分布中参数的矩估计量．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到解得的矩估计量为3.设总体的概率密度为，是来自的简单随机样本，求参数的矩估计量．解：总体X的一阶为用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到4.设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的简单随机样本，求和的矩估计量．解：总体X的一阶为总体X的二阶为用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到解得和的矩估计量为，.5.设，m已知，未知，是来自的简单随机样本，求的最大似然估计量．解：由于X的分布律为基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为解得的最大似然估计值为的最大似然估计量为6.设总体的概率密度为，今从X中抽取10个个体，得数据如下:1050110010801200130012501340106011501150试用最大似然估计法估计．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为当时，，令，解得．考虑到所以，θ的最大似然估计值为将数据代入计算，θ的最大似然估计量为0.0008587.设某电子元件的使用寿命的概率密度为为未知参数，是的一组样本观测值，求的最大似然估计值．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为容易看出θ越大L()越大，在约束下，即为θ最大似然估计值。8.设是取自总体N(，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为的无偏估计量，并确定最有效的一个．，，证明：因为独立均服从N(，1)，且.所以，，均为的无偏估计量。又因为所以最有效。9.设总体X的数学期望为，是来自的简单随机样本．是任意常数,证明是的无偏估计量．证明：因为Xi的数学期望均为，所以故是的无偏估计量．10.设总体是来自X的一个样本．(1)试确定常数c，使为2的无偏估计;(2)试确定常数c，使为2的无偏估计．解：（1）因为所以当时，为2的无偏估计。（2）因为所以当时，为2的无偏估计。11.设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥时间总体服从N(，2)；在下面两种情况下，求的置信水平为0.95的置信区间．(1)由以往的经验知=0.6(小时);(2)未知．解：（1）由于=0.6，求的置信区间由公式计算，其中n=9，=0.05，1.96，，代入计算得的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）.（2）由于未知，求的置信区间由公式计算，其中n=9，=0.05，=2.306，，，代入计算得的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442）12.某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间．假设产品直径近似服从正态分布．解：设X~N(,2),由于2未知，的置信区间为，其中n=9，=0.01，，，，代入计算得的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）.13.某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间．解：设X~N(,2),由于未知，的置信区间为，其中n=9，=0.05，=2.306，，代入计算得的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）.14.假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s=2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．解：设X~N(,2),由于未知，2的置信区间为其中n=8，=0.01，，s=2.4，代入计算得的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.15.从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求电池寿命方差的置信水平为95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布．解：设X~N(,2),由于未知，2的置信区间为其中n=5，=0.05，，，，代入计算得方差的置信水平为95%的置信区间为（0.29，6.73）.16.设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布．试验数据如下:使用第一种药物使用第二种药物假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差的置信水平为99%的置信区间．解：设两正态总体分别为X~N(1,12)，Y~N(2,22)，由于12=22未知，的置信区间为，其中查t分布分位数表知t/2(n1+n2–2)=t0.005(28)=2.1199．故得的置信水平为0.99的置信区间为（-3.3，-2）．17.测得两个民族中各8位成年人的身高（单位:cm）如下A民族：162.6170.2172.7165.1157.5158.4160.2162.2B民族：175.3177.8167.6180.3182.9180.5178.4180.4假设两正态总体的方差相等，求两个民族平均身高之差1–2的置信水平为90%的置信区间．解：由于总体方差相等但未知，可采用计算1–2的置信区间．其中，由两个民族的观测数据计算得查t分布分位数表知t/2(n1+n2–2)=t0.05(14)=1.761．故得1–2的置信水平为0.90的置信区间为(-18.78，-9.80)．18.工人和机器人独立操作在钢部件上钻孔，钻孔深度分别服从N(1，12)和N(2，22)，1，2，12，22均未知，今测得部分钻孔深度（单位:cm）如下工人操作：4.023.944.034.023.954.064.00机器人操作:4.014.034.024.014.003.994.024.00试求的置信水平为0.90的置信区间．解：由于1和2未知，可采用计算的置信区间．由两样本观测值计算得，，=0.1，查F分布的分位数表知F0.05(6,7)=3.87，F0.95(6,7)=故得的置信水平为0.95的置信区间为．19.求12题中的置信水平为0.95的单侧置信区间下限．解：设X~N(,2),由于2未知，的的单侧置信下限可由下面公式计算得到其中n=9，=0.01，，，，代入计算得的置信水平为95%的单侧置信下限：=0.9920.求14题中香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的单侧置信区间置信上限．解：由于X～N(，2)且m未知，2的单侧置信上限为其中n=8，=0.01，1.239，s=2.4，代入计算得的置信水平为99%的单侧置信区间置信上限为.21.设总体，已知，要使总体均值的置信水平为的置信区间长度不大于L，问应抽取多大容量的样本？解：由于，已知，总体均值的置信水平为的置信区间为令置信区间为长度，解得.基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动