2022-2023学年湖南省娄底市五溪乡金溪中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年湖南省娄底市五溪乡金溪中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于直线与平面，下列说法正确的是（

）A．若直线平行于平面，则平行于内的任意一条直线B．若直线与平面相交，则不平行于内的任意一条直线C．若直线不垂直于平面，则不垂直于内的任意一条直线D．若直线不垂直于平面，则过的平面不垂直于参考答案：B对于，若直线平行于平面，则与内的任意一条直线平行或异面，错；对于，若直线与平面相交，则不平行于内的任意一条直线，正确；对于，若直线不垂直于平面，则可垂直于内的无数条直线，错；对于，若直线不垂直于平面，则过的平面可垂直于，错，故选B.

2.如图，在Rt△ABC中，，AC=1，，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（

）A．

B．

C.(0,2)

D．参考答案：D3.如图，执行所示的算法框图，则输出的值是（

）A．－1

B．

C.

D．4参考答案：D4.下列命题：①；②；③；④“”的充要条件是“且”中，其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D5.如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为.则该几何体的俯视图可以是参考答案：D略6.设为大于1的正数，且，则，，中最小的是（

）A．

B．

C．

D．三个数相等参考答案：C7.函数的最小正周期为（

）A. B.2π C. D.π参考答案：D【分析】利用降次公式化简表达式，再由此求得最小正周期.【详解】因，所以最小正周期为.故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.8.已知函数f（x）=ax3+（3﹣a）x在[﹣1，1]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（）A．[，3] B．[，12] C．[﹣3，3] D．[﹣3，12]参考答案：B【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】分析四个选项，可发现C，D选项中a可以取﹣3，故代入a=﹣3，可排除选项；再注意A、C选项，故将a=12代入验证即可；从而得到答案．【解答】解：当a=﹣3时，f（x）=﹣3x3+6x，x∈[﹣1，1]，y′=﹣9x2+6=0，可得x=±，x∈[﹣1，﹣），（，1]，y′＜0，函数是减函数，x=﹣1时，f（﹣1）=﹣3，f（x）极大值为：f（）=＞3，a=﹣3，不满足条件，故排除C，D．当a=12时，f（x）=12x3﹣9x，x∈[﹣1，1]，y′=36x2﹣9=0，可得x=±，x∈[﹣1，﹣），（，1]，y′＞0，函数是增函数，x=时，极大值为：﹣=3，B正确．故选：B．【点评】本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．9.已知向量=（1，2），=（x+1，﹣x），且⊥，则x=（）A．1 B．2 C． D．0参考答案：A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】本题考查知识点是两个平面向量的垂直关系，由⊥，且=（1，2），=（x+1，﹣x），我们结合“两个向量若垂直，对应相乘和为0”的原则，易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵⊥，∴?=0，即x+1﹣2x=0，x=1．故答案选A．【点评】判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．10.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a，b＞0）的最大值是12，则a2+b2的最小值是（）A．B． C． D．参考答案：C【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得2a+3b=6，再由点到直线的距离公式求得a2+b2的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，联立，解得A（4，6），化目标函数z=ax+by为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A（4，6）时，z有最大值为4a+6b=12．∴2a+3b=6．由原点O（0，0）到直线2a+3b﹣6=0的距离d=，可得a2+b2的最小值是．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集是

．参考答案：略12.已知幂函数f（x）=k?xα的图象过点（，），则k+α=

．参考答案：【考点】幂函数的图像．【专题】计算题．【分析】根据幂函数系数为1，可以求出k的值，又由幂函数f（x）=k?xα的图象过点（，），我们将点的坐标代入函数解析式，易求出a值，进而得到k+α的值．【解答】解：由幂函数的定义得k=1，再将点（，）代入得=（）α，从而α=，故k+α=．故答案为：【点评】本题考查的知识点是幂函数的定义及幂函数的图象，其中利用幂函数的定义，得到k=1是解答本题的关键．13.若复数z=（为虚数单位），则|z|=

．参考答案：14.已知在的展开式中，第6项为常数项，则参考答案：10为常数项，所以n=10,填1015.为了解某校高中学生的近视情况，在该校学生中按年级进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生名、名、名，若高三学生共抽取名，则高一年级每位学生被抽到的概率是_________．参考答案：略16.已知为虚数单位，计算：___________．参考答案：17.已知是圆上两点，点在抛物线上，当取得最大值时，

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：新能源汽车补贴标准车辆类型续驶里程（公里）纯电动乘用车万元/辆万元/辆万元/辆某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率合计（1）求，，，的值；（2）若从这辆纯电动乘用车中任选辆，求选到的辆车续驶里程都不低于公里的概率；（3）若以频率作为概率，设为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求的分布列和数学期望．参考答案：解：(1)M=10,x=0.5,y=3,z=0.3（2）设该事件为事件A，则（3）X的可能取值为3.5、5、6略19.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|?|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|?|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…（8分）取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…（10分）【点评】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点．20.甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：车型概率人ABC甲pq乙/若甲、乙都选C类车型的概率为．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：车型ABC补贴金额（万元/辆）345记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由相互独立事件同时发生概率乘法公式和概率分布列性质列出方程组能求出p，q．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出甲、乙选择不同车型的概率．（Ⅲ）由题意X的可能取值为7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得p=，q=．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，则P（A）=．（Ⅲ）由题意X的可能取值为7，8，9，10，P（X=7）==，P（X=8）==，P（X=9）=+=，P（X=10）==，∴X的分布列为：X78910PEX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．21.随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝．（I）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询．①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；（Ⅱ）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？附：P（k2＞k0）0.40.250.150.10k00.7081.3232.0722.706参考答案：【考点】线性回归方程．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式计算概率；（II）计算K2，与2.072比较大小得出结论．【解答】解：（Ⅰ）①7×=2．②在抽取7个宝宝中，出生在市第一医院的二孩宝宝由2人，出生在市妇幼保健院的二孩宝宝有1人．从7个宝宝中随机抽取2个的可能事件共有=21个，其中两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的基本事件有=2个．∴两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率P=．（Ⅱ）列联表如下：

一孩二孩合计第一医院202040妇幼保健院201030合

计403070，故没有85%的把握认为